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高中数学必修五课件 余弦定理
解:∵a:b:c=2: 6:( 3+1), 令a=2k,b= 6k,c=( 3+1)k(k>0). 由余弦定理的推论得 b2+c2-a2 6+ 3+12-4 2 cosA= = = ,∴A=45° . 2bc 2× 6× 3+1 2 a2+c2-b2 4+ 3+12-6 1 cosB= 2ac = =2,∴B=60° . 2×2× 3+1 ∴C=180° -A-B=180° -45° -60° =75° .
[分析] 将四边形 ABCD 分成△ABD 和△BCD,在△ABD 中,用余 弦定理求出 BD,在△BCD 中,用正弦定理即可解出 BC.
[解] △ABD 中, 由余弦定理得 AB2=AD2+BD2-2AD· BD· cos∠ADB, 设 BD=x, 则有 142=102+x2-2×10xcos60° , 即 x2-10x-96=0, 解得 x1=16,x2=-6(舍去), ∴BD=16. ∵AD⊥CD,∠BDA=60° , ∴∠CDB=30° . 16 在△BCD 中,由正弦定理得 BC=sin135° · sin30° =8 2.
[点评]
1.解三角形时,应先分析题设条件,如本题属
于“SAS”型,先用余弦定理求a,在此基础上,可以利用余 弦定理计算角B或C的余弦值,也可以利用正弦定理计算角 B或C的正弦值. 2.常用余弦定理解答两类题目“SAS”型及“SSS”型.
变式训练 1 已知在△ABC 中,a:b:c=2: 6:( 3+1),求△ABC 的 各角度数.
1.1.2 余弦定理
1.余弦定理 三角形中任何一边的平方 等于其他两边的平方的和减去 这两边与它们的夹角的余弦的 积的两倍.即
若 a,b,c 分别是△ABC 的顶 点 A,B,C 所对的边长,则
b +c -2bccosA a =__________________ ,
2 2
2 2
a +c -2accosB b =__________________ ,
各角 ; (1)已知三边,求_____
第三边和其他两个角 (2)已知两边和它们的夹角,求 __________________.
思考感悟
1 .已知三角形任意两边与一 角,借助于正、余弦定理是否能求 出其他元素?
2. 在解三角形的过程中, 求某一个角有时既可以用余 弦定理,也可以用正弦定理,两种方案有什么利弊呢?
典例导悟
类型一 利用余弦定理解三角形 [例 1]△ABC 中,已知 b=3,c=2 3,A=30° ,求边 a、 角 C 和角 B.
[解] 直接应用余弦定理:
a2=b2+c2-2bccosA =32+(2 3)2-2×3×2 3×cos30° =3,∴a= 3. a2+c2-b2 32+2 32-32 1 ∴cosB= = =2. 2ac 2× 3×2 3 ∴B=60° ,∴C=180° -A-B=180° -30° -60° =90° .
须知余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定
2 2 2 a > b + c 理的特例.角A为钝角⇔_____________,角A为直角⇔ 2 2 2 2 2 2 a = b + c a < b + c ____________,角A为锐角⇔____________.
3.利用余弦定理可解决的两类问题 余弦定理的每一个等式中都包含四个不同的量, 它们分 别是三角形的三边和一个角, 知道其中的三个量, 代入等式, 便可求出第四个量来. 利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角形的问题:
∴a2=b2+c2-bc. 又∵a2=b2+c2-2bccosA,则2cosA=1,∴A=60° . 又∵sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC= 2sinBcosC,∴sin(B-C)=0,∴B=C. 又∵B+C=120° ,∴△ABC是等边三角形.
[点评]
判断三角形形状的方法
2A
1+cosA b+c b 2 = 2c ,∴cosA=c . b2+c2-a2 b 根据余弦定理得 = , 2bc c ∴b2+c2-a2=2b2,即a2+b2=c2. ∴△ABC是直角三角形.
类型三 正、余弦定理的综合应用 [例 3] 如图所示,在四边形 ABCD 中,AD⊥CD,AD =10,AB=14,∠BDA=60° ,∠BCD=135° ,求 BC 的长.
类型二 [例2]
判断三角形的形状 在△ABC中,已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc且
sinA=2sinBcosC,试确定△ABC的形状. [分析] 首先根据条件(a+b+c)(b+c-a)=3bc,利
用余弦定理求出一个角,再利用另一个条件,得到另外两 个角的关系,即可判断.
[解]
∵(a+b+c)(b+c-a)=3bc,
a +b -2abcosC c =__________________.
2
2 2
2
2
2.余弦定理的推论 余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与 对边之间的关系,它的另一种表达形式是 2 2 2 b +c -a cosA=_____________ , 2bc 2 2 2 a +c -b cosB=_____________ , 2ac 2 2 2 a +b -c cosC=_____________. 2ab
提示:用余弦定理求角时,运算量较大,但角与余弦 值是一一对应的,无须讨论;而用正弦定理求角时,运算 量较小,但由于在区间(0,π)上角与正弦值不是一一对应 的,一般情况下一个正弦值可对应两个角,往往要依据角 的范围讨论解的情况.
3.怎样用余弦定理判断三角形的形状?
提示:(1)在△ABC中,若a2<b2+c2,则0° <A<90° ;反 之,若0° <A<90° ,则a2<b2+c2. (2)在△ABC中,若a2=b2+c2,则A=90° ;反之,若A =90° ,则a2=b2+c2. (3)在△ABC中,若a2>b2+c2,则90° <A<180° ;反之, 若90° <A<180° ,则a2>b2+c2.
(1)利用正、余弦定理化角成边,利用代数运算求出三 边的关系; (2)由正、余弦定理化边为角,通过恒等变形及内角和 定理得到内角关系,从而判定形状.
b+c 变式训练2 在△ABC中,已知cos 2 = 2c (a,b,c分
2A
别为角A,B,C的对边),判断△ABC的形状.
b+c 解:在△ABC中,由已知cos 2 = 2c 得