第二章 间接效用函数与支出函数
间接效用函数及其性质
将马歇尔需求函数 x x( p, m)代入U ( x)中， 得到效用最大值，构成 间接效用函数 v( p, m) U ( x( p, m))
意义：知道消费者的收 入和价格，就可以知道 最大效用在哪。 可通过控制价格和收入 来影响消费者行为。政 策的应用价值。
间接效用函数的例题
U x1, x2 x1x2
p1 0.25, p2 1, m 2
假设政府决定征税，税 收总量为0.5， 求政府对x1开征商品税和征收所得 税，对效用影响如何？
x2
征商品税的预算线，最优点为B点，满足： (P1+t)X1*+P2X2*=M 征所得税后的预算线：满足P1X1+P2X2=M-tX1* 可以判断：两条预算线在B点相交。
支出函数
e p, u p h p, u
支出函数性质
是价格p的一次齐次函数： e(tp, u) t e( p, u)
支出函数性质:支出函数与补偿需求函数的关系
• 谢泼德引理
e p, u hij p, u p j
j 1, 2 n
谢泼德引理的证明
谢泼德引理
• 可以从支出函数求出希克斯需求函数 • 可以判断出：随着价格增加，支出函数是单调递增的。 • 如何递增？
谢泼德引理图示
谢泼德引理图示
* 惰性支出函数e p1 x1 pi xi* i 2 n
支出函数是P的凹函数
• 表明支出函数总是根据价格变化相应调整消费束，从而做 到在每个价格水平上它都是支出最小的。 • 对于懒惰的消费者，由于不能根据价格变化而灵活调整自 己的消费束，从而很难做到其支出是最小的。往往高于支 出函数的支出额。
支出函数是关于价格的凹函数的证明
• 凹函数的定义：
对于函数f ( x)的定义域中任意两个量 x1 , x 2 , 取0 t 1, 如果满足： tf ( x1 ) (1 t ) f ( x 2 ) f (tx1 (1 t ) x 2 ),则该函数为凹函数。
• 支出函数：
如果支出函数满足： te( p1 , u ) (1 t ) f ( p 2 , u ) e(tp1 (1 t ) p1 , u ),则该支出函数为凹函数 。
希克斯需求曲线和马歇尔需求曲线
P1
h( p1 , u0 )
p1 '
p
0 1
x1 ( p1 , m0 )
0 h( p1 ' , u0 ) h( p1 , u0 )
x1 ( p1 ' , m0 )
X1
区别
• 希克斯需求曲线反映的是效用不变情况下，价格变化引起 的需求量的变化。体现的仅是替代效应。 • 马歇尔需求曲线反映的是价格变化引起的需求量的变化。 包括替代效应和收入效应。 • 所以马歇尔需求曲线一般来说要比希克斯需求曲线平缓。
间接效用函数的零次其次性质
• 约束条件：
tp x tm p x m
• 约束条件并没有改变，所以间接效用函数也没有改变
v(tp, tm) t v( p, m) v( p, m)
0
• 作用：如果是两种商品，可将非重点研究的商品价格处理 为1，从而只有一个独立的相对价格。
练习
支出最小化问题的基本模型
min px h p, u s.t , U x u
希克斯需求函数或 补偿需求函数
特点：完全不可观察的，效用是非客观的
支出最小化的求解过程
补偿的含义？
• 观察价格变化后，保持效用不变的话，支出最小时的支出 要比原来的支出大，说明价格上涨，要想效用不改变，必 须进行一定的货币补偿。
支出函数是凹函数的证明
作业
min p1 x1 p2 x2 1.5 s . t . x 1 x2 u 求：希克斯需求函数和 支出函数，并验证谢泼 德引理。
练习题
• 第二讲课后习题：1,2,3,4,5,6,7
思考
• 希克斯需求函数与马歇尔需求函数的区别和联系是什么？
希克斯需求曲线和马歇尔需求曲线
P1
h( p1 , u0 )
p1 '
p
0 1
0 h( p1 ' , u0 ) h( p1 , u0 )
X1
马歇尔需求函数的含义
h1 ( p1 ' , u0 )
( p10 , m0 ) x1 ( p1 ' , m0 ) h1 ( p10 , u0 ) x1 ( p10 , m0 )
A B x2* C
x1*
x1
思考
• 如果政府对穷人的救济方式有： 发放收入和食物折扣券这两种方式 在政府开支是一样的情况下，哪种方式对穷人福利的增加 更多？
消费者的选择
• 当收入，价格既定时，如何选择效用才能最大？ • 消费者还可能面临： 如果要达到一定的效用水平，当价格既定时，如何选择才 能花的钱最少？ 这两个问题都涉及消费者最优选择的问题。前者是极大值， 后者是极小值。
1.5 U x1 x2 m p1 x1 p2 x2
求间接效用函数，并验 证其零次齐次特点。
（Roy ' sidentity） 罗伊恒等式
• 间接效用函数与马歇尔需求函数的关系：
v( p, m) pi xi ( p, m) v( p, m) m
罗伊恒等式证明过程
思考
• 与效用函数（或直接效用函数）的区别在哪？
间接效用函数的性质
如果直接效用函数是连 续且严格递增的，则间 接效用函数： 1.连续的； 2.是关于（p, m）的零次齐次函数。即 v(tp, tm) t 0 v( p, m) 3.对于y严格递增； 4.对于p严格递减； 5.罗伊恒等式（Roy' sidentity）
罗伊恒等式
• 证明过程可以反映价格和收入变动对均衡解的影响。 • 从恒等式可以倒推出马歇尔需求函数。
间接效用函数的应用
• 间接效用函数描述的是（价格，收入）变化对效用最大化 时的效用的影响。 • 当消费者的决策环境变化了，通过间接效用函数可以直接 了解它的影响。 • 尤其对于消费政策变化的影响分析，非常有效。例如：收 入补贴政策（改变收入）；商品税政策（改变某一商品价 格）等。