2014导数高考题及答案（2014全国新课标1文数21 ）
（泉州市质检）
（2014福州市质检 文数22. )（本小题满分14分）已知函数2()ln ,()f x a x g x x ==.其中x R ∈.
（Ⅰ）若曲线y ＝f (x )与y=g (x )在x ＝1处的切线相互平行,求两平行直线间的距离;
（Ⅱ）若f (x )≤g (x )－1对任意x >0恒成立,求实数a 的值;
（Ⅲ）当a <0时，对于函数h (x )=f (x )－g(x )+1,记在h (x )图象上任取两点A 、B 连线的斜率为AB k ,若1AB k ≥,求a 的取值范围.
22. 解: （Ⅰ）x x g x
a x f 2)(',)('==,依题意得:a =2; ……………2分 曲线y=f (x )在x =1处的切线为2x －y －2=0,
曲线y=g (x )在x =1处的切线方程为2x －y －1=0. ……………3分 两直线间的距离为5
5……………4分
（Ⅱ）令h (x )=f (x )－g(x )+1, ,则x
x a x x a x h 2
22)('-=-= 当a ≤0时, 注意到x>0, 所以)('x h <0, 所以h (x )在(0,+∞)单调递减, ………………5分
又h (1)=0,故0<x <1时,h (x )>0,即f (x )> g(x )-1,与题设矛盾. ……………6分
当a >0时,)0)(2
)(2(2)('>-+=x x a x a x x h 当20a x <<,,0)('>x h 当2
a x >时,0)('<x h 所以h (x )在⎝⎛⎭⎫0，
a 2上是增函数,在⎝⎛⎭⎫a 2，＋∞上是减函数, ……………8分 ∴h (x )≤12
2ln 2)2(+-=a a a a f 因为h (1)＝0,又当a ≠2时,a 2≠1,0)1()2(=>h a h 与0)2(≤a h 不符. 所以a ＝2. ……………9分
（Ⅲ）当a <0时,由(2)知)('x h <0,∴h (x )在(0,＋∞)上是减函数,
不妨设0<x 1≤x 2,则|h (x 1)－h (x 2)|＝h (x 1)－h (x 2),|x 1－x 2|＝x 2－x 1, ……………10分
∴|h (x 1)－h (x 2)|≥|x 1－x 2|
等价于h (x 1)－h (x 2)≥x 2－x 1,即h (x 1)＋x 1≥h (x 2)＋x 2, ……………11分
令H (x )＝h (x )＋x ＝alnx －x 2＋x ＋1,H (x )在(0,＋∞)上是减函数,
∵x
a x x x x a x H ++-=+-=2212)(' (x >0), ……………12分 ∴－2x 2＋x ＋a ≤0在x >0时恒成立,∴a ≤(2x 2－x )min ……………13分
又x >0时, (2x 2－x )min =8
1- ∴a ≤－18,又a <0,∴a 的取值范围是]8
1,(--∞. ……………14分
（2014福建省高考文数22.）（本小题满分12分）
已知函数()x f x e ax =-（a 为常数）的图像与y 轴交于点A ，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为1-.学科网
（1）求a 的值及函数()f x 的极值；
（2）证明：当0x >时，2x x e <
（3）证明：对任意给定的正数e ，总存在0x ，使得当0(,)x x ∈+∞时，恒有x x ce <。