而应力仍是由位移唯一确定的。但平面应力只是一种简化模型; 而要有效地分析处于复杂
载荷状态下的任意形状的橡胶构件, 三维有限元分析是必不可少的。 因此, 有限单元法分析橡胶材料的关键在于如何考虑不可压缩( I3 = 1) 对应变能密
度函数的影响。罚函数法和 Lagrange 乘子法是解决此问题的两种途径, 由此可得到分析
第1卷 第5期 1997 年 9 月
四川联合大学学报( 工程科学版)
JOU RNAL OF SICH UAN UN ION U NIVE RSITY ( ENGINEE RING SCIENCE EDIT ION)
V ol. 1 N o. 5 Sept . 1997
橡胶有限元分析之研究
魏泳涛 于建华
量的含义。当函数 G( I3) 采用其它形式时, 我们仍可得到这一结论。文献[ 3] 在此基础上通 过泊松比 来确定出罚因子
=
E( 1- ) ( 1+ ) ( 1- 2
)
=
2( C1 + C2 ( 1- 2 )
( 12)
式( 12) 中 E = 6( C1 + C2) 是橡胶材料在小变形下的等效弹性模量。
橡胶类不可压缩超弹材料的罚有限单元法和混合插值有限单元法。
2. 1 罚有限单元法分析橡胶材料
罚有限单元法的基本思想是将完全不可压缩的橡胶类超弹性材料处理成近似不可压
缩, 从方法上讲它使材料更接近实际情况。对可压缩材料, 其静水压力( 或体积应力) p 可 由应变确定出
p = - keij = - k( I035 - 1)
计算
[ K pU ] ( n)
[ KU p] ( n) ] [ K pp] ( n) ]
{ u} (n) { p} (n) = -
(
{U}(
n)
,
{
p}
( n) 到
,)

对
因子
{ U } ( n+ 1) = { U } ( n) + { U } ( n)
( 19)
{ p} ( n+ 1) = { p} ( n) + { p} ( n)
应用罚有限元法的优点是概念简单, 可完全采用位移有限元分析的一切概念。由于计
算静水压力 p 采用的是式( 7) , 而式( 7) 本身又是一个极限过程, 因此罚因子 应取得足够
大, 这在理论上似乎是成立的。但在数值计算中, 这类大数( 罚因子) 乘小数( 体积应变) 的
计算将由于舍入误差的影响而将变得数值上不稳定。在小变形下, 降阶积分是一种解决方
不可压缩给橡胶超弹性材料的有限元应力分析带来相当的困难。因为这使得在位移
有限元中得不到完全由插值位移向量表示的应力 - 应变关系矩阵。但对平面应力问题, 我们仍可应用基于位移的有限单元法, 因为在平面应力假设下有:
S33 = 0
( 6)
式( 6) 提供了一个额外的方程。利用它, 我们仍可将静水压力以位移的形式表示出来, 因
压缩, 其应变为零, 由平衡方程知球体内存在应力 - p ij ; 而上述各式计算出的应力张量 为 2( C 1 - C 2) ij - P ij 。因此: 1) 对不可压缩超弹性体, 零应变状态并不对应零应力状 态; 2) 比例函数 P 具有静水压力的含义, 但又不是严格意义上的静水压力。
2 橡胶的有限元应力分析
精
式中上标( n) 表示第 n 次迭代, 在下面的推导中我们略去上标( n) 。式( 18) 、( 19) 中有关各
矩阵对一个单元而言按下面各式计算:
V
{
W U}
d
V
=
W V {}
() {U}
dV
=
[ B] T
V
{ } dV
( 20)
V
W { p}
dV
=
W Vp
p { p}
d
V
=
-
(
I
1/ 3
2
-
1) [ N p] d V
{
W U}
d
V
V 罚{Wp} dV
T
-
{ F}
0 T= 1
( 18)
式中, 为不平衡力向量, { U} 、{ p} 为位移和静水压力的插值向量, { F} 为外载荷的等效
节点力向量。方程( 18) 通常是高度非线性的, 可用 N ew ton - Rap hson 迭代法进行求解。
[ K UU ] ( n)
魏泳涛 等
橡胶有限元分析之研究
79
S ij = 2
W Cij
-
P
Xi xl
Xj xl
( 2)
其中, Sij 是第二类 P iola - K irchhoff 应力张量, P 是一坐标函数, Cij 为右 Cauchy - G reen
张量, X i 及 x i 分别为 L ang range 和 Euler 坐标。将式( 1) 代入式( 2) , 有:
p(
I
05 3
-
1)Leabharlann ( 16)由式( 16) 根据式( 10) 导出的应力张量满足上述的理想实验 。
由变分原理可导出初始构形上的混合插值有限元基本算式。
WdV = W
( 17)
v
其中 W 为外力功。注意这是关于两类变量的变分问题。将式( 17) 写成有限元形式:
( { U} , { 压p} )缩=
V
S ij = 2C1
I1 Cij
+
2C 2
I2 Cij
-
P
Xi xl
Xj xl
( 3)
同样可写出不可压缩超弹性材料在现时构形上的应力 - 应变关系:
ij =
2( C1 Bij -
C2
B
ij
1)
-
P ij
( 4)
ij 为 Cauchy 应力张量, Bij 为左 Cauchy - Green 张量。对小变形情况, 式( 2) 、( 3) 、( 4) 可简
魏泳涛 等
橡胶有限元分析之研究
81
2. 2 混合插值有限单元法分析橡胶材料
由于静水压力独立于位移, 因此将静水压力作为基本未知数并与位移同时计算应是
一种更合理的方法。应用 l agr ange 乘子法, 可将这一带约束条件( I3 = 1) 的极值问题转化
成不带约束条件的驻值问题, 而 Lagrange 乘子的物理意义则为静水压力。为此应将静水 压力 p 引入材料的应变能密度函数 W, 考察 p 与 W 的关系[ 2, 4] 。
图 1 无限长圆筒的有限元离散示意图
图, 所有节点的轴向自由度均被约束。我们根据式( 12) 由泊松比 来确定罚因子, 并将 R = 186. 1m m 处的位移及静水压力数据列于表 1。从表中可看到, 随着 接近 0. 5, 应力结 果急剧恶化。对不同的问题, 应选不同的罚因子, 而这就限制了罚有限单元法的应用。
V
2W {p}2
d
V
=
-
V {p} ( I03. 5 - 1) [ Np] dV = 0
[ KUP] = [ Kpv] T
( 24)
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四川联合大学学报( 工程科学版)
第1卷 第5期
式中, { } 、{ } 分别为应变及应力向量; [ Np] 为单元内静水压力的插值形函数阵, [ D] 是按 式( 11) 计算的材料切线张量的矩阵形式; [ B] 是虚位移- 虚应变关系矩阵( 并不等同于位
函数:
W = C1( I 1 - 3) + C2( I 2 - 3)
且
I3 = 1
( 1)
其中 C 1、C2 为材料常数, I 1、I 2 和 I 3 分别是 Cauchy - Green 变形张量的三个不变量。
不可压缩超弹材料用物质描述的应力 - 应变关系为[ 2]
收稿日期 1996 - 09 - 17
( 14)
其中待定函数 f1( J) 和 f2( J) 由下述微分方程确定出
d dJ
Iif i( J)
= 0采, 用
f i( J) = 1
在 J = 1,
i = 1, 2
( 15)
最后可得应变能密度函数 W 的形式为
W=
C1( I1I-3 1/ 3 -
3) +
C2( J2 I-2 2/ 3 -
3) -
量实验阐明了橡胶的弹性源于其热力学过程中的熵, 因此其弹性较之其它弹性体是完全
不同的。在本文中, 我们根据连续介质力学唯象的观点来讨论橡胶的力学特性。这种方
法根据大量实验事实 对橡胶的力学特性作如下假定: 1) 橡胶在变形过程中存在着自由
能函数, 即等温条件下的应变能密度函数 W, 它可以表达为变形状态的函数, 满足此条件
的材料称为超弹性材料; 而此函数的形式及其中所包含的常数则应实验确定; 2) 橡胶在
变形中体积变化极小, 因而可认为是不可压缩的; 3) 橡胶为各向同性材料。
文献[ 1] 列出了常用的应变能密度函数的形式, 其中 M ooney - Rivilin 理论较好地描
述了橡胶类不可压缩超弹性材料在大变形下的力学特性, 且给出如下形式的应变能密度
V
( 21)
[ Kuu] =
V
2W {U}
2
d
V
=
[ B] T
V
[ D]
[ B] dV+
[ G] T
V
[ M]
[ G] dV
( 22)
[ KUp] =
V
{
2W U} {p}
d
V
=
-
I035 V {}
{} { U}
[ Np] dV =