和静水压力变化量Δp均保持不变；

(6)一点沿某族任意一条滑移线移动时，过该动 点起、始位置的另一族两条滑移线的曲率变化 量(如dRβ)等于该点所移动的路程(如dSα)；

(7)同族滑移线必然有个相同的曲率方向。
§8.4 应力边界条件和滑移线场的绘制
一、应力边界条件

研究目的：寻找已知静水压力 p 和Φ角的点
二、汉盖第二定理
一动点沿某族任意一 条滑移线移动时，过 该动点起、始位置的
另一族两条滑移线的
曲率变化量（如dRβ）
等于该点所移动的路
程（如dSα）
R 1 S

R 1 S

同族滑移线必然具有相同的曲率方向
滑移线的几何性质

(1)滑移线为最大切应力等于材料屈服切应力为 k的迹线，与主应力迹线相交成π/4角； (2)滑移线场由两族彼此正交的滑移线构成，布
1 3
2
标轴Ox的夹角
1
xy
y -k p
x
Ⅱ
k sin 2 p k sin 2 k sin 2 p k sin 2
x m y m
k cos 2 k cos 2
xy
max k
2
B
yx

xy
p p cos x sin y 2k cos x sin y 0 沿 线的微分方程 p 2k 0或 ( p 2k ) 0 沿 线的微分方程 p 2k 0或 ( p 2k ) 0
n k n
二、滑移线场绘制的数值计算方法
滑移线场绘制的数值计算方法
实质：利用差分方程近似代替滑移线的微 分方程，计算出各结点的坐标位置，建立滑移 线场，然后利用汉盖应力方程计算各结点的平 均应力p和Φ角。
1）特征线问题
Riemann问题
2）特征值问题
Cauchy问题
3）混合问题
滑移线场的 近似图解法

§8.2 汉盖（Hencky）应力方程 ——滑移线的沿线力学方程
0 x y 0 x y
x yx xy y
p 2k cos 2 2k sin 2 0 x x y p 2k sin 2 2k cos 2 0 y x y
1 1 m ( 1 2 3 ) 2 ( 1 3 ) p 3 2 p称为静水压力

应力莫尔圆中大圆 的圆心为(σm, 0)
3
p +k Ⅰ
yx
P
y
x
x y 2 max xy k 2 2 Φ为最<1。
普朗特(Prandtl) 解
y P
E
B
O
A
D
x
G

C
F

粗糙平冲头压入半无限体
y P
E
B
O
A
D
x

G

C
F


光滑模面的平面应变挤压
§8.6 双心扇形场问题及实例
平砧压缩高件
向角的变化规律，这无论在建立滑移线场，
还是用滑移线理论分析和求解塑性成形问题 都具有重要的意义。

汉盖应力方程不仅体现了应力微分方程，同 时满足了塑性条件方程。
§8.3 滑移线的几何性质
一、汉盖第一定理 同族的两条滑移线 （如α1和α2线）与另一 族任意一条滑移线（如 β1或β2 ）相交两点的倾 角差和静水压力变化量

满整个塑性变形区；

(3)滑移线上任意一点的倾角Ф值与坐标的选择 相关，而静水压力p的大小与坐标选择无关； (4)沿一滑移线上的相邻两点间静水压力差 （Δpab）与相应的倾角差（ΔФab）成正比；

滑移线的几何性质

(5)同族的两条滑称线(如α1和α2线)与另族任意
一条滑称线(如β1或β2线)相交两点的倾角差ΔФ ，
晶面和晶向的切应力达到金属的临界屈服切应
力时才会使晶体产生滑移变形。
滑移线理论法的基本原理
一种图形绘制与数值计算相结合的方法，即
根据平面应变问题滑移线场的性质绘出滑移线
场，再根据精确平衡微分方程和精确塑性条件
建立汉盖(Hencky)应力方程，求得理想刚塑性
材料平面应变问题变形区内应力分布以及变形
力的一种方法。
滑移线理论法的特点

滑移线理论是建立滑移线场，然后利用滑移线 的某些特性来进行求解。与塑性加工力学中的
其他方法相比，它是数学上比较严谨、理论上
比较完整、计算精度较高的一种方法。

不仅可以计算变形力，而且还可以确定塑性变 形区内及接触面上的应力分布等。 严格地讲，滑移线理论只能求解理想刚塑性材 料平面应变问题。
因主应力状态有Φ=±π/4：
3
A
x
2 y 1
max k
1 m k p k 2 m p 3 m k p k
2.滑移线的形成——最大切应力轨迹线
图8-2 x-y坐标系与α-β滑移线网络
3.α、β滑移线和φ角的规定
1 arc cos( / k ) 2
k k
(1)自由表面
1 arc cos( / k ) 2 4 p k sin(2 ) 0 k
k k k n k
k k sin(2 ) 2k
x k
(2)光滑（无摩擦）接触表面
自由表面
C x
l
B
O
A

G

y P
3
B
O
A
C
1
E

G
x

y P
D
B
O
A
C

H F

E G

x

应力状态影响系数

n
塑性变形时平均单位变形力与坯料变形抗力之 比，体现了不同塑性加工方法由于应力状态的
不同对单位变形力的影响。

由屈服条件：镦粗、轧制为三向压应力状态， 其工作应力大于变形抗力，应力状态影响系数 nσ>l，三向压应力越明显，nσ越大；拉拔为两 向压缩一向拉伸应力状态，其工作应力小于变
a b a b
汉盖应力方程——滑移线的沿线力学方程
pab 2kab
式中，ab a b
对 线取“-”号
对 线取“+”号
pab pa pb
沿滑移线的静水压力差（ pab ）与滑移线 上相应的倾角差（ ab ）成正比。
汉盖应力方程的力学意义

汉盖应力方程表明了滑移线的沿线性质，即 沿滑移线移动时静水压力（平均应力）与方
4 一般不为0，通常施加压力，
n

k

即
n
3
(3)粘着摩擦接触表面
0或
k

2 表面一族滑移线与接触表面相切， 另一族滑移线的切线与接触面垂直
(4)滑动摩擦接触表面
1 f arccos 2 k 4 一般为工作压力，其绝对值最大

υ角规定
υ角是α线在任意点P的切线正方向与Ox轴的夹
角。 Ox轴正向逆时针旋转为正υ角，顺时针旋 转为负υ角。
4.滑移线的微分方程
y


y1
dy
对 线 对 线
dy =tan x dx dy π =tan + =-cot dx 2

dx
1
x
滑移线的力学特点
滑移线的微分方程表明，在力学上滑移线 应是连续的，但根据金属塑性变形的基本机制，
晶体在切应力作用下沿着特定的晶面和晶向产
生滑移，滑移结果是在试样表面显露出滑移台 阶，而滑移台阶是原子间距的整数倍，是不连 续的。因此，滑移线的物理意义是金属塑性变 形时，发生晶体滑移的可能地带。只有特定的
沿某一 线积分，得 p 2k p 2k C ( ) 常数
a a b b 1
或p p 2k ( )
a b b a
沿某一 线积分，得 p 2k p 2k C ( ) 常数
a a b b 2
或p p 2k ( )
§8.5 三角形均匀场与简单扇形场 组合问题及实例
简单滑移线场问题：金属塑性加工中，许多平
面应变问题的滑移线场是由三角均匀场和简单
扇形场组合而成的。
平冲头压入半无限体、平冲头压入、某些特定
挤压比下的挤压、剪切乃至切削加工。
光滑平冲头压入半无限体的极限载荷
塑性区
刚区
希尔(Hill) 解
y
P
1=0
第8章 滑移线理论及应用
§8.1 平面应变问题和滑移线场 §8.2 汉盖（Hencky）应力方程——滑移线 的沿线力学方程 §8.3 滑移线的几何性质 §8.4 应力边界条件和滑移线场的绘制 §8.5 三角形均匀场与简单扇形场组合问题 及实例 §8.6 双心扇形场问题及实例
§8.1平面应变问题和滑移线场

C B D
A
均保持不变。
图8-3 证明Hencky第一定理 的两对滑移线
p p p p
C B D A C B D A
Hencky第一定理， 滑移线的跨线定理
说明
（1）同族滑移线中有一条为直线的话，则这族滑移线的 其他各条滑移线必然全是直线。由于直线滑移线的倾角 差为零，所以直线滑移线上的静水压力保持恒定。 （2）若一族滑移线为直线，则与之正交的另一族滑移线 或为直线，或为曲线。