正弦定理练习题1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( )A. B. C.D ．262362．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4B ．4C ．4D.2363233．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝4，b ＝4，则角B 为( )32A ．45°或135° B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不确定5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝，则c ＝( )2A ．1B.C ．2D.12146．在△ABC 中，若＝，则△ABC 是( )cos Acos B ba A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形7．已知△ABC 中，AB ＝，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面3积为( )A.B.C.或D.或323432334328．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝，b ＝2，B ＝120°，则a 等于( )6 A.B ．2C.D.6329．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝，C ＝，则A ＝________.3π310．在△ABC 中，已知a ＝，b ＝4，A ＝30°，则433sin B ＝________.11．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________.12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝6，b ＝12，S △ABC ＝18，则33＝________，c ＝________.a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C 14．在△ABC 中，已知a ＝3，cos C ＝，S △ABC ＝4，则2133b ＝________.15．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝2，sin cos ＝，sin B sin C ＝cos 2，求A 、B 及b 、c .3C 2C 214A216．△ABC 中，ab ＝60，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为315，求边b 的长．3余弦定理练习题1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝，那么AC 等于( )13A ．6 B ．2 C ．3 66D ．462．在△ABC 中，a ＝2，b ＝－1，C ＝30°，则c 等于( )3A. B.C.D ．23253．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则∠A 等于( )3A ．60° B ．45°C ．120°D ．150°4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝ac ，则∠B 的值为( )3A.B.C.或D.或π6π3π65π6π32π35．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( )A ．aB ．bC ．cD ．以上均不对6．已知锐角三角形ABC 中，||＝4，||＝1，△ABC 的面积为AB → AC→ ，则·的值为( )3AB → AC → A ．2 B ．－2 C ．4D ．－47．在△ABC 中，b ＝，c ＝3，B ＝30°，则a 为( )3A.B ．2C.或2D ．233338．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．9．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝5，则边c 的值为________．310．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________.11．在△ABC 中，a ＝3，cos C ＝，S △ABC ＝4，则2133b ＝________.12．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝，则角C ＝________.a 2＋b 2－c 2413．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－2x ＋2＝03的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．14．在△ABC 中，BC ＝，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；5(2)求sin(2A －)的值．π4正弦定理1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( )A. B. C. D ．26236解析：选A.应用正弦定理得：＝，求得b ＝＝.a sin Ab sin B a sin B sin A 62．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4B ．4C ．4D.236323解析：选C.A ＝45°，由正弦定理得b ＝＝4.a sin Bsin A 63．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝4，b ＝4，则角32B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对解析：选C.由正弦定理＝得：sin B ＝＝，又∵a >b ，∴B <60°，a sin A b sin B b sin Aa 22∴B ＝45°.4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不确定解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6.5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝，2则c ＝( )A ．1B.C ．2D.1214解析：选A.C ＝180°－105°－45°＝30°，由＝得c ＝＝1.b sin Bc sin C 2×sin 30°sin45°6．在△ABC 中，若＝，则△ABC 是( )cos A cos B ba A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D.∵＝，∴＝，b a sin B sin A cos A cos B sin Bsin A sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝.π27．已知△ABC 中，AB ＝，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )3A. B.3234C.或D.或3233432解析：选D.＝，求出sin C ＝，∵AB ＞AC ，ABsin C ACsin B 32∴∠C 有两解，即∠C ＝60°或120°，∴∠A ＝90°或30°.再由S △ABC ＝AB ·AC sin A 可求面积．128．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝，b ＝，B ＝120°，则a 等26于( )A. B ．26C. D.32解析：选D.由正弦定理得＝，6sin120°2sin C ∴sin C ＝.12又∵C 为锐角，则C ＝30°，∴A ＝30°，△ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝.29．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝，C ＝，则3π3A ＝________.解析：由正弦定理得：＝，a sin A csin C 所以sin A ＝＝.a ·sin C c12又∵a ＜c ，∴A ＜C ＝，∴A ＝.π3π6答案：π610．在△ABC 中，已知a ＝，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________.433解析：由正弦定理得＝a sin A bsin B ⇒sin B ＝＝＝.b sin Aa 4×1243332答案：3211．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________.解析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ，由＝得，a ＝＝4，a sin Ab sin B 12×sin30°sin120°3∴a ＋c ＝8.3答案：8312．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．解析：由正弦定理，得a ＝2R ·sin A ，b ＝2R ·sin B ，代入式子a ＝2b cos C ，得2R sin A ＝2·2R ·sin B ·cos C ，所以sin A ＝2sin B ·cos C ，即sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝2sin B ·cos C ，化简，整理，得sin(B －C )＝0.∵0°＜B ＜180°，0°＜C ＜180°，∴－180°＜B －C ＜180°，∴B －C ＝0°，B ＝C .答案：等腰三角形13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝6，b ＝12，S △ABC ＝18，则33＝________，c ＝________.a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C 解析：由正弦定理得＝＝＝12，又S △ABC ＝bc sin A ，∴a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C a sin A 63sin60°12×12×sin60°×c ＝18，123∴c ＝6.答案：12　614．在△ABC 中，已知a ＝3，cos C ＝，S △ABC ＝4，则b ＝________.2133解析：依题意，sin C ＝，S △ABC ＝ab sin C ＝4，223123解得b ＝2.3答案：2315．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝2，sin cos ＝，sin3C 2C214B sin C ＝cos 2，求A 、B 及b 、c .A 2解：由sin cos ＝，得sin C ＝，C 2C 21412又C ∈(0，π)，所以C ＝或C ＝.π65π6由sin B sin C ＝cos 2，得A 2sinB sinC ＝[1－cos(B ＋C )]，12即2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )，即2sin B sin C ＋cos(B ＋C )＝1，变形得cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，即cos(B －C )＝1，所以B ＝C ＝，B ＝C ＝(舍去)，π65π6A ＝π－(B ＋C )＝.2π3由正弦定理＝＝，得a sin A bsin B csin C b ＝c ＝a ＝2×＝2.sin Bsin A 31232故A ＝，B ＝，b ＝c ＝2.2π3π6＝×－×＝.2553101055101022又0＜A ＋B ＜π，∴A ＋B ＝.π4(2)由(1)知，C ＝，∴sin C ＝.3π422由正弦定理：＝＝得a sin Ab sin Bc sin Ca ＝b ＝c ，即a ＝b ，c ＝b .510225∵a －b ＝－1，∴b －b ＝－1，∴b ＝1.222∴a ＝，c ＝.2516．△ABC 中，ab ＝60，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为15，求边b 的长．33解：由S ＝ab sin C 得，15＝×60×sin C ，123123∴sin C ＝，∴∠C ＝30°或150°.12又sin B ＝sin C ，故∠B ＝∠C .当∠C ＝30°时，∠B ＝30°，∠A ＝120°.又∵ab ＝60，＝，∴b ＝2.3a sin A bsin B 15当∠C ＝150°时，∠B ＝150°(舍去)．故边b 的长为2.15余弦定理1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝，那么AC 等于( )13A ．6 B ．26C ．3 D ．466解析：选A.由余弦定理，得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B＝＝6.42＋62－2×4×6×132．在△ABC 中，a ＝2，b ＝－1，C ＝30°，则c 等于( )3A. B.32C. D ．25解析：选B.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝22＋(－1)2－2×2×(－1)cos30°33＝2，∴c ＝.23．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则∠A 等于( )3A ．60° B ．45°C ．120° D ．150°解析：选D.cos ∠A ＝＝＝－，b 2＋c 2－a 22bc －3bc2bc 32∵0°＜∠A ＜180°，∴∠A ＝150°.4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝ac ，则∠B 的值为( )3A.B.π6π3C.或D.或π65π6π32π3解析：选D.由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝ac ，联想到余弦定理，代入得3cos B ＝＝·＝·.a 2＋c 2－b 22ac321tan B 32cos B sin B 显然∠B ≠，∴sin B ＝.∴∠B ＝或.π232π32π35．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( )A ．a B ．b C ．c D ．以上均不对解析：选C.a ·＋b ·＝＝c .a 2＋c 2－b 22ac b 2＋c 2－a 22bc2c 22c 6．已知锐角三角形ABC 中，||＝4，||＝1，△ABC 的面积为，则·的AB → AC → 3AB → AC→ 值为( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4解析：选A.S △ABC ＝＝||·||·sin A 312AB → AC→ ＝×4×1×sin A ，12∴sin A ＝，又∵△ABC 为锐角三角形，32∴cos A ＝，12∴·＝4×1×＝2.AB → AC→127．在△ABC 中，b ＝，c ＝3，B ＝30°，则a 为( )3A. B ．233C.或2 D ．233解析：选C.在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即3＝a 2＋9－3a ，3∴a 2－3a ＋6＝0，解得a ＝或2.3338．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．解析：∵2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝.π3在△ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B＝＝.1＋4－2×1×2×123答案：39．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝5，3则边c 的值为________．解析：S ＝ab sin C ，sin C ＝，∴C ＝60°或120°.1232∴cos C ＝±，又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，12∴c 2＝21或61，∴c ＝或.2161答案：或216110．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cosB ∶cosC ＝________.解析：由正弦定理a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，设a ＝2k (k ＞0)，则b ＝3k ，c ＝4k ，cos B ＝＝＝，a 2＋c 2－b 22ac2k 2＋ 4k 2－ 3k 22×2k ×4k1116同理可得：cos A ＝，cos C ＝－，7814∴cos A ∶cos B ∶cos C ＝14∶11∶(－4)．答案：14∶11∶(－4)11．在△ABC 中，a ＝3，cos C ＝，S △ABC ＝4，则b ＝________.2133解析：∵cos C ＝，∴sin C ＝.13223又S △ABC ＝ab sin C ＝4，123即·b ·3·＝4，1222233∴b ＝2.3答案：2312．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝，则角a 2＋b 2－c 24C ＝________.解析：ab sin C ＝S ＝＝·12a 2＋b 2－c 24a 2＋b 2－c 22abab2＝ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴tan C ＝1，∴C ＝45°.12答案：45°13．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－2x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )3＝1，求AB 的长．解：∵A ＋B ＋C ＝π且2cos(A ＋B )＝1，∴cos(π－C )＝，即cos C ＝－.1212又∵a ，b 是方程x 2－2x ＋2＝0的两根，3∴a ＋b ＝2，ab ＝2.3∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C＝a 2＋b 2－2ab (－)12＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab ＝(2)2－2＝10，3∴AB ＝.1014．在△ABC 中，BC ＝，AC ＝3，sin C ＝2sin A .5(1)求AB 的值；(2)求sin(2A －)的值．π4解：(1)在△ABC 中，由正弦定理＝，ABsin C BCsin A 得AB ＝BC ＝2BC ＝2.sin C sin A 5(2)在△ABC 中，根据余弦定理，得cos A ＝＝，AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC255于是sin A ＝＝.1－cos2A 55从而sin 2A ＝2sin A cos A ＝，45cos 2A ＝cos 2 A －sin 2 A ＝. 所以sin(2A －)＝sin 2A cos －cos 2A sin ＝.35π4π4π4210。