第二节 滑移线与滑移线场的基本概念
塑性区内每点的应力状态可用平均应力 σ m 和最大切应力 K 表示，每点的切应力都是成双存在、互等且互相垂直的。 将塑性区内每点的最大切应力方向连接起来，得到两族相 互正交的曲线，称为滑移线，滑移线所遍及的整个塑性区构成 的场，称为滑移线场。
第一主方向顺时针转π / 4 所得的滑移线为 α 线 线两旁的最大剪应力 组成顺时针方向
2、亨盖第一定理 亨盖第一定理
同一族的一条滑移线转 到另一条滑移线时， 到另一条滑移线时，则 沿另一族的任一条滑移 线方向角的变化ω 及 σ 平均应力的变化 m 均 为常数
ω = ω1,1 ω2,1 = ω1,2 ω2,2 = K = 常数 σ m = σ m1,1 σ m 2,1 = σ m1,2 σ m 2,2 = K = 常数
锻压时的滑移线场
无摩擦条件下平面应变压入时的滑移线场 （a）b＝h （b）b＝2h（3) b<h(1<h/b<8.75) ） ＝ ） ＝ （
锻压时的滑移线场
b=nh (其中n ≥ 1) 时的滑移线场属于薄件压缩，当 时的滑移线场属于薄件压缩， n=1,2,……为整数时，沿每一边交界面各有 个均 为整数时， 为整数时 沿每一边交界面各有n个均 匀场。 匀场。
α
0 β α α σm σ1 K σ3 σ3 K β β
0
σm K σ1 α
K β σm 0
σm K
σm
代数值最大的 σm 主应力σ1的作用线 主应力 的作用线
σ1
0
K σm
K
σ3
σm
K
σ1
σ3
摩擦切应力为K的接触表面的滑移线
（4）摩擦力为某一中间值的接触表面 ）
0 < τ xy < K
τ = τ xy
换言之： 换言之：同一族上的两条滑移线与另一族的任一 条滑移线相交， 条滑移线相交，在两点处切线间的夹角与平均应 力的变化均为常数 为已知， 若单元网格上的三个节点上的值 σ m , ω 为已知， 则第四个节点上的 σ m , ω 即可求出 推论： 推论：若一族的一条滑移线的某一 区段为直线段，则被另一族滑移线 区段为直线段， 所截得的该滑移线的所有相应线段 皆为直线
二、滑移线场的建立
1、塑性区的应力边界条件 塑性区的应力边界条件
常见的应力边界条件有以下四种类型 （1）不受力的自由表面 ）
σ 1 = 2 K , σ 3 = 0 σ 1 = 0, σ 3 = 2 K
σ x = σ m k sin 2ω σ y = σ m + k sin 2ω τ xy = k cos 2ω
α
σ1方向（第一主方向）
K
K
σ3方向
π
4
σ3方向
α K
σ1方向
σ1 K K
β σ1
π
K
K
判断σ1、σ3方向 判断变化趋势
β
确定滑移线族别
பைடு நூலகம்
4
α
按最大切应力K的时针转向或按第一主方向确定滑移线族别
滑移线的微分方程
α
线
dy = tgω dx
β线
dy π = tg (ω + ) = ctgω dx 2
第三节 滑移线场的应力场理论
σ x σ y 1 R = K = (σ 1 σ 3 ) = + τ xy 2 2 2
2
σ1 = σ m + k σ2 =σm σ3 = σm k
σ x = σ m k sin 2ω σ y = σ m + k sin 2ω τ xy = k cos 2ω
σx σy tan 2ω = 2τ xy
σm α
无摩擦接触表面处的滑移线
（3）摩擦力为 的接触表面 ）摩擦力为K的接触表面 cos 2ω = ±1 → ω = 0或π /2 τ xy = ± K 一族滑移线与表面相切， 一族滑移线与表面相切，另一族与之正交
σn= σm
摩擦切应力为 K的接触面 的接触面
σn= σm
摩擦切应力为 K的接触面 的接触面
沿同一条滑移线的速度间断值为常数， 沿同一条滑移线的速度间断值为常数，其方 向随滑移线而改变
1 dvα v1 dω = 0 β
dvα vβ dω = 0
2 2
2 v1 = vβ β
1 2 dvα = dvα
1 2 vα vα = vα = 常数
第五节 滑移线场理论在塑性成形中的 应用举例
应用滑移线理论求解塑性成型问题， 应用滑移线理论求解塑性成型问题，其 本质就是根据应力边界条件求解滑移线场和 应力状态， 应力状态，并根据速度边界条件求出和滑移 线场相匹配的速度场以进行校核。 线场相匹配的速度场以进行校核。
速度间断
若塑性区与刚性区之间或塑性区内相邻两区 之间可能有相对滑动，即速度发生跳跃，此 之间可能有相对滑动，即速度发生跳跃， 现象称速度不连续，或称速度间断。 现象称速度不连续，或称速度间断。 由于材料的连续性和不可压缩的要求， 由于材料的连续性和不可压缩的要求，速度 间断线两侧的法向速度分量必须相等， 间断线两侧的法向速度分量必须相等，否则 将出现裂缝或者重叠， 将出现裂缝或者重叠，而切向分量可以产生 间断。 间断。 速度间断线必定是滑移线。 速度间断线必定是滑移线。 沿同一条滑移线的速度间断值为常数。 沿同一条滑移线的速度间断值为常数。
σ ma σ mb = ±2k (ωa ωb )
若滑移线场已经确定，且已知一条滑移线上任一点 若滑移线场已经确定， 的平均应力， 的平均应力，则可确定该滑移线上各点的应力状态 若滑移线为直线， 若滑移线为直线，则此直线上各点的应力状态相同 若两族滑移线均为直线， 若两族滑移线均为直线，则此区域内各点的应力状 态相同， 态相同，称为均匀应力场
第四节 滑移线场的速度场理论
据滑移线场的几何性质和给定的应力边界条件， 据滑移线场的几何性质和给定的应力边界条件，就可以做 出滑移线场，然后根据亨盖的应力方程可得应力解。 出滑移线场，然后根据亨盖的应力方程可得应力解。 但是这样求得的应力解，仅是满足了静力许可条件， 但是这样求得的应力解，仅是满足了静力许可条件，是否 满足运动许可条件，并未得到证明。滑移线场的解应该同时 满足运动许可条件，并未得到证明。 满足静力许可条件和运动许可两方面的条件。 满足静力许可条件和运动许可两方面的条件。 对于塑性加工问题，其边界条件往往不是单一的而是混合 对于塑性加工问题， 的，即在一部分边界上给定了应力，而在另一部分边界上给 即在一部分边界上给定了应力， 定了速度，在这种情况下，除了要要应用亨盖应力方程外， 定了速度，在这种情况下，除了要要应用亨盖应力方程外， 还需要建立速度方程。 还需要建立速度方程。
代数值最大的主应力 σ1(=0)的作用线 的作用线
自由表面处的滑移线
σ 1 = 0, σ 3 = 2K
（2）无摩擦的接触表面 ）
τ=0
π
4
σ3
无摩擦的接触表面
0 β
π
4
τ xy = 0
与不受力的接触表面一样
α
σm
σ3 K K
β σm σ1
代数值最大的 主应力σ 主应力 1的作用线
σ1 0 σm K K σ3
一、滑移线场的主要特性
根据平面塑性应变状态的特点，可知其应力分量 根据平面塑性应变状态的特点， 来表示。 为材料常数， 完全可用 σ m 和K来表示。而K为材料常数，故只要能 来表示 为材料常数 的变化规律， 找到沿滑移线上的 σ m 的变化规律，即可求得整个变形 或变形区）的应力分布。 体（或变形区）的应力分布。这就是应用滑移线法求 解平面塑性变形问题的实质。 解平面塑性变形问题的实质。
0
τ 1 1 xy ω = ± cos 2 K
σy
ω
α
r
β
y
σy
σm
K
β
τ xy
σm β
K
σ3
2ω
σx
α
σ1
τ xy
0
σ
σx
τ xy
K K
τ xy
x a
σm
σx
σm
σm
σy
τ xy
a)
b)
摩擦切应力为某一中间值的接触面处的滑移线
2、常见的滑移线场类型
直线滑移线场——两族正交的直线 两族正交的直线 直线滑移线场 简单滑移线场——一直一曲 一直一曲 简单滑移线场 有心和无心扇形场 直线与简单滑移线场组合 正交曲线滑移线场
σ 1 = 2 K + σ 3 = 2 K p;
σ ma
1 = (σ 1 + σ 3 ) = K p 2
根据亨盖应力方程
σ ma σ mb = 2 Kω
K p ( K ) = 2 K (
π
) 4 4
π
p = 2 K (1 + ) 2
π
平面变形挤压
平面变形挤压：挤压 平面变形挤压： 前后的宽度不变。 前后的宽度不变。挤 压的程度用挤压前后 的面积比来表示， 的面积比来表示，称 为挤压比。 为挤压比。对于平面 变形挤压，可由挤压 变形挤压， 前后料厚度之比表示。 前后料厚度之比表示。
普朗特场
1 υα = υ0 2
希尔场
υα = 2υ0
根据判断滑移线族性质的规则，可确定滑移线ab为 在b点 根据屈服准则
ωb =
π
4
α
线
, σ 1 = 0;
σ 1 σ 3 = 2K ;
σ 3 = 2 K ;
1 σ mb = (σ 1 + σ 3 ) = K 2 π 在a点 ω a = , σ 3 = p; 4 根据屈服准则 σ 1 σ 3 = 2 K ;
p /(2 K ) = 1
b<h 当b<h时，存在扇形场和曲线滑移场，随着 时 存在扇形场和曲线滑移场， h/b的增大，扇形场和曲线滑移场扩大，p/(2K)随 的增大，扇形场和曲线滑移场扩大， 随 的增大 之增加，这是厚件压缩的特征。 之增加，这是厚件压缩的特征。