3.判别静定、超静定结构。 4.在结构计算时，可根据其几何组成情
况，选择适当的计算方法；分析其组成 顺序，寻找简便的解题途径
三、刚片：在平面内可看成是刚体的物 体，即几何形状和尺寸不变。
1. 一根梁、一根链杆。 2. 三角形 3. 支承结构的地基
链杆 三角形 地基
2.2自由度和约束的概念
将杆AC,AB,BC均看成刚片，就成为三刚 片组成的无多余约束的几何不变体系
规则一、三刚片以不在一条直线上的三 C
铰 相联，组成无多余约束的几何不变体
B
系。 如约束不满足限制条件，将出现下列几种形式的瞬变体系
三铰共线瞬变体系
三刚片以三对平行链杆相联瞬变体系 两平行链杆于两铰连线平行, 瞬变体系
2.3.2二刚片规则
在分析过程中，所有的杆件都必须用上。 W=3×8－2×11=2<3，有多余约束。
实例分析：
B
C
A
F
E
F
例1
1
2
3
D
E
G C
A
B
例2
B C DE F
J
L
I
H
K
例3
5 4
6
例4
A
BC
D
E
F
例5
F
G
H
C
A
B
D
E
例6
实例分析 1
W=3×8－2×10－4=0 0 W=2×6－8－4=0
可能为几何不变体系。 利用二元体，不可主观臆测，认为平行
能几何不变； (3)W<0，有多余约束，可能几何不变。
多余约束 分清必要约束和非必要约束。
例1
刚片法：W=3×3－2×2－5=0 铰结点法：W=2×4－3－5=0 1）对半铰结点不能按铰结点对待； 2）通常每根杆都只能有两个铰接点； 3）悬臂端端点也算作铰结点。
[例2] 刚片法：W=3×3－2×2－6=－1 铰结点法：W=2×4－3－6=－1
1.在平面中，一个自由的点有两个自由度； 2.在平面中，一个自由的刚片有三个自由度。
2.2自由度和约束的概念
2.2.2约束restraint （联系）：减少自由 度的装置。
1、单链杆：仅在两处与其它物体用铰相 连，不论其形状和铰的位置如何。
2、单铰： 联结两个刚片的铰。 3、复铰（重铰）联结三个或三个以上刚
规则二、两刚片以一铰及不通过该铰的
一根链杆相联组成无多余约束的几何不
C
变体系 。
A
a
A B
当杆通过铰 瞬变体系
引申、两刚片以不互相平行，也
不相交于一点的三根链杆相联，组成
B
无多余约束的几何不变体系。
如约束不满足限制条件，将出现下列几种形式的可变体系
瞬
瞬
常
变
变
变
体
体
体
系
系
系
2.3.3二元体规则
（将三刚片规则中的两个刚片换成链杆， 即为二元体规则）
2 . 几 何 可 变 体 系 geometrically changeable system ：在外荷载作用下， 会发生几何形状改变和位置改变的体系。
几何可变体系
几何不变体系
二、几何组成分析的目的：
1.保证结构有可靠的几何组成，避免工程 中出现可变结构。
2.了解结构各部分的构造，改善和提高结 构的性能。
如图示，三刚片用 三个不共线的铰相 连，故：该体系为 无多余约束的几何 不变体系。
O13 O23
O12
D
ⅠF
A
B
C
规则一、三刚片以不在一条 Ⅲ
直线上的三铰 相联，组成无 多余约束的几何不变体系。
A (ⅠⅡ)(ⅠⅢ)(ⅡⅢ)
Ⅲ
Ⅰ
Ⅱ
三个刚片用共点的三个铰相连，
将虚铰用单铰代替，可见刚片Ⅰ、Ⅱ均可绕刚片Ⅲ上A
三链杆不平行也不交于一点
一点一刚片 两个
两链杆不共线
2.4瞬变体系
2.4.1瞬变的类型 1）三刚片规则：三个铰在同一条直线上 2）二刚片规则：链杆通过铰； 三根链杆相交； 三根梁杆平行： 三根链杆平行且相等（常变）。
如约束不满足限制条件，将出现下列几种形式的瞬变体系 三铰共线瞬变体系
原体系的几何构造性质。
引申、两刚片以不互相平行，也不相交于一点的三根链杆相 联，组成无多余约束的几何不变体系。
2、如上部体系与基础用满足要求三个约束相联可去掉 基础，只分析上部。
抛开基础，分析上部，去掉二元体后，剩下两个 刚片用两根杆相连故：该体系为有一个自由度的 几何可体系。
3、当体系杆件数较多时，将刚片选得分散些，刚片与刚片 间用链杆形成的虚铰相连，而不用单铰相连。
的点转动，故该体系几何瞬变体系。
4、逐步扩大法：由一基本刚片开始，逐步增加二元体，扩大刚片的范围 ，将体系归结为两个刚片或三个刚片相连，再用规则判定。
三刚片用不共线 三铰相连，故原 体系为无多余约 束的几何不变体 系。
Ⅲ
(Ⅱ,Ⅲ)
(Ⅰ,Ⅲ)
Ⅱ (Ⅰ,Ⅱ) Ⅰ
①抛开基础,只分析上部。 ②在体系内确定三个刚片。 ③三刚片用三个不共线的
在一个体系上增加或拿掉二元体，不 会改变原体系的几何构造性质。
二元体：有三个铰（不在同一条直线 上），连接两个链杆（刚片）。
将BC杆视为刚片, 该体系就成为一 刚片与一点相联成的几何不变体系。
规则三、在一个体系上
增加或拿掉二元体，不会改变
原体系的几何构造性质。
B
1
A
2
A C
两根不共线的链杆联结 一点称为二元体。
2.2.1自由度degree of freedom ：体 系运动时，用来确定为之所需的独 立坐标的数目。
1.在平面中，一个自由的点
2.在平面中，一个自由的刚片
y
A'
Dy A Dx
0
x
y
A'
B'
D
A B Dy
Dx
0
x
自由度： 描述几何体系运动时，所需独立坐标的数目。 几何体系运动时，可以独立改变的坐标的数目。
返回
小结
自由度与约束
一根链杆，可以减少体系一个自由度，相当于一 个约束。
一个单铰，可减少体系两个自由度相当于两个约 束。
一个联结n个刚片的复铰，相当于n-1个单铰，相 当于 2(n-1)个约束！
2.2.3 虚铰
2.2.3虚铰 有两个链杆连接两个刚片，两根链杆的
作用相当于一个单铰，在瞬时有同一旋 转中心。也叫瞬铰。 1. 由延长线组成的虚铰 2. 有链杆相交组成的虚铰 3. 无穷远虚铰
两根共线的链杆联一点 瞬变体系
在一体系上增加（或减去）二元 体不改变原体系的自由度，也不改变 原体系的机动性。
提问：P22 2.1 2.2
四个规则可归结为一个三角形法则。 （a）
（e） （c）
（b）
（d）
规则 一 二 三 四
连接对象 必要约束数
对约束的布置要求
三刚片 两刚片
六个 三个
三铰(单或虚)不共线 链杆不过铰
C 2
需要四个独立的坐标，新体
系有四个自由度。
x y
单铰可减少体系两个 自由度相当于两个约束
返回
复铰（重铰 ）
A
B
联结三个或三个以上刚片的铰
C
先有刚片A,然后以单铰将
刚片B联于刚片A,
再以单铰将刚片C联刚片于A 上。所以联结三个刚片的复 铰相当于两个单铰，减少体 系四个自由度。
联结n个刚片的复铰相当于n-1 个单铰，相当于 2(n-1)个约束！
连4刚片，n=3
连3刚片，n=2
连2刚片，n=1
注意1、刚接在一起的各刚片作为一大刚片。 如带有a个无铰封闭框，约束数应加 3a 个。
一个刚 片， 7+3个 约束。
2个刚片
2×3 个约 束
2.2.4体系的自由度计算
3.铰接链杆体系: W=2J-b-r J——结点数（一个点有两个自由度）； b——链杆数； r——支座链杆数。
固定端支座或刚性连接相当于三根链杆）
3.铰接法
m=1，a=1，n=0 ， r=4+3×2＝10 则：
WW==33mm－－22nn－－rr －3×a ==33××11－－1100 － 3×1 ＝＝－－710
m=7，n=9，r=3 W=3×m－2×n－r
=3×7－2×9－3 =0
注意2、复连接要换算成单连接。
[例3] 刚片法：W=3×13－2×18－3=0 铰结点法：W=2×8－13－3=0
刚片法: W=3m-(2n+r) 铰结点法: W=2J-(b+r)
结论： 1）两个方法均可计算任意体系的自由度
自由度； 2）对含有刚性结点的体系，使用刚片法；
对铰结链杆体系，用铰结点法； 3）计算自由度只能初步判断体系的几何
2.2.5稳定分析
E② D
F
① ⑤⑥
③ ⑧⑨
C
⑦
④
A
B
①
②
⑥
⑨
⑤
③
⑦
⑧
④
例a：j=6；b=9；r=3。 所以：W=2×6－9－3=0
例b：j=6；b=9；r=3。 所以：W=2×6－9－3=0
计算自由度与几何稳定性的关 系
(1)W>0，缺乏约束，几何可变； (2)W=0，具有几何不变的前提条件，可
三刚片以三对平行链杆相联瞬变体系 两平行链杆于两铰连线平行, 瞬变体系
常
变
瞬
瞬
体
变
变
系
体
体
系
系
2.4.2瞬变时的内力及变形
C
A
B