专题19平行四边形、矩形、菱形阅读与思考平行四边形、矩形、 菱形的性质定理与判定定理是从对边、对角、对角线三个方面探讨的，矩形、菱形都是特殊的平行四边形， 矩形的特殊性由一个直角所体现， 菱形的特殊性是由邻边相等来体现，因此它们除兼有平行四边形的一般性质外，还有特有的性质；反过来， 判定一个四边形为矩形或菱形，也就需要更多的条件连对角线后平行四边形、矩形、菱形就与特殊三角形联系在一起，所以讨论平行四边形、矩形、菱形相关问题时，常用到特殊三角形性质、全等三角形法；另一方面，又要善于在四 边形的背景下思考问题， 运用平行四边形、矩形、 菱形的丰富性质为解题服务，常常是判定 定理与性质定理的综合运用 .熟悉以下基本图形：例题与求解【例I 】如图，矩形 ABCD 的对角线相交于 O , AE 平分/ BAD ，交BC 于E ,/ CAE = 15 ° 那么/ BOE = _________ .（祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：从发现矩形内含的特殊三角形入手 【例2】下面有四个命题：① 一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形；② 一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；③ 一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线平分另一条对角线的四边形是平 行四边形；④ 一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线被另一条对角线平分的四边形是 平行四边形；其中，正确的命题的个数是（ ）A.1B. 2C. 3D.4（全国初中数学联赛试题）S 4S 2S iS 3O解题思路：从四边形边、角、对角线三类元素任意选取两类，任意组合就产生许多判定 平行四边形的命题，关键在于对假命题能突破正规的、标准位置的图形构造反例否定【例3】如图，菱形ABCD 的边长为2，BD = 2, E , F 分别是边AD , CD 上的两个动 点且满足AE+CF = 2.（1） 判断ABEF 的形状，并说明理由； （2） 设ABEF 的面积为S,求S 的取值范围（烟台中考试题）解题思路：对于（1）由数量关系发现图形特征；对于（【例4】如图，设P 为等腰直角三角形 ACB 斜边AB 上任意一点，PE 丄AC 于点E , PF 丄BC 于点F , PG 丄EF 于点G ,延长GP 并在春延长线上取一点 D ，使得PD = PC. 求证：BC 丄 BD , BC = BD.（全国初中数学联赛试题）解题思路：只需证明A CPBDPB ，关键是利用特殊三角形、特殊四边形的性质【例5】在口ABCD 中，/ BAD 的平分线交直线 BC 于点E ,交直线DC 的延长线于点 F.2）,只需求出BE 的取值范围DB（北京市中考试题）解题思路：对于（1）,由角平分线加平行线的条件可推出图中有 3个等腰三角形； 对于（2）,用测量的方法可得/ BDG=45°进而想到等腰直角三角形，连 CG , BD ，只需证明ABGC ◎△ DGF ，这对解决（3）,有不同的解题思路• 对于（3）【例6】如图，△ABC 中，/ C = 90°点M 在BC 上，且BM = AC ,点N 在AC 上，且AN = MC , AM 与BN 相交于点 P. 求证：/ BPM = 45°.解题思路：条件给出的是线段的等量关系，求证的却是角度等式， 由于条件中有直角和相等的线段，因此，可想到等腰直角三角形，解题的关键是平移 AN 或AC ,即作ME 丄AN ,ME = AN ，构造平行四边形•能力训练A 级1.如图，口 ABCD 中, BE 丄 CD , BF 丄 AD ，垂足分别为 E 、F ，若 CE = 2, DF = 1，/ EBF = 60 °,贝U □ ABCD 的面积为 _____ .（1） （2） （3） 的度数•在图 若/ 若/ 1中证明CE = CF ;ABC = 90° G 是 EF ABC = 120° FG // CE , FG = CE ,分别连结 DB , DG （如图 3）,求/ BDG的中点 （如图2）,直接写出/BDG 的度数;FCFNC（浙江省竞赛试题）（浙江省中考试题）在 Rt △ABC 中，/ B = 90 ° / BAC = 78 ° 过 C 作 CF // AB ,连结 AF 与 BC（希望杯”竞赛试题）4. 如图，在菱形 ABCD 中，/ B =Z EAF = 60° / BAE = 20。

，则/ CEF 的大小是（希望杯”邀请赛试题）5. 四边形的四条边长分别是 a , b , c , d ，其中a , c 为对边，且满足a 2b 2c 2 d^2ab 2cd ，则这个四边形一定是（）A.两组角分别相等的四边形B.平行四边形C.对角线互相垂直的四边形D.对角线相等的四边形6•现有以下四个命题：2.如图, M ，若 ACDM □ ABCD 的对角线相交于点 0,且AD ^€D ，过点0作0M 丄AC ,交AD 于点 周长为a ，那么口 ABCD 的周长为_______________ .3.如图，相交于G ,若GF = 2AC ,则/ BAG 的大小是第1题第2题DC第4题①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③有一个角为直角且对角线互相平分的四边形为矩形；④菱形的对角线的平方和等于边长的平方的4倍.其中，正确的命题有（）A.①②B.③④C.③D.①②③④7.如图，在矩形ABCD中，AB = 1, AD = 3 , AF平分/ DAB，过点C作CE丄BD于E,延长AF , EC交于点H，下列结论中：① AF = FH •，②BO = BF :③CA= CH ; @ BE =3ED.正确的是（）A.②③B.③④C.①②④D.②③④（齐齐哈尔中考试题）8.如图，矩形ABCD的长为a,宽为b,如果$ J© • S4），则S4 =（）3321A. -abB. abC. abD. ab8432（缙云杯”竞赛试题）9.已知四边形ABCD，现有条件：① AB// DC;②AB= DC;③AD // BC; @ AD = BC;⑤/ A=Z C;⑥/ B=Z D.从中取两个条件加以组合，能推出四边形ABCD是平行四边形的有哪几种情形？请具体写出这些组合.（江苏省竞赛试题）10.如图，△ABC为等边三角形，D、F分别是BC、AB上的点，且CD = BF ,以AD 为边作等边A ADE.（1） 求证：△ACDCBF ;（2） 当D 在线段BC 上何处时，四边形 CDEF 为平行四边形，且/ DEF = 30°证明你 的结论.（江苏省南通市中考试题）11.如图，在 Rt △ABC 中，AB = AC , / A = 90 ° 点 D 为 BC 上任一点，DF 丄AC 于 F , DE 丄AC 于E , M 为BC 中点，试判断 AMEF 是什么形状的三角形，并证明你的结论.（山东省竞赛试题）B 级1.如图，已知 ABCD 是平行四边形， E 在AC 上，AE = 2EC , F 在AB 上，BF = 2AF , 如果A BEF 的面积为2 cm 2，则口 ABCD 的面积是 _____________ .（希望杯”竞赛试题）（河南省中考试题）12. 如图，△ABC 中，AB = 3, AC = 4, BC = 5, △ABD , A ACE , 形，求四边形 AEFD 的面积. A BCF 都是等边三角D MCE第1题2.如图，已知P 为矩形 ABCD 内一点，FA = 3, PD = 4, PC = 5,贝U PB =4.如图，在矩形ABCDCD ■交AB 于点F ，则重叠部分 △AFC 的面积为（山东省竞赛试题）5.如图，在矩形 ABCD 中，已知 AD = 12, AB = 5, P 是AD 边上任意一点， PE 丄BD 于E , PF 丄AC 于F ，那么PE+PF 的值为 ________________ .（全国初中数学联赛试题）6. _____________________ 如图，菱形 ABCD 的边长为4 cm ,且/ ABC = 60° E 是BC 的中点，P 点在BD 上, 则PE+PC 的最小值为 .3.如图，在矩形ABCD 则折痕EF 长为 _________ .（山东省竞赛试题）中，AB = 6cm , BC = 8cm ,现将矩形折叠，使B 点与D 点重合,中，AB = 8, BC = 4,将矩形沿AC 折叠，使点D 落在点D 处,（武汉市竞赛试题第4题DC7.如图，△ABC的周长为24, M 是AB 的中点，MC = MA = 5,则A ABC 的面积是（）A. 30B. 24C.16D.128.如图，口 ABCD 中，/ ABC = 75° AF 丄BC 于 F , AF 交 BD 于 E ,若 DE = 2AB ，贝U / AED 的大小是（ ）A. 60 °B. 65 °C.70 °D.75 °9.如图，已知/ A =Z B , AA|, PR , BB| 均垂直于 A 1B 1 , AA| = 17, PR = 16, BB|=20 , A 1B 1 = 12,则 AP+PB 的值为（）A. 15B.14C. 13D.12（希望杯”邀请赛试题）（全国初中数学联赛试题）A 1 P 1B 1(全国初中数学联赛试题)10.如图1, △ABC 是直角三角形，/ C = 90 °现将△ABC 补成矩形，使 A ABC 的两个 顶点为矩形一边的两个端点， 第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可画出两个：矩形 ACBD 和矩形AEFB (如图2).解答问题:(1)设图2中矩形ACBD 和矩形AEFB 的面积分别为S 1 , S 2，则S 1 二”或 N”).(2) 如图3, A ABC 是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的 矩形可以画出 ________ 个，利用图3画出来.(3) 如图4, A ABC 是锐角三角形且三边满足 BC > AC > AB ，按短文中的要求把它补 成矩形，那么符合要求的矩形可以画出 ___________ 个，利用图4画出来.(4) 在(3)中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？(陕西中考试题)11 四边形 ABCD 中，AB = BC = CD = DA ，/ BAD = 120 ° M 为 BC 上一点，N 为 CD上一点•求证：若A AMN 有一个内角等于 60°则A AMN 为等边三角形.12.女口图，六边形 ABCDEF 中，AB // DE , BC // EF , CD // AF ，对边之差 BC — EF=图3图4ED —AB = AF —CD > 0.求证：该六边形的各角相等.（全俄数学奥林匹克试题）专题19平行四边形■矩形、菱形伊1 75，例2 A只有命題③正确.优 3 (l)ABEF为正三角形提示"由AABD和△BCD为止三角形•可证WABDEifiABCT.得,BE = BF./DBE=/CHF.••0曲一ZCRF + ZDBF二/DBE十/DBF^ 60••即ZEBF= 60\«(ABEF为等边三角形.⑵设BET心EF二z■則可得，S=普込当BE丄AD时*有址小值为尽••亠=齐"2号7!当BE与AB觅合时,!•有玫人值为2,••• Si =浮X 2s -73. ••.号外WSC71例4 提示】R -EF-PD・ZCPB=45・+ZPFC=4M + ZEPG 一/GPA =Z〃PD■町证明ACPB 也△DPB.例 5 (1)^ (2>45* (3)60* 如图•延长八“至H•使AH-AD. 连DH・WZWHD是等边三角形.VAH-4D DF.：.BH GF.又Z〃HD=ZGFD= 60\DH-DF・•••△DBHWZSF.ODH ZGDF.•••Z7＜DG = ZADC・ ZADB 一/CDF 一ZADC （ZADB+ZBDH） = 120" G0€=60e.例6如图•过M作ME盘AN.连/NE.BE,刚W边形AMEN为平N行也边形•得NE - AM. ME 丄BC 卩令*」°V ME=CM, Z EMB - ZM^l 、、甘= 90\BM-.4G•••△BEM0ZvU4「・得BE = AM=NE・Z】 = Z2, Z3=Z4・V/HZ3=90 Z4-90e H.BE MJ.AABEN为等金育角三角形＞ZBNE=43\ •••AM〃NE. •••/BPM_ZBNE=45：A 级I.1273 2. 2a3.26°捉示，作比边上中线•连結EC•则EF EC -AC.4. 20-提冇连絡AC•则△APT仝ZiAEB心EF为聲边三轴形.5. C6. B7. D8. A 祖示：E、F分别为AB、必中点.9・从6个条件中任取2个•只有15科组合•其中能祚岀四边形/1BCDfe平行四边於的冇以下9种节形，①与彳$ ②勺④）⑤与⑥$①与②:③与④）①与®①与⑥，③与◎©与⑥.10.我示，＜2）当D为BC中点时•満足赵盘.II.捷示‘连AM. 明小诈仝△31IE•可EEA1X1EF为等蠻玄角二角形.12. 6 ttnc：由△ABC^?ADBF・ZV\RCWAEF「f5/「■DF・AE•八B EF—AD.故四边老AEFD为平行四边形・又Z/14C-90\RiJZDAE=360R-90*-60,- 60—1M.则ZADF・ZAEF=：Q•则 F 刘AD 的忧育为 2 •故S w/ =3X2=6.1. 9 cm22. 3^2提示：可以证明FA:+疋PB—皿・3.罗cm4. 10 提科可先if“lF=CF・设AF= CF=x.^\BF 8 一4；.F・《8 -乂尸+”.Ax=5. .-.S^=yAF- BC：=V X5X4-10.5•暫穩艮过A作AG丄IiDTG可EPE-PF=AG・由AG • 80=AB• AD 可咼:6.2V3cn）提示:・4.C关干BD对称■连AE交ED于P・:・PE+PC=AE.XVAE 丄BC 且ZBAE=30\A.4E=2V3 为廉小.7. B8. B 提灵耿DE 中点为AG.PM AG^DG-EG.9. C10.«1）=）图略（2）1.图略（3）3|图咯《4）以AB为边的矩形您长最小・用曲积注让明・11.证处连AC.如图•則易址( 与/VUJC部为轸边三角形.(1)若/MAN = 60••则22 ^ACN.•••△AMW为等边三角彤.(2)ZAM.\=60\J d MH：CA 阳平行戏交AE 于P・ VZKPM-ZRAC QZB-60SAABPA「为弄边二短形• BF = BM. HA = f«； A AP \ -MC.XZAP.M= 12O・=ZM「N •ZPAM=/AMC ZB = ZAMC-60・=乙・*一iZAMN=X Z CM\\•••△PA也△€•"、：•••・AM=MN・ RZAMN-60\ 故厶心1\为笹边三角形.12.授示；如图.分别过点八件AM// 4 _______ 7EF•过点C 作CP//AB.H点 E 作./\ r V EN〃AF・它幻分别交于NMP \ /i / 点.得UABCM OCDEP. 丫-------------------------------------- /rEE4\Jil1 "=A>・AB YM・CD- PE t BC AM. CP = DE. AF = \E・由条件得△NMP为竽边：用形.可推得只边形各角均为1201。