导数题型分类（A ）题型一：导数的定义及计算、常见函数的导数及运算法则（一）导数的定义：函数)(x f y =在0x 处的瞬时变化率xx f x x f x yo x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim 000称为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0/x f 或0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f 。

称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/y ，即)(/x f ＝/y ＝xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求函数)(x f y =在0x 处的导数0/x x y =，就是导函数)(/x f 在0x 处的函数值，即0/x x y =＝)(0/x f 。

例1.函数()a x x f y ==在处的导数为A ，求()()tt a f t a f t 54lim+-+→。

例2．2333x y x x +==+求在点处的导数。

（二）常见基本初等函数的导数公式和运算法则 ：+-∈==N n nx x C C n n ,)(;)(01''为常数； ;sin )(cos ;cos )(sin ''x x x x -==a a a e e xx x x ln )(;)(''==； e xx x x a a log 1)(log ;1)(ln ''==法则1： )()()]()(['''x v x u x v x u ±=± 法则2： )()()()()]()(['''x v x u x v x u x v x u +=法则3： )0)(()()()()()(])()([2'''≠-=x v x v x v x u x v x u x v x u （理）复合函数的求导：若(),()y f u u x ϕ==，则'()'()x y f x x ϕ'= 如，sin ()'xe=_______________;(sin )'x e =_____________公式1/)(-=n n nxx 的特例：①=')x (______; ②='⎪⎭⎫ ⎝⎛x 1_______, ③=')x (_________.题型二：利用导数几何意义及求切线方程导数的几何意义：函数)(x f y =在0x 处的导数是曲线)(x f y =上点()(,00x f x )处的切线的斜率.因此，如果)(0x f '存在，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为______________________例1．若函数()f x 满足，321()(1),3f x x f x x '=-⋅-则(1)f '的值 例2．设曲线axy e =在点(0,1)处的切线与直线210x y ++=垂直，则a = ． 练习题1．曲线34y x x =-在点()1,3--处的切线方程是 2y x =-2．若曲线x x x f -=4)(在P 点处的切线平行于直线03=-y x ，则P 点的坐标为 （1，0）3．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 430x y --= 4．求下列直线的方程：（注意解的个数）（1）曲线123++=x x y 在P(-1,1)处的切线； （2）曲线2x y =过点P(3,5)的切线；解：（1）123|y k 23 1)1,1(1x /2/23===∴+=∴++=-=－上，在曲线点－x x y x x y P所以切线方程为0211=+-+=-y x x y 即， （2）显然点P （3，5）不在曲线上，所以可设切点为),(00y x A ，则200x y =①又函数的导数为x y 2/=，所以过),(00y x A 点的切线的斜率为/2|0x y k x x ===，又切线过),(00y x A 、P(3,5)点，所以有352000--=x y x ②，由①②联立方程组得，⎩⎨⎧⎩⎨⎧====255 110000y x y x 或，即切点为（1，1）时，切线斜率为;2201==x k ；当切点为（5，25）时，切线斜率为10202==x k ；所以所求的切线有两条，方程分别为2510 12 )5(1025)1(21-=-=-=--=-x y x y x y x y 或即，或 5．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[0，π4]，则点P 横坐标的取值范围为( ) A ．[－1，－12]B ．[－1,0]C ．[0,1]D ．[12，1]6.下列函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（ ）A.y=sinxB. xy xe = C. 3y x x =- D.y=ln(1+x)—x7. 设f(x),g(x)是R 上的可导函数，(),()f x g x ''分别为f(x),g(x)的导数，且()()()()0f x g x f x g x ''+<，则当a<x<b 时，有（ ）A.f(x)g(b)>f(b)g(x)B.f(x)g(x)>f(b)g(b)C.f(x)g(a)>f(a)g(x)D.f(x)g(x)>f(b)g(a)题型三：利用导数研究函数的单调性1. 设函数)(x f y =在某个区间（a,b ）内有导数，如果在这个区间内＿＿＿＿，则)(x f y =在这个区间内单调递增；如果在这个区间内＿＿＿＿，则)(x f y =是这个区间内单调递减.2. 求函数的单调区间的方法： （1）求导数)x (f y '='； （2）解方程0)x (f ='； （3）使不等式0)x (f >'成立的区间就是递增区间，使0)x (f <'成立的区间就是递减区间3.若函数)(x f y =在区间(,)a b 上单调递增，则'()__0f x 在(,)a b 恒成立.例：1.函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数（ ）（A ）(2π，23π) （B ）(π，2π) （C ）(23π，25π) （D ）(2π，3π)2. 函数f(x)=xlnx(x>0)的单调递增区间是_________________.3.已知函数()1xf x e ax =-+在R 上单调递增,则a 的取值范围是________. 题型四：利用导数研究函数的极值、最值。

1．32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 2 2．已知函数2)()(2=-==x c x x x f y 在处有极大值，则常数c ＝ 6 ；3．函数331x x y -+=有极小值 －1 ,极大值 3 4．已知函数f (x )的导函数()f x '那么函数f (x )的图象最有可能的是5.已知函数32()(6)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是（ ） A.-1＜a ＜2 B.a ＜-3或a ＞6 C.-3＜a ＜6 D.a ＜-1或a ＞2作业和练习：1.已知函数2()2f x x ax a =-+在区间（－∞，1）上有最小值，则函数()()f x g x x=在区间（1，+∞）上一定（ ）A.有最小值B.有最大值C.是减函数D.是增函数2．已知函数32()3f x ax bx x =+-在1x =±处取得极值，求过点A(0，16)作曲线y=f(x)的切线，求该切线的方程.AB C D3．已知函数()ln f x x x =（1）求f(x)的最小值（2）若对所有x ≥1都有f(x)≥ax-1,求a 的取值范围.4． 已知函数21()ln ,2f x x x a=- 其中a 为大于零的常数. （1）当a=1时，求函数f(x)的单调区间和极值（2）当[1,2]x ∈ 时，不等式()2f x > 恒成立，求a 的取值范围.5．已知函数))1(,1()(,)(23f P x f y c bx ax x x f 上的点过曲线=+++=的切线方程为y=3x+1 （Ⅰ）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值； （Ⅲ）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围解：（1）由.23)(,)(223b ax x x f c bx ax x x f ++='+++=求导数得 过))1(,1()(f P x f y 上点=的切线方程为：).1)(23()1(),1)(1()1(-++=+++--'=-x b a c b a y x f f y 即而过.13)]1(,1[)(+==x y f P x f y 的切线方程为上故⎩⎨⎧-=-=+⎩⎨⎧-=-=++3023323c a b a c a b a 即∵124,0)2(,2)(-=+-∴=-'-==b a f x x f y 故时有极值在 ③由①②③得 a=2，b=－4，c=5 ∴.542)(23+-+=x x x x f （2）).2)(23(443)(2+-=-+='x x x x x f 当;0)(,322;0)(,23<'<≤->'-<≤-x f x x f x 时当时13)2()(.0)(,132=-=∴>'≤<f x f x f x 极大时当 又)(,4)1(x f f ∴=在[－3，1]上最大值是13。

（3）y=f(x)在[－2，1]上单调递增，又,23)(2b ax x x f ++='由①知2a+b=0。

依题意)(x f '在[－2，1]上恒有)(x f '≥0，即.032≥+-b bx x①当6,03)1()(,16min ≥∴>+-='='≥=b b b f x f bx 时； ②当φ∈∴≥++=-'='-≤=b b b f x f bx ,0212)2()(,26min 时；③当.60,01212)(,1622min ≤≤≥-='≤≤-b b b x f b 则时综上所述，参数b 的取值范围是),0[+∞6．已知三次函数32()f x x ax bx c =+++在1x =和1x =-时取极值，且(2)4f -=-． (1) 求函数()y f x =的表达式；① ②(2) 求函数()y f x =的单调区间和极值；(3) 若函数()()4(0)g x f x m m m =-+>在区间[3,]m n -上的值域为[4,16]-，试求m 、n 应满足的条件．解：(1) 2()32f x x ax b '=++，由题意得，1,1-是2320x ax b ++=的两个根，解得，0,3a b ==-．再由(2)4f -=-可得2c =-．∴3()32f x x x =--．(2) 2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-，当1x <-时，()0f x '>；当1x =-时，()0f x '=； 当11x -<<时，()0f x '<；当1x =时，()0f x '=；当1x >时，()0f x '>．∴函数()f x 在区间(,1]-∞-上是增函数； 在区间[1,]-１上是减函数；在区间[1,)+∞上是增函数． 函数()f x 的极大值是(1)0f -=，极小值是(1)4f =-．(3) 函数()g x 的图象是由()f x 的图象向右平移m 个单位，向上平移4m 个单位得到的， 所以，函数()f x 在区间[3,]n m --上的值域为[44,164]m m ---（0m >）． 而(3)20f -=-，∴4420m --=-，即4m =．于是，函数()f x 在区间[3,4]n --上的值域为[20,0]-． 令()0f x =得1x =-或2x =．由()f x 的单调性知，142n --，即36n．综上所述，m 、n 应满足的条件是：4m =，且36n．7．已知函数()ln f x x a x =-，1(), (R).ag x a x+=-∈ （Ⅱ）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；(Ⅲ)若在[]1,e 上存在一点0x ，使得0()f x <0()g x 成立，求a 的取值范围8．设函数()()() f x x x a x b=--．（1）若()f x的图象与直线580x y--=相切，切点横坐标为２，且()f x在1x=处取极值，求实数,a b的值；（2）当b=1时，试证明：不论a取何实数，函数()f x总有两个不同的极值点．解：（1）2()32().f x x a b x ab '=-++由题意(2)5,(1)0f f''==，代入上式，解之得：a=1，b=1．（2）当b=1时，()0f x '=令得方程232(1)0.x a x a -++= 因,0)1(42>+-=∆a a 故方程有两个不同实根21,x x ．不妨设21x x <，由))((3)(21'x x x x x f --=可判断)('x f 的符号如下： 当时，1x x <)('x f ＞０；当时，21x x x <<)('x f ＜０；当时，2x x >)('x f ＞０ 因此1x 是极大值点，2x 是极小值点．，当b=1时，不论a 取何实数，函数()f x 总有两个不同的极值点。