综合仿真练(一)
1．已知集合A ＝{0,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，则A ∩B ＝________. 解析：因为集合A ＝{0,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，所以A ∩B ＝{0,3}． 答案：{0,3}
2．已知x ＞0，若(x －i)2
是纯虚数(其中i 为虚数单位)，则x ＝________. 解析：因为x ＞0，(x －i)2
＝x 2
－1－2x i 是纯虚数(其中i 为虚数单位)， 所以x 2
－1＝0且－2x ≠0，解得x ＝1. 答案：1
3．函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为________．
解析：由题意知⎩
⎪⎨
⎪⎧
x >0，
1－2log 6x ≥0，解得0<x ≤ 6.
答案：(0， 6 ]
4．从2个白球，2个红球，1个黄球中随机取出2个球，则取出的2球中恰有1个红球的概率是________．
解析：将2个白球记为A ，B,2个红球记为C ，D,1个黄球记为E ，则从中任取两个球的所有可能结果为(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，
E )，(D ，E )，共10个，恰有1个红球的可能结果为(A ，C )，(A ，D )，(B ，C )，(B ，D )，(E ，C )，(E ，D )共6个，故所求概率为P ＝610＝35
.
答案：3
5
5．执行如图所示的伪代码，若输出的y 的值为13，则输入的x 的值是________．
Read x
If x ≤2 Then y ←6x Else y ←x ＋5End If Print y
解析：若6x ＝13，则x ＝13
6
>2，不符合题意；若x ＋5＝13，则x ＝8>2，符合题意，故
x ＝8.
答案：8
6．一种水稻品种连续5年的平均单位面积产量(单位：t/hm 2
)分别为：9.4,9.7,9.8,10.3,10.8，则这组样本数据的方差为________．
解析：这组数据的平均数为15(9.4＋9.7＋9.8＋10.3＋10.8)＝10，方差为15[(10－9.4)
2
＋(10－9.7)2
＋(10－9.8)2
＋(10－10.3)2
＋(10－10.8)2
]＝0.244.
答案：0.244
7．(2019·南通中学模拟)《九章算术》中“开立圆术”曰：“置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径”．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求球的直径d 的公式d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫169V 13
.若球的半径为r ＝1，根据“开立圆术”的方法计算该球的体积
为________．
解析：根据公式d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫169V 13得，2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫169V 13
，解得V ＝92.
答案：9
2
8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255
，AB ―→·AC ―→
＝
3，b ＋c ＝6，则a ＝________.
解析：∵cos A 2＝255，∴cos A ＝2cos 2A 2－1＝35
，又由AB ―→·AC ―→＝3，得bc cos A ＝3，
∴bc ＝5，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2
－2bc (1＋cos A )＝36－10×85＝20，
解得a ＝2 5.
答案：2 5
9．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－1
5，则tan α的值为________．
解析：tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan α－β＋tan β1－tan α－βtan β＝12－1
51－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－15＝3
11
.
答案：3
11
10.(2019·海门中学模拟)边长为2的三个全等的等边三角形摆放成如图形状，其中B ，D 分别为AC ，CE 的中点，N 为GD 与CF 的交点，则AN ―→·EG ―→
＝________.
解析：由已知得AN ―→＝2AB ―→＋CN ―→＝2AB ―→＋12AH ―→，EG ―→＝－DE ―→＋DG ―→＝－AB ―→＋CH ―→
＝
－
AB ―→
＋
AH ―→
－
AC ―→
＝－3
AB ―→
＋
AH ―→
，所以
AN ―→
·
EG ―→
＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫2AB ―→＋12AH ―→ ·()
－3AB ―→＋AH ―→ ＝－6|AB ―→|2＋12AB ―→·AH ―→＋12|AH ―→|2，因为等边三角形的边长为2，所以AN ―→·EG ―→＝－6×12＋12×1×2×12＋12×22
＝－72
.
答案：－7
2
11．(2019·泰州中学模拟)设x >0，y >0，若x lg 2，lg 2，y lg 2成等差数列，则1x ＋9
y
的最小值为________．
解析：∵x lg 2，lg 2，y lg 2成等差数列，∴2lg 2＝(x ＋y )lg 2，∴x ＋y ＝1.∴1x
＋
9
y
＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＋9y ≥10＋2
y x ·9x y ＝10＋6＝16，当且仅当x ＝14，y ＝34时取等号，故1x ＋9
y
的最小值为16.
答案：16
12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2
＋y 2
＋2x －8＝0，直线l ：y ＝k (x －1)(k ∈R )过定点A ，且交圆C 于点B ，D ，过点A 作BC 的平行线交CD 于点E ，则△AEC 的周长为________．
解析：易得圆C 的标准方程为(x ＋1)2
＋y 2
＝9，即半径r ＝3，定点A (1,0)，因为AE ∥
BC ，所以EA ＝ED ，则EC ＋EA ＝EC ＋ED ＝3，从而△AEC 的周长为5.
答案：5
13．各项均为正偶数的数列a 1，a 2，a 3，a 4中，前三项依次成公差为d (d >0)的等差数列，后三项依次成公比为q 的等比数列．若a 4－a 1＝88，则q 的所有可能的值构成的集合为________．
解析：由题意设这四个数分别为a 1，a 1＋d ，a 1＋2d ，a 1＋88，其中a 1，d 均为正偶数，则(a 1＋2d )2
＝(a 1＋d )(a 1＋88)，整理得a 1＝
4d 22－d
3d －88
>0，所以(d －22)(3d －88)<0，解
得22<d <883， 所以d 的所有可能的值为24,26,28.当d ＝24时，a 1＝12，q ＝5
3
；当d ＝26时，
a 1＝
2085(舍去)；当d ＝28时，a 1＝168，q ＝8
7.所以q 的所有可能的值构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫53，87. 答案：⎩⎨⎧⎭
⎬⎫53，87
14．已知函数f (x )＝kx ，g (x )＝2ln x ＋2e ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
e ≤x ≤e 2，若
f (x )与
g (x )的图象上分别存
在点M ，N ，使得M ，N 关
于直线y ＝e 对称，则实数k 的取值范围是_______________________________________．
解析：设直线y ＝kx 上的点M (x ，kx )，点M 关于直线y ＝e 的对
称点N (x,2e －kx )，因为点N 在g (x )＝2ln x ＋2e ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
e ≤x ≤e 2的图象上，
所以2e －kx ＝2ln x ＋2e ，所以kx ＝－2ln x ．构造函数y ＝kx ，y ＝
－2ln x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ≤x ≤e 2，画出函数y ＝－2ln x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
e ≤x ≤e 2的图象如图所示，
设曲线y ＝－2ln x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
e ≤x ≤e 2上的点P (x 0，－2ln x 0)，则k OP ≤k ≤k OB (其中B 为端点，P 为
切点)．因为y ′＝－2x ，所以过点P 的切线方程为y ＋2ln x 0＝－2
x 0
(x －x 0)，又该切线经过
原点，所以0＋2ln x 0＝－2x 0(0－x 0)，x 0＝e ，所以k OP ＝－2e .又点B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ，2，所以k OB ＝2e ，所以k ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－2e ，2e .
答案：⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－2e ，2e。