1机械能守恒与能量守恒（一）利用机械能守恒定律求解抛体运动问题案例1、从离水平地面高为H 的A 点以速度v 0斜向上抛出一个质量为m 的石块，已知v 0与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，求：(1)石块所能达到的最大高度？H +h =H +gv 2sin 0θ (2)石块落地时的速度？大小为：v C =gHv 220+（二）利用机械能守恒定律解决弹力做功与弹性势能问题案例2、 如图所示，一个质量为m 的物体自高h 处自由下落，落在一个劲度系数为k 的轻质弹簧上。

求：当物体速度达到最大值v 时，弹簧对物体做的功为多少?变式训练：变式1、如图所示的弹性系统中，接触面光滑，O 为弹簧自由伸长状态。

第一次将物体从O 点拉到A 点释放，第二次将物体从O 点拉到B 点释放，物体返回到O 点时，下列说法正确的是：（ ）A 、弹力做功一定相同B 、到达O 点时动能期一定相同C 、物体在B 点的弹性势能大D 、系统的机械能不守恒 正确答案选C 。

（三）利用机械能守恒定律求多个物体组成系统的运动速度问题案例1、如图所示，质量均为m 的小球A 、B 、C ，用两条长为l 的细线相连，置于高为h 的光滑水平桌面上，l >h ，A 球刚跨过桌边.若A 球、B 球相继下落着地后均不再反跳，则C 球离开桌边时的速度大小是多少? 2132123mv mgh mgh += 解得：321gh v =当B 球刚要落地时，B 、C 机械能守恒。

B 、C 有共同速度，设v 222212212212mvmgh mvmgh +=+解得：352gh v =可见：C 球离开桌边时的速度大小是352gh v =变式训练：变式1、半径为R 的光滑圆柱体固定在地面上，两质量分别是M 和m 的小球用细线连接，正好处于水平直径的两端，从此位置释放小球，当m 运动到最高点时，对球的压力恰好为零，求此时M 的速度和两小球的质量之比。

解析：对系统运用机械能守恒定律2)(2141vm M mgR R Mg+=-πM 在最高点时，Rvmmg 2=、联立解得：31-=πmM图2图1图图变式2、如图所示，一辆小车静止在光滑的水平导轨上，一个小球用细绳悬挂在车上由图中位置释放（无初速度），则小球在下摆过程中（ ）A ．绳对小车的拉力不做功B ．绳对小球的拉力做正功C ．小球的合外力不做功D ．绳对小球的拉力做负功正确答案：D（四）利用机械能守恒定律求解质量分布均匀的绳子、链子问题 案例3 如图3所示，在光滑水平桌面上，用手拉住长为Ｌ质量为Ｍ的铁链，使其1/3垂在桌边。

松手后，铁链从桌边滑下，求铁链末端经过桌边时运动速度是过少？322gL v =（五）利用机械能守恒定律求解连通器水流速问题案例5、粗细均匀的U 型管两端开口，左端用活塞压着液体，此时两液面的高度差为h ，液体的总长度为L ，U 型管的截面积为s ，液体的密度为ρ。

现在突然抽去活塞，（1）不计阻力影响，当两端液面相平时，液体运动的速度是多少？（2）若最终液体静止不动，则系统产生的内能是多少？变式训练：如图所示,容器A 、B 各有一个可以自由移动的活塞,活塞截面积分别为S A 、S B ,活塞下面是水,上面是空气,大气压恒为P 0,A 、B 底部与带有阀门K 的管道相连,整个装置与外界绝热原先,A 中水面比B 中高h ,打开阀门,使A 中水逐渐流向B 中,最后达平衡,在这个过程中,大气压对水做功为______,水的内能增加为______(设水的密度为ρ)解：（1）0 （2）水的内能增加=∆E BA B A 2S S S S gh21+ρ（六）利用机械能守恒定律解决圆周运动的问题案例6、如图所示，半径为r ，质量不计的圆盘与地面垂直，圆心处有一个垂直盘面的光滑水平固定轴O ，在盘的最右边缘固定一个质量为m 的小球A ，在O 点的正下方离O 点r/2处固定一个质量也为m 的小球B 。

放开盘让其自由转动，问：（1）A 球转到最低点时的线速度是多少？222121)(21BAmvmvmgr mgr +=---据圆周运动的知识可知：v A =2v B 由上述二式可求得v A =5/4gr（2）在转动过程中半径OA 向左偏离竖直方向的最大角度是多少？θθcos sin 2121mgr mgr mgr -=-解得θ=sin -153=370图16（七）用能量守恒相对滑S F Q =解相对运动问题案例7、如图所示，小车的质量为M ，后端放一质量为m 的铁块，铁块与小车之间的动摩擦系数为μ，它们一起以速度v 沿光滑地面向右运动，小车与右侧的墙壁发生碰撞且无能量损失，设小车足够长，则小车被弹回向左运动多远与铁块停止相对滑动？铁块在小车上相对于小车滑动多远的距离？命题解读：本题考查动能定理、能量守恒定律、动量守恒定律。

两个物体相互摩擦而产生的热量Q （或说系统内能的增加量）等于物体之间滑动摩擦力F f 与这两个物体间相对滑动的路程的乘积，即相对滑S F Q =。

利用这结论可以简便地解答高考试题中的“摩擦生热”问题。

分析与解：小车反弹后与物体组成一个系统满足动量守恒，规定小车反弹后的方向作向左为正方向，设共同速度为x v ，则：　x v m M mv Mv )(+=-解得：　v mM m M v x +-=以车为对象，摩擦力始终做负功，设小车对地的位移为S 车 则：　－车222121Mv MvmgSx-=μ即：222)(2m M g vM S +μ＝车系统损耗机械能为：　相fS Q E ==∆22)(21)(21xv m M v m M mgS+-+＝相μgm M MvS )(22+μ＝相；变式训练：变式1、如图4-4所示，质量为M ，长为L 的木板（端点为A 、B ，中点为O ）在光滑水平面上以v 0的水平速度向右运动，把质量为m 、长度可忽略的小木块置于B 端（对地初速度为0），它与木板间的动摩擦因数为μ，问v 0在什么范围内才能使小木块停在O 、A 之间？解析：木块与木板相互作用过程中合外力为零，动量守恒。

设木块、木板相对静止时速度为 v ， 则 (M +m )v = Mv 0能量守恒定律得：QmvMvMv ++=2220212121滑动摩擦力做功转化为内能：mgs Q μ=相对位移的范围是：Ls L ≤≤2解得v 0 的范围应是：MgLm M )(+μ≤v 0≤MgLm M )(2+μ变式2、在光滑水平面上停放着一辆质量为M 的小车，质量为m 的物体与劲度系数为k 的轻弹簧牢固连接，弹簧的另一端与小车左端连接。

将弹簧压缩x 0后用细线把物体与小车拴住，使物体静止于车上A 点，如图4所示。

物体m 与小车间的动摩擦因素为μ，O 为弹簧原长时物体右端所在位置。

然后将细线烧断，物体和小车都要开始运动。

求： （1）当物体在车上运动到距O 点多远处，小车获得的速度最大？ （2）若小车的最大速度是v 1，则此过程中弹簧释放的弹性势能是多少？ 解析：（1）物块m 和小车M 组成的系统动量守恒。

当物块速度最大时，小车的速度也最大。

对物块m ，速度最大时，加速度为零。

则有kx=μmg ，所以x=μmg/k 。

（2）由系统动量守恒，得Mv 1-mv 2=0，V 2=Mv 1/m由能量守恒定律可知，，弹簧释放的弹性势能转化为动能和内能，有△E p =E kM +E km +Q而Q=fs 相对=μmg(x 0-μmg/k)，△Ep=Mv 12(M+m)/2m+μmg(x 0-μmg/k) （八）用能量守恒解决传送带的运动问题案例8、如图7所示，传送带与地面的倾角θ=37°，从A 端到B 端的长度为16m ，传送带以v 0=10m/s 的速度沿逆时针方向转动。

在传送带上端A 处无初速地放置一个质量为0.5kg 的物体，它与传送带之间的动摩擦因数为μ=0.5，求（1）物体从A 端运动到B 端所需的时间是多少？（2）这个过程中系统产生的内能。

(sin37°=0.6，cos37°=0.8)命题解读：该题目的关键就是要分析好各阶段物体所受摩擦力的大小和方向，若μ＞0.75，第二阶段物体将和传送带相对静止一起向下匀速运动；若L ＜5m ，物体将一直加速运动。

因此，在解答此类题目的过程中，对这些可能出现两种结果的特殊过程都要进行判断。

分析与解：物体放在传送带上后，开始阶段，传送带的速度大于物体的速度，传送带施加给物体一沿斜面向下的滑动摩擦力，物体由静止开始加速下滑，受力分析如图（a ）所示；当物体加速至与传送带速度相等时，由于μ＜tanθ，物体在重力作用下将继续加速，此后物体的速度大于传送带的速度，传送带给物体沿传送带向上的滑动摩擦力，但合力沿传送带向下，物体继续加速下滑，受力分析如图(b)所示。

综上可知，滑动摩擦力的方向在获得共同速度的瞬间发生了“突变”。

图7开始阶段由牛顿第二定律 mgsinθ＋μmgcosθ=ma 1 解得a 1=gsinθ＋μgcosθ=10m/s 2 物体加速至与传送带速度相等时需要的时间t 1＝v/a 1＝1s发生的位移为s ＝21a 1ｔ12＝5m ＜16m 可知物体加速到10m/s 时仍未到达B 点第二阶段的受力分析如图(b)所示，应用牛顿第二定律 有mgsinθ－μmgcosθ＝ma 2 所以a 2＝2m/s 2设第二阶段物体滑动到B 端的时间为t 2 则L AB －s ＝v ｔ2＋21a 2ｔ22解得t 2＝1s ｔ2′=-11s （舍去） 故物体经历的总时间ｔ=t 1＋t 2=2s （2）W 1=fs 1=μmgcos θ·s 1=10J W 2=-fs 2=-μmgcos θ·s 2= -22J 所以，W=W 1+W 2=10-22=-12J 故知系统发热产生的内能是12J 变式训练：如图12所示，绷紧的传送带与水平面的夹角θ=30°，皮带在电动机的带动下，始终保持v 0=2m/s 的速率运行。

现把一质量m=10kg 的工件（可看为质点）轻轻放在皮带的底端，经时间t=1.9s ，工件被传送到h=1.5m 的高处，取g=10m/s 2。

求（1）工件与皮带间的动摩擦因数。

（2）电动机由于传送工件多消耗的电能。

解析：由题意可知皮带长s=h/sin30°=3m. 201t v s工件速度达到v 0前，做匀加速运动的位移为 达到v 0后做匀速运动的位移s-s 1=v 0（t-t 1） 加速运动的加速度为a=v 0/t 1=2.5m/s 2 工件受的支持力F N = mgcosθ，对工件据牛顿第二定律得：μmgcosθ-mgsinθ=ma图8解出动摩擦因数为23=μ在时间t 1内，皮带运动位移s 2=v 0t 1=1.6m 工件相对皮带的位移△s=s 2-s 1=0.8m 在时间t 1内，摩擦生热Q=μmgcosθ△s=60J 工件获得的动能E k =mv 02/2=20J 工件增加的势能E p =mgh=150J电动机多消耗的电能W=Q+E k +E p =230J［误区分析］误区一、误认为弹力对物体所做的功等于系统机械能的变化，忽视功能关系的概念。