材料制备与工艺实践
第一部分：试验设计与数据处理之试验误差分析及数据处理
袁俊杰
2012.10.09.
参考书目： 《试验设计与数据处理》 作者:李云雁 胡传荣编著 出版日期:2011年01月第2版 《试验设计与数据处理》 作者:何少华 文竹青 娄涛编著 出版日期:2002年10月第1版 《试验设计与数据处理》 作者:郑少华 姜奉华编著 出版日期:2004年03月第1版
4.精度
1）精度：反映观测结果与真实结果接近程度的量。精度在数 值上可用相对误差的倒数来表示。 例：如观测的相对误差为0.01%，则其精度为1:10-4=104；
如观测的相对误差为1ppm=10-6， 则精度为1:10-6=106
2）精度又分精密度(precision) 、正确度(correctness)与精确度 (accuracy) 精密度反映偶然误差大小的程度。如观测的偶然误差小， 则称观测的精密度高，可以增加观测次数，取其平均值来提
Er
10.54 10.52 100 % 0.19% 10.52
0.02 100 % 1.9% 1.03
若测定值为 1.05g，真实值为 1.03g，则
E 1.05 1.03 0.02 g
Er
绝对误差 E 虽然可以表示一个测量结果的可靠程度，但在不同测量结果 的可靠性对比中，不如相对误差 Er，实际应用时，相对误差更能说明问题。
(2)单向性；产生误差,要么是正，要么是负。 (3)恒定性；影响的大小总是相同。 消除系统误差的方法：加校正值的方法 （利用对照实验、空白实验、校准仪器的方 法进行）
偶然误差

偶然误差(random error)也称为随机误差。它是由不确定 的原因或某些难以控制原因造成的。 偶然误差产生原因：主要由环境因素所造成（如：环境 温度、湿度和气压的微小波动） 偶然误差特点 (1) 双向性 （时正时负） (2) 不可测性 （忽大忽小） 减免方法：增加平行测定次数，取算术平均值。
： ） 真值 或
xE
实际应用中常用测量值与平均值之差表示绝对误差。
相对误差是指该值的绝对误差值与真值（平均值）的比值。 即

100%
无单位，百分数表示，常用于不同测量结果的可靠性对比中。
例如：若测定值为 10.54g，真实值为 10.52g。 则 E=10.54-10.52=0.02g
一项科学合理的试验安排方法应能做列以下三点：
(1)试验次数尽可能的少；
例：某试验研究了3个影响因素： A：A1，A2，A3 B：B1，B2，B3 C：C1，C2，C3 全面试验：27次 正交试验：9次
(2)便于分析和分析和处理试验数据； (3)能得到满意的结果。
试验步骤
（1）指标、因素和水平的确定；

由图可知：甲所得结果的正确度和精密度都好，结果可靠； 乙的结果精密度高，但正确度较低；丙的精密度和正确度都 很差；丁的分析结果相差甚远，精密度太差，其平均值虽然 也接近真值，但这是由于正负误差相互抵消所致。如果只取2 次或3次来平均，结果会与真实值相差很大。因此这个结果是 凑巧的，不可靠。

综上所述，可得到以下结论（1）精密度是保证正确度的先决
解：
x
4000 15 10000 8 400 1500 70 900 15 8 1500 900
=331.4（mg/L）
2．直接测量值与间接测量值
直接测量值就是通过仪器直接测试读数得到的数据。
如： ①用压力表测量容器中的压力值。 ②用电流表测量电路中的电流值。 ③过滤实验中，测压管的读数。 ④如混凝实验中，通过光电式浊度仪测出的剩余浊度值。
（2）研究技术路线的建立
（3）进行试验设计 单因素实验设计 正交试验设计 （4）误差分析和数据处理
第三章 试验误差分析及数据处理





概述 真值与误差 有效数字及运算法则 可疑值的取舍 试验数据的处理 试验数据的整理和归纳
由于受方法、仪器、试剂、实验环境、实验者的主观 因素等方面的限制，使测得的实验结果与真实含量不可能
（1）算术平均值(arithmetic mean) 算术平均值是最常用的一种平均值，当观测值呈正态分布时，算术平均 值最近似真值。 设 x1，x2，„„，xn 为各次的观测值，n 代表观次数，则算术平均值为
x1 x 2 x n 1 x n n
x
i 1
n
i
（2）均方根平均值 均方根平均值常用于计算分子的平均动能中，应用较少。 其定义为
高观测的精密度。
正确度反映系统误差的大小的程度。如观测的系统误
差小，则称观测的正确度高。可以使用更精确的仪器
来提高观测的精密度。 精确度反映偶然误差与系统误差合成的综合误差大小 的程度。 对于测量来说，精密度高，正确度不一定高；同
样，正确度高，精密度也不一定高；精确度高，则精
密度和正确度都高。


间接测量值就是直接测量值经过公式计算后所得的另外一 些测量值。 所谓数据分析就是要对这些直接测量值或间接测量值进行 分析整理，得出结论。

3．误差与误差的分类
1）绝对误差与相对误差
误差(error)：测量值与真实值的差值。
绝对误差指测量值与真值之间的差值。
E x （x： 测量值；
Er x
条件，精密度差，所得结果不可靠，就失去衡量准确度的前 提。（2）精密度高不一定能保证有高的正确度。（3）精确 度高一定伴随着高的精密度和正确度。

例如：甲乙两人用同一方法测定同一盐垢样品中时，测定 三次结果如下： 甲：①2.16% ②2.20% ③2.18% 平均值2.18% 乙：①3.24% ②3.46% ③3.38% 平均值3.36% 在一组测量中，尽管精密度高，偶然误差小，但可能由于 存在系统误差，使正确度不高；反之，正确度高时，由于 仪器灵敏度低或其他原因，使精密度不够。 所以，在消除系统误差之后，通过精细操作才能得出它的 精密度和正确度都高的结论。
0.3 3 0.4 5 0.5 7 0.6 7 0.7 5 x 35 7 7 5
＝0.52（mg/L）
例 2：某印染厂、各类污水的 BOD5 测定结果如下表，试 计算该厂污水平均浓度。 BOD5 污水流量 污水类型 （mg/L） （m3 /d） 4000 15 退浆污水 10000 8 煮布锅污水 400 1500 印染污水 70 900 漂白污水

需检查并校正系统误差
如分析天平及各种仪器的定期校正，滴定管、移液管 等容量仪器，应注意其质量等级，必要时可进行体积的校正。
减小随机误差 办法：多次测定取其平均值可以减小随机误差的影响，因 此，在消除系统误差的前提下，平行测定的次数越多，平均 值越接近真值。对同一试样，一般要求平行测定2－4次。

（5）几何平均值(geometric mean) 如果一组观测值是非正态分布，当对这组数据取对数后，所得图形的分布曲线 更对称时，常用几何平均值。 几何平均值是一组 n 个观测值连乘并开 n 次方求得的值，计算公式如下：
x n x1 x2 xn
例 1：某工厂测定含铬废水浓度的结果如下表，试计算其 平均浓度。 0.4 0.5 0.6 0.7 铬 （mg/L） 0.3 3 5 7 7 5 出现次数
完全一致。这就造成误差。误差是客观上难以避免的。
在一定条件下，测量结果只能接近于真实值，而不能
达到真实值。
为了提高分析结果测量的准确度，将误差减小到最低 限度，必须了解误差产生的原因，采取减小误差的有效措
施，提高分析结果的准确度。下面具体介绍误差的种类、
来源及产生的原因。
§1 真值与误差

一、误差的基本概念


3）提高精度的方法

减小系统误差
办法：则应从分析方法、仪器和试剂、实验操作等方面， 减少或消除可能出现的系统误差,具体有:

方法选择
常量组分的分析，常采用化学分析，而微量和痕量分析 常采用灵敏度较高的仪器分析方法；

取样量要适当
过小的取样量将影响测定的准确度。如用分析天平称量， 一般要求称量至少为0.2g，滴定管用于滴定，一般要求滴定 液体积至少20ml。
x
2 2 2 x1 x2 xn 1 n n

i 1
n
xi2
（3）加权平均值(weighted mean) 若对同一事物用不同方法去测定， 或者由不同 的人去测定，计算平均值时，常对比较可靠的数值 予以加重平均，称为加权平均。 计算公式为：
x 2 x2 n xn x 1 1 1 2 n
表示：
d dr 100% X
（3）平均偏差与相对平均偏差

平均偏差 d 为各次测定值的偏差的绝对值的平均值， 式中n为测量次数。由于各测量值的绝对偏差有正有负， 取平均值时会相互抵消。只有取偏差的绝对值的平均值才能
b. 仪器或试剂误差：是由于仪器未经校准或试剂不 合格的原因造成的。如称重时，天平砝码不够准 确；配标液时，容量瓶刻度不准确；对试剂而言， 杂质与水的纯度，也会造成误差。
c. 操作误差：是由于分析操作不规范造成。如标准 物干燥不完全进行称量；
特点
(1)重现性：同一样品进行多次重复测定可重复出
现。
x
i 1 n
n
i i

i 1
i
式中 x1，x2，„„，xn 代表各个观测值 „„ n 代表与各观测值相应的权， 1 ， 2 ， 其他符合同前。 各观测值的权数 ，可以是观测值的重复次 数、观测者在总数中所占的比例，或者根据经验确 定。
（4）中位值（中位数） 中位值是指一组实验数据按大小次序排列时的中间值。 1 1.12 1.7 2.0 2.5 4 4.5 （4.8）