第十章 静电场中的导体和电介质一．选择题［B ］1、（基训2） 一“无限大”均匀带电平面A ，其附近放一与它平行的有一定厚度的“无限大”平面导体板B ，如图所示．已知A 上的电荷面密度为+ ，则在导体板B 的两个表面1和2上的感生电荷面密度为： (A)1= -，2= +． (B)1=σ21-，2=σ21+． (C) 1 =σ21-， 1 =σ21-． (D)1= -，2= 0．【解析】 由静电平衡平面导体板B 内部的场强为零，同时根据原平面导体板B 电量为零可以列出1S+ 2S=0022202010=-+εσεσεσ[B ]2、（基训5）两个同心的薄金属球壳，半径为R 1，R 2（R 1<R 2)，若分别带上电量q 1和q 2的电荷，则两者的电势分别为V 1和V 2（选择无限远处为电势零点）。

现用细导线将两球壳连接起来，则它们的电势为:(A)V 1 (B) V 2 (C)V 1+V 2 (D) (V 1+V 2)/2 【解析】原来两球壳未连起来之前，内、外球的电势分别为2021011π4π4R q R q V εε+=2022012π4π4R q R q V εε+=用导线将两球壳连起来，电荷都将分布在外球壳，现在该体系等价于一个半径为R 2的均匀带电球面，因此其电势为22021π4V R q q V =+=ε［C ］3、（基训6）半径为R 的金属球与地连接。

在与球心O 相距d =2R 处有一电荷为q 的点电荷。

如图16所示，设地的电势为零，则球上的感生电荷q '为：(A) 0． (B)2q ． (C) -2q． (D) q ．【解析】利用金属球是等势体，球体上处电势为零。

球心电势也为零。

AB+σσ1σ2ORdq0442q o o dq qR R πεπε''+=⎰ R qR q d o q oo 244πεπε-='⎰'RqR q 2-=' 2qq -='∴［C ］4、（基训8）两只电容器，C 1 = 8 F ，C 2 = 2F ，分别把它们充电到 1000 V ，然后将它们反接(如图10-8所示)，此时两极板间的电势差为：(A) 0 V ． (B) 200 V ． (C) 600 V ． (D) 1000 V 【解析】 C U C U C Q Q Q 32121106-⨯=-=-=V FC C C Q C Q U 600101106''5321=⨯⨯=+==-- ［A ］5、（自测6）一平行板电容器充满相对介电常数为r ε的各向同性均匀电介质，已知介质表面极化电荷面密度为σ'±。

则极化电荷在电容器中产生的电场强度的大小为: (A)0εσ' (B) r εεσ0' (C) 02εσ' (D) rεσ'【解析】 介质表面的极化电荷可以看成两个电荷面密度为σ'±的无限大平行平面，由叠加原理，它们在电容器中产生的电场强度大小为0022εσεσεσ'='+'='E［B ］6、（自测9）三块互相平行的导体板，相互之间的距离d 1和d 2比板面积线度小得多，外面二板用导线连接．中间板上带电，设左右两面上电荷面密度分别为1σ和2σ，如图所示．则比值1σ/2σ为: (A)d 1/d 2 (B)d 2/d 1 (C) 1 (D) d 22/d 21 【解析】外面两板相连时为等势体，022011εσεσd d Ed U ===二、填空题1、（基训11）在静电场中有一立方形均匀导体，边长为a ．已知立方导体中心O 处的电势为U 0，则立方体顶点A 的电势为0U 。

【解析】静电场中的导体为等势体。

2、（基训14）一空气平行板电容器，电容为C ，两极板间距离为d ．充电后，两极板间相互作用力为F ．则两极板间的电势差为C Fd /2，极板上的电荷为FdC 2．【解析】求两极板间相互作用力对应的电场强度E 是一个极板的电场强度，而求两极板间的电势差对应的电场强度E ’是两个极板的电场强度叠加。

000,2'Sq F Eq q C SdqU E d d Sεεε=====根据公式可求得极板上的电荷；根据公式可求得两极板的电势差。

3、（自测13）带电量为q ，半径为r A 的金属球A ，与一原先不带电、内外半径分别为r B 和r C 的金属球壳B 同心放置，如图所示，则图中P 点的电场强度是)4/(30r r q πε，若用导线将A 和B 连接起来，则A 球的电势为)4/(0C r q πε。

（设无穷远处电势为零）【解析】过P 点作一个同心球面作为高斯面，尽管金属球壳内侧会感应出异种，但是高斯面内只有电荷q ．根据高斯定理可得E 4πr 2= q /ε0，可得P 点的电场强度为204q E r πε=。

当金属球壳内侧会感应出异种电荷-q 时，外侧将出现同种电荷q ．用导线将A 和B 连接起来后，正负电荷将中和．A 球是一个等势体，其电势等于球心的电势．A 球的电势是球壳外侧的电荷产生的，这些电荷到球心的距离都是r c ，所以A 球的电势为04cq U r πε=。

4、（自测14）（自测14）有三个点电荷q 1、q 2和q 3，分别静止于圆周上的三个点，如图所示。

设无穷远处为电势零点，则该电荷系统的相互作用电势能W ＝．【提示】 该电荷系统的相互作用电势能等于把这三个点电荷依次从现在的位置搬运到无穷远的地方，电场力所作的功。

5、（自测16）在相对介电常量r = 4的各向同性均匀电介质中，求：与电能密度w e =2×106J/cm 3相应的电场强度的大小E =3.36×1011V/m 。

[真空介电常量0= 8.85×10-12C 2/(N ·m 2)]【解析】 202121E DE w r e εε==rew E εε02==3.36×1011V/mC 1C26、（自测20）A 、B 为两个电容值都等于C 的电容器，A 带电量为Q ，B 带电量为2Q ，现将A 、B 并联后，系统电场能量的增量W ∆＝【解析】A 、B 并联后，系统的等效电容为2C ，带电量为3Q ，因此，系统电场能量的增量为C Q C Q C Q C Q W W W 42)2(22)3(212222-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⋅=-'=∆ 三、计算题1、（基训20）一电容器由两个很长的同轴薄圆筒组成，内、外圆筒半径分别为R 1 = 2cm ，R 2 = 5cm ，其间充满相对介电常量为r ε的各向同性、均匀电介质。

电容器接在电压U=16V 的电源上，试求距离轴线R =3.5cm 处的A 点的电场强度和A 点与外筒间的电势差。

【解析】设内外圆筒的电荷线密度为+λ和-λ，由高斯定理得两圆筒间的电场强度为r E r εελ02π=两圆筒的电势差为1200ln 22d d 2121R R r r r E U r R R rR R εελεελπ=π=⋅=∆⎰⎰因此)/ln(2120R R U r εελπ=则A 点的电场强度大小为V/m998)/ln(12==R R R UE A方向沿径向向外。

A 点与外筒间的电势差为VR R R R U r r R R U r E U R R R R5.12ln )/ln(d )/ln(d 2121222===='∆⎰⎰2、（基训21）如图所示，一内半径为a 、外半径为b 的金属球壳，带有电荷Q ，在球壳空腔内距离球心r 处有一点电荷q ．设无限远处为电势零点，试求：(1) 球壳内外表面上的电荷．(2) 球心O 点处，由球壳内表面上电荷产生的电势．(3) 球心O 点处的总电势． 【解析】（1）球壳内空间点电荷q 偏离圆心，使得球壳内表面电荷分布不均匀，但球壳内表面上感应生成的负电荷总量由静电平衡条件得知应为-q ，球壳外表面处电荷分布不均匀，外表面处总电量为Q+q 。

（2）球心O 点处，由球壳内表面上电荷产生的电势为：CQ 4/2-04q U aπε-=内（3）球心O 点处的总电势是由点电荷q ，球壳内、外表面电荷在O 点产生的电势叠加。

0000,,44414q q q Q q U U U rabq q Q q U r a b πεπεπεπε-+===+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭外内3、（基训25）三个电容器如图联接，其中C 1 = 10×10-6F ，C 2 = 5×10-6 F ，C 3 = 4×10-6F ，当A 、B 间电压U =100 V 时，试求： (1) A 、B 之间的电容； (2) 当C 3被击穿时，在电容C 1上的电荷和电压各变为多少？【解析】(1)F C C C C C C C C C C C AB μ16.3)(321321312312=++++=+=(2)如果当C 3被击穿而短路，则电压加在C 1 和C 2上，31111100,110U V q CU C -===⨯4、（基训27）一圆柱形电容器，内圆柱的半径为R 1，外圆柱的半径为R 2，长为L [L >> (R 2 – R 1)]，两圆柱之间充满相对介电常量为r 的各向同性均匀电介质．设内外圆柱单位长度上带电荷(即电荷线密度)分别为和-，求：(1) 电容器的电容；(2) 电容器储存的能量． 【解析】（1）圆柱体的场强分布为rE r επελ02=两极板间电势差为120210ln 22R R dr r U r R R r επελεπελ==⎰电容器的电容为120ln 2R R LUq C r επε==（2）电容器储存的能量为1202ln 421R R LUq W r επελ==5、（自测21）一空气平行板电容器，极板面积为S ， 两极板之间距离为d ．试求∶(1) 将A BC 1C 2C 3U一与极板面积相同而厚度为d / 3的导体板平行地插入该电容器中，其电容将改变多大？(2) 设两极板上带电荷±Q ，在电荷保持不变的条件下，将上述导体板从电容器中抽出，外力需作多少功？ 【解析】（1）设导体板两侧离二极板的距离为d 1和d 2，空隙中场强为E 0，导体板中静电平衡时场强为零。

则两极板的电势差为()()302102010d d Sq d d d E d E U -=+=+=εεσ平行板电容为dS U q C 230ε==（2）两极板上带电荷±Q ，抽出导体板之前S dQ C Q W 022*******ε== 抽出导体板之后 S dQ C Q W 020222121ε== 外力需作功 2016Q dA W Sε∆=外＝6、（自测25）如图，有两根半径都是R 的“无限长”直导线，彼此平行放置，两者轴线的距离是d (d ≥2r)，沿轴线方向单位长度上分别带有+λ和-λ的电荷．设两带电导线之间的相互作用不影响它们的电荷分布，试求两导线间的电势差。