第10章 结构的动力计算习题解答习题10.1 是非判断题(1) 引起单自由度体系自由振动的初速度值越大，则体系的自振频率越大。

（ ） (2) 如果单自由度体系的阻尼增大，将会使体系的自振周期变短。

（ ） (3) 在土木工程结构中，阻尼对自振周期的影响很小。

（ ）(4) 由于各个质点之间存在几何约束，质点体系的动力自由度数总是小于其质点个数。

（ ）(5) 多自由度的自振频率与引起自由振动的初始条件无关。

（ ） (6) n 个自由度体系有n 个自振周期，其中第一周期是最长的。

（ ）(7) 如果考虑阻尼，多自由度体系在简谐荷载作用下的质点振幅就不能用列幅值方程的方法求解。

（ ）【解】(1) 错误。

体系的自振频率与初速度无关，由结构本身的特性所决定。

(2) 错误。

由阻尼结构的自振频率2r 1ωωξ=-可知，阻尼增大使自振频率减小，自振周期变长。

(3) 正确。

(4) 错误。

由动力自由度的概念知，动力自由度数与计算假定有关，而与集中质量数目和超静定次数无关。

(5) 正确。

(6) 正确。

(7) 正确。

习题10.2 填空题(1) 单自由度体系运动方程为2P 2()/y y y F t m ξωω++=，其中未考虑重力，这是因为__________。

(2) 单自由度体系自由振动的振幅取决于__________。

(3) 若要改变单自由度体系的自振周期， 应从改变体系的__________或__________着手。

(4) 若由式()211βθω=-求得的动力系数为负值，则表示__________。

(5) 习题10.2(5)图所示体系发生共振时，干扰力与__________平衡。

c k WF sin θ tP 12-2(5)习题 图习题10.2(5)图(6) 求习题10.2(6)图所示质点系的自振频率时(EI ＝常数)，其质量矩阵[M ]=__________。

mm2m12-2(6)习题 图mF sin θ tP 12-2(7)习题 图习题10.2(6)图 习题10.2(7)图(7) 习题10.2(7)图所示体系不考虑阻尼，EI ＝常数。

已知=0.6(为自振频率)，其动力系数β＝__________。

m =2m 21m =m y (t )21y (t )12-2(8)习题 图习题10.2(8)图(8) 已知习题10.2(8)图所示体系的第一主振型为{}(1)12Y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用主振型的正交性可求得第二主振型{}(2)=Y __________。

(9) 习题10.2(9)图所示对称体系的第一主振型{}(1)=Y __________，第二主振型{}(2)=Y __________。

m mEI a a a a12-2(9)习题 图习题10.2(9)图【解】(1) 以重力mg 作用时的静平衡位置为y 坐标的起点。

(2) 初位移、初速度及体系的自振频率。

(3) 质量，刚度。

(4) 质点动位移的方向与简谐荷载方向相反。

(5) 阻尼力。

(6) 0000003m m m ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。

(7) 1.5625。

根据公式221=1-βθω计算。

(8) 1-0.25⎛⎫ ⎪⎝⎭。

(9) 1-1⎛⎫ ⎪⎝⎭，11⎛⎫⎪⎝⎭。

利用对称性。

习题10.3确定习题10.3图所示质点体系的动力自由度。

除注明者外，各受弯杆EI＝常数，各链杆EA＝常数。

0=∞(a)(b)(c)(d)12-3习题 图(a) (b) (c) (d)习题10.3图【解】(a) 2；(b) 3；(c) 2；(d) 4，在两个质量上分别附加2个支杆。

习题10.4不考虑阻尼，列出习题10.4图所示体系的运动方程。

F P(1) (2) (3)习题10.4图【解】(1)用刚度法。

设自由振动的任一时刻t，刚性杆绕B点的转角为α，此时体系受力情况如习题解10.4(1)图所示。

ll2习题解10.4(1)图由0BM=∑列动平衡方程得1-220ml l m l l k l lααα⋅-⋅⋅-⋅=化简得22150ml k lαα+=(2) 用刚度法。

设质点m的位移y向右为正。

先求体系的刚度系数k11，如习题解10.4(2).(a)图所示。

126EI/ll3F P-my(a)1M图及刚度系数(b) 受力图然后取质点连同横梁为隔离体，其受力图如习题解10.4(2).(b)图所示。

由0x F =∑，得11P cos 0k y my F t θ+-=即 P 312cos EImy y F t l θ+= (3) 用柔度法。

绘1M 图和P M 图，分别如习题解10.4(3).(a)、(b)图所示。

由图乘法公式，得32111P212211233236l l l l l l l l EI EI EI EI δδ⎡⎤⎡⎤=⨯⨯⨯==-⨯⨯⨯=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 列位移方程()111P ()y my M t δδ=-+，整理得：331()24EI y y M t ml ml+=-(a) 1M 图(b) P M 图习题解10.4(3)图习题10.5 求习题10.5图所示单自由度体系的自振频率。

除注明者外，EI ＝常数。

k 1为弹性支座的刚度系数。

=EI 13/4(1)(2)l 3(3)(4)(5)(6)【解】(1) 绘1M 图，如习题解10.5(1)图所示。

则由图乘法公式，得311548l EI δ=则ω=l 12-5(a)习题解 图习题解10.5(1)图(2) 在质点处施加竖向单位力，体系的位移图和1M 图分别如习题解10.5(2).(a)、(b)图所示。

k 1(a) 位移图(b) 1M 图习题解10.5(2)图由习题解10.5(2).(a)图得1110.51=23k EIδ⨯=由1M 图得1224=3M ds EIEIδ=∑⎰ 故111253EI δδδ=+=，则ω= (3) 使质点沿运动方向发生单位位移，求刚度系数，如习题解10.5(3).(a)、(b)图所示。

3(a) 刚度系数(b) 1M 图习题解10.5(3)图13EIk l =，()2333482/2EI EI k l l =⨯= 则 1112349EIk k k l=+=，ω=(4) 求刚度系数，画1M 图，如习题解10.5(4)图所示。

11133372EI EIk k l l=⨯+=，ω==习题解10.5(4)图 1M 图(5) 求柔度系数，绘1M 图，如习题解10.5(5)图所示。

习题解10.5(5)图 1M 图3112122233l l l l EIEIδ⎡⎤=⨯⨯⨯=⎢⎥⎣⎦，ω(6) 求柔度系数，绘单位力作用下的P M 图和基本体系1M 图，如习题解10.5(6).(a)、(b)图所示。

/5l /5(a) P M 图(b) 1M 图习题解10.5(6)图由两图图乘公式，可知311815l EIδ=，则ω=习题10.6 求习题10.6(a)图所示体系的自振频率。

除杆件AB 外，其余杆件为刚性杆。

mmEI 0=∞EI 0=∞l/2l lEI 0=∞EIAB2A2AAl 6EIA/2m ω2Am ω22Al6EIA/3A BC DEm m(a)(b)习题10.6图【解】绘体系的位移幅值图及相应的受力图如习题解10.6(b)图所示。

体系为两个质点的单自由度体系，可通过列幅值方程求。

沿柱AB 的顶部切取BCDE 为隔离体，由0D M ∑=得2236202l EIAm A m A l l lωω⨯+⨯-⨯=得3125EIml ω=习题10.7 求习题10.7图所示体系的自振周期。

mlEI 0=∞EI EIllmEIEI4m 4m 4m 4m EA EA EA EI EI m 6m (a)(b)12-7习题 图(1)(2)4m4m4m4mEAEAEAEI EI m 3m(3) 习题10.7图【解】(1) 求刚度系数，绘体系发生单位水平位移时的1M 图，如习题解10.7(1)图所示。

则1133312315EI EI EIk l l l=+=，31122215m ml T k EI πω==lEI /3l 6EI/习题解10.7(1)图 1M 图(2) 求柔度系数，绘单位力作用下的P M 图和基本体系1M 图，如习题解10.7(2)图所示。

(a) P M 图(b) 1M 图习题解10.7(2)图由图乘法公式，可知311112117()232412l l l l l l l l EIEI δ⎡⎤=⨯⨯⨯+⨯⨯-=⎢⎥⎣⎦则222T πω===(3) 绘体系在竖向单位力作用下的1M 图及N1F 图，如习题解10.7(3)图所示。

12-7(c)习题解 图习题解10.7(3)图 1M 图和N1F 图则 221111643581138393M N ds l EI EA EI EA EIδ=+=+=∑∑⎰22T ==习题10.8 某单质点单自由度体系由初位移y 0=2cm 产生自由振动，经过八个周期后测得振幅为0.2cm ，试求阻尼比及在质点上作用简谐荷载发生共振时的动力系数。

【解】阻尼比 0112lnln 0.0462280.2n y ny ξππ⎛⎫=== ⎪⨯⎝⎭共振时 1110.9220.046βξ===⨯ 习题10.9 求习题10.9(a)图所示梁纯强迫振动时的最大动力弯矩图和质点的振幅。

已知：质点的重量172P 24.5kN 10kN 52.3s 3.210N m W F EI θ-====⨯⋅，，，。

不计梁的重量和阻尼。

sin θ t(a)P(b) 1M 图(c) d.max M 图习题10.9图【解】在质点处施加竖向单位力，绘1M 图，如习题10.9(b)图所示。

由1M 图求得111121284222222323EIEIδ⎡⎤=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=⎢⎥⎣⎦ 则140s ω-=== 2222111.4152.31140βθω===---梁纯强迫振动时的最大动力弯矩图如习题10.9(c)图所示。

质点最大动位移为33max 11P 781.4110103.52510m 3.210y F βδ-==⨯⨯⨯=⨯⨯ 习题10.10 求习题10.10(a)图所示刚架稳态振动时的最大动力弯矩图和质点的振幅。

已知：42P 2.5kN 2.810k N m F EI θ===⨯⋅，，。

不考虑阻尼。

F P(a)(b) 1M 图(c) d.max M 图习题10.10图【解】在质点处施加水平单位力，绘1M 图，如习题10.10(b)图所示。

由1M 图求得111121220055535523233EIEI δ⎡⎤=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=⎢⎥⎣⎦221134113βθω===---P 1142003 2.50.0179m 3 2.810A F βδ==⨯⨯=⨯⨯则刚架稳态振动时动力幅值为P =7.5kN F β，其最大动力弯矩图如习题10.10(c)图所示。