2
其交点横坐标便是方程的解，由图知： k 4时， 无解； k = 4或k 3时，有两解； 4 k 3时有四个解； k 3时有三个解.
3
4
y
x
结论： 一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 在区间上的
实根分布问题.
（） 1 一元二次方程有且仅有一个实根属于（m, n）的 充要条件是： f (m) f (n) 0. b 2 4ac 0 a f ( m) 0 a f ( n) 0 m b n 2a
(6) x1，x2有且只有一个根在（k1 , k2）内
k1
k2
f (k1 ) f (k2 ) 0
k1
k2
0 或 b k1 k2 2a
k1
k2
f ( k1 ) 0 或 b k1 k2 k1 2a 2
k1
f ( k2 ) 0 或 k1 k2 b 2 2a k2 k2
(2) 一元二次方程两个实根都属于（m, n）的充要条件是：
(3) 一元二次方程两个实根分别在（m, n）两侧的
a f ( m) 0 充要条件是： a f ( n) 0 （4）一元二次方程两个实根分别在（m, n）同一侧的 充要条件是： 分两类： b 2 4ac 0 （） 在（m, n）右侧 a f (n) 0 b n 注：前提 m,n 2a 不是方程（1） b 2 4ac 0 （） 在（m, n）左侧 a f (m) 0 b m 2a
不等式组
2 x 变式题：m为何实数值时，关于x的方程 mx (3 m) 0
有两个大于1的根.
=m2 4(3 m) 0 法二： m m 2 4m 12 1 x1 2 m m2 4m 12 1 x2 2
由求根公式，转化成含根式的 不等式组
m 6或m 2 m6 解不等式组，得 m 2 m 2 4m 12 m 2 4m 4
例.就实数k的取值，讨论下列关于x的方程 2 x 2 x 3 k 解的情况：
解： 将方程视为两曲线 y x 2 x 3与y k 相交，
变式题：m为何实数值时，关于x的方程 x mx (3 m) 0 有两个大于1的根. 转变为函数，借 2 法一：设 f ( x) x mx (3 m) 由已知得： 助于图像，解不
2
等式组
f(xm 2 4( m 3) 0 m6 f (1) 0 m 1 转化为韦达定理的 2
b 4ac
2
b x 2a f ( m) 的符号。
设f ( x ) ax 2 bx c(a 0) 一元二次方程ax bx c 0(a 0)
2
的两根为x1 , x2 ( x1 x2 )
(1)方程两根都小于k (k为常数）
0 b k 2a f (k ) 0
的根.
课时小结：
紧紧以函数图像为中心，将方程的根用 图像直观的画出来，或数形结合或等价转 化，将函数、方程、不等式视为一个统一 整体，另外，要重视参数的分类讨论对图 形的影响。
(2)方程两根都大于k (k为常数）
0 b k 2a f (k ) 0
(3) x1 k x2 (k为常数）
f (k ) 0
(4)k1 x1 x2 k2 (k1 , k2为常数）
0 b k2 k1 2a f ( k1 ) 0 f ( k2 ) 0
(3)当 b 2 4ac 0时， 方程没有实数根
2、当x在某个范围内的实根分布
2 ax bx c 0(a 0) 在某个区间 ★一元二次方程 上有实根，求其中字母系数的问题称为实根分布问题。
实根分布问题一般考虑四个方面，即： （1）开口方向 （2）判别式 （3）对称轴 （4）端点值
一元二次函数根的分布
二次函数的图像与性质,从而能判断一元 二次方程根的存在性及根的个数
实根分布问题
★一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0)
1、当x为全体实数时的根
(1)当 b 2 4ac 0时， 方程有两个不相等的实数根
(2)当 b 2 4ac 0时， 方程有两个相等的实数根