质点力学1、已知一质点作平面运动时其速度的量值为常数C ，矢径的角速度的量值为常数ω，求质点的运动方程及轨迹。

解：222242ωωC C y x =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+ 答：由上面轨迹方程知：此质点的运动为圆心在⎪⎭⎫⎝⎛ω20C ,，半径为ω2C 的圆。

2、一点沿半径为R 的圆周运动时，其切向加速度正比于法向加速度的平方根（比例系数k>0），试求该点的速度及沿轨迹的运动方程S(t)，假定初速度为v 0。

⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⇒=⇒==⎰1000tRk ttRk tR k e k R v s dt ev s ev dtds v 3、 质量为m 的质点作一维简谐振动，当其通过原点O 时，速度为u ，如在任意时刻，质点坐标为x ，速度为v ，试证：v 2+ω2x 2=u 2。

4、船得一初速度v 0，在运动中船受到水的阻力，阻力的大小与船速的平方成正比，有比例系数为km ，其中m 为船的质量，问经过多少时间船速减为其初速度的一半。

当021v v =时0011121kv t v kt v v =⇒+== 5、一尊大炮放在高为h 的山顶上，如炮弹的腔口速度为0v，则欲使此炮弹射到地面时的射程为最大，腔口的速度和水平方向间的夹角应为若干？⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=-20112csc v gh α 6、将一质点以初速度0v 抛出，0v与水平线所成之角为α ，此质点所受到的空气阻力为其速度的mk 倍，其中m 为质点的质量，k 为常数，试求此质点的速度与水平线所成之角又为α时所需的时间。

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=g kv k t αsin 21ln 10 7、将一质量为m 的物体竖直抛上与有阻力的媒质中，如单位质量受到的阻力为kv ，式中v 为质点的运动速度，试证：质点回到抛掷点时的速度等于在同样时间内质点在真空中作相似运动时的速度。

gT v V -=08、将一质量为m 的物体竖直抛上与有阻力的媒质中，设阻力与速度的平方成正比，即22xg mk R ±=，如上掷时初速度为0v，试证：此物体又落至投掷点时的速度为22211v k v v +=。

9、船得一初速度0v，在运动中船受到水的阻力，阻力的大小与船速的平方成正比，由比例系数为mk ，其中m 为质点的质量，问经过多长时间船速减为其初速度的一半。

1kv t =10、 一弹性绳的倔强系数为240克重/厘米，今将其置于粗糙桌面上（4/1=μ）并使一端固定，一端联一30克的物体，如将此绳拉长1厘米而释放之，问其回到原长时的速度为何值？ s cm g v /215=11、 一质点为一轻的弹性绳系于固定点A ，绳的固定长度为a ，当悬挂质点平衡后，绳的长度为a+b ，今令质点从A 静止下降，试讨论其以后的运动，并求质点从A 落至最低点D （开始回返）的位置及所需的时间。

（参看理论力学书第一章课后补充习题）质点组力学1、重W 的直角劈放在绝对光滑的水平面上，其斜面上另放一个与它相似的小劈水平边长为a ，小劈的重量为w ，假定大劈的水平边长为b ，试证小劈自图示位置完全滑下时，大劈的位移为w(a-b)/(W+w) ab2、 平静湖面上一静止小船中间站有二个重量分别为P 1、P 2，当P 1向右移动到船头时，若使小船仍处于静止状态，P 2应向另一端移动多远。

令小船长为LL P PL P P x P P x 2121121222-=-='∆-='∆3、重物A 与B 的重量为P 1、P 2，用一通过无重滑轮和绳连接，此两物体可沿一个固定三棱体的侧面滑动，三棱体的重量为P=4P 1=16P 2, 重物和三棱体都是光滑的，EF 面放在光滑的水平面上，角α=30°和β=60°，求当P 1在斜面上下降的高度h=10cm 时，三棱体沿水平面产生了多少位移。

解：2110340+=∆x4、 两个重物M 1和M 2各重P 1和P 2，分别系在两根绳子上，此两绳又分别围绕在半径为r 1和r 2 (r 1 ＜r 2)并装在同一轴的两鼓轮上，重物受重力的影响而运动，求鼓轮的角加速度，鼓轮和绳的质量均略去不计。

解：grP g r P r P r P dt dJM 2222111122+-=⇒=ω5、等。

解：故人相对于地的角度为πωθ32==t 人 6、大炮的质量为M ，水平射出一质量为m 的炮弹，试证大炮反冲所耗的功为火药炸力所做之功的m/(M+m)倍。

mM mW W +-='7、弹簧两端各系以重物A 与B ，平放在光滑的平面上，其中A 物重P ，B 物重Q ，弹簧的原长为了L 0，刚性系数为C ，若将弹簧拉长到L 然后无初速度地释放，问当弹簧回到原长时，A 与B 两物体的速度各为多少？解:()()()()00l l Q P Q CgPv l l Q P P CgQv B A -+=-+=8、重物A 物重为P ，自高度h 处无初速度地落下，打在平板B 上，板重为Q ，装置在刚性系数为k 的弹簧上，设碰撞为完全非弹性碰撞，试求碰撞后，弹簧被压缩的长度S 。

解: ()Q P k h P k Q P k Q P s ++⎪⎭⎫⎝⎛+++=2229、绳的一端固定于A 点，此绳经过一动滑轮及一定滑轮，另一端系一重Q 之物，动滑轮下悬一重P 之物，且P Q >2。

设起始时刻此系统是静止的，且0=h ，不计滑轮重量，求重物Q 的加速度。

gy PQ PQ y+-=448g PQ PQ y+-=⇒42410、 重70公斤的跳伞运动员从飞机上跳下时，不是立即张开伞，而是经过一定时间后才张开伞，如不张开伞的最后速度为50米/秒，而伞完全张开后的速度为5.0米/秒，张伞时间是1.5秒。

如运动是直线运动，求运动员受到的平均冲力是多少？ 解： 287=F11、 水利采煤法就是利用水枪在高压下喷射出的强力水流来采煤的。

已知水枪的水柱直径为0.03 米，水速为56米/秒，求水柱给煤层得动压力。

解： ()N F 6.2205-=12、 三只小船的质量（包括船员）均为M ，同一匀速度鱼贯而出。

如中船的人以速度（相对于自身）将其质量为的两个物体分别掷向另两只船，求以后各船的速度。

解：第二船:20v v = 第一船：mM muv v ++=01第三船：mM muv v +-=0313、 半径为r ，重量为W 的水平匀质圆盘可绕通过其中心的铅垂轴转动，一种为w 的甲虫，按221at s =的规律沿圆盘的边缘爬行，在开始时，两者都是静止的，试求甲虫爬动后圆盘的角速度。

解： ()rw W wat22+=ω刚体力学1、半径为R 的非匀质圆球，在距球心r 处的密度可以用下式表示：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2201R r αρρ αρ,0为常数试求此圆球绕直径转动时的回转半径。

解：R k αα21351014--=2、 立方体绕其对角线转动的回转半径为23d k =，试证明之。

式中的为对角线长。

3、质量为1m 的滚子A 沿倾角α的固定斜面向下无滑动的滚动，滚子借一跨过滑轮B 的绳提升一质量为2m 的物体C ，同时滑轮B 绕O 轴转动，滚子A 和滑轮B 的质量相等，半径相等，且同为匀质圆盘，求滚子质心的加速度和绳对滚子的拉力。

解：g m m m m a 21212sin +-=α()()g m m m m m m m T 2121212122sin 23+++=α4、质量为1m 的三角柱ABC 放在光滑的水平面上，质量为m 的均质圆柱体，沿AB 斜边向下无滑动的滚动，如斜面的倾角为α，求三角柱的加速度。

解：αα21sin 232sin m m m m a ++=5、一均匀圆柱体放在倾角为60度的斜面上，一绳绕在圆柱体上，其一端固定于点A ,此绳和相连部分与斜面平行。

如圆柱体与斜面间的摩擦系数为1/3，圆柱体的重量为p ，求其沿斜面下降的加速度。

解：()g a 356.060cos 260sin 32=︒-︒=μ6、 以匀质轮，半径为R ，重为P ，在轮的中心有一半径为r 的轴，轴上绕两条细绳，绳端各作用一不变的水平力1F 和2F ，其方向相反，如轮对其中心的转动惯量为I, 且轮只滚不滑，求轮中心的加速度。

解：()()gR PR Ig rF F R F F a 22121+++-=7、矩形均匀薄片ABCD 绕固定轴AB 摆动，AB 轴与铅垂线所成角为30度，薄片宽度为AD=0.5m ，试求薄片作微振动的周期。

解：s 6.1≈τ8、 一端固结于天花板上的绳缠在一个半径为r ，重为w 的圆盘上，求圆盘中心向下运动的加速度，圆盘的角加速度和绳的张力。

解：wT g r g r a 313232====ββ9、半径为a 的球，原处于半径为b 的球壳形碗内某点，如突然将其由静止状态放下，求其作微振动周期。

解：()ga b 572-=πτ 10、 半径为r 的实心圆柱，放在倾角为θ的粗糙斜面上，摩擦系数为μ，设运动不是纯滚动，试求圆柱体质心的加速度及圆柱体的角加速度。

解：()grga θμβθμθcos 2cos sin =-=分析力学解题分为如下步骤:(1)确定力学体系的自由度（独立坐标数或广义坐标数）; (2)适当选取描写体系运动的广义坐标;(3)写出用广义坐标表示的力学体系的动能及势能，并进而写出体系的拉格朗日函数L; (4)把L 代人拉格朗日方程，得出力学体系的运动微分方程; (5)解方程并讨论。

[例1] 绳的一端固定于A 点，此绳经过一动滑轮及一定滑轮，另一端系一重Q 之物，动滑轮下悬一重P 之物，且P Q >2.设起始时刻此系统是静止的，且0=h ，不计滑轮重量，试用拉格朗日方程求重物Q 的加速度及速度。

解：g PQ PQ y y L y L dt d +-=⇒=∂∂-∂∂4240 ——加速度速度： gy PQ PQ t yy gt PQ P Q t y y +-==+-==448422122[例2] 有两滑轮及三个砝码组成一滑轮，如图所示，略去滑轮及滑轮本身重量，求每一砝码的加速度。

（参看书） 解：，得出力学体系的运动微分方程;[例3]用拉格朗日方程求解一维线性谐振子运动。

解：得，()()t B t A x x x ωωωcos sin 02+=⇒=+[例4]用哈密顿正则方程研究线性谐振子（一维）的运动。

[例5]设电荷为e -的电子，在电荷为Ze 的核力场中运动，Z 为核电荷数，试用正则方程研究电子的运动。

（参看书）3[例6]用哈密顿正则方程导出单摆运动方程。

解：广义坐标为角度——偏离垂直方向的角度,sin =+≈θθθθθg r 运动方程变为很小时，当[例7]试由哈密顿原理导出正则方程。

（参看书）[例8]用哈密顿原理求解一维线性谐振子运动。