10-1 如题图所示，一内半径为a 、外半径为b 的金属球壳，带有电荷Q ，在球壳空腔内距离球心r 处有一点电荷q ，设无限远处为电势零点。

试求： (1) 球壳内外表面上的电荷；(2) 球心O 点处，由球壳内表面上电荷产生的电势；(3) 球心O 点处的总电势。

习题10-1图解：(1) 由静电感应，金属球壳的内表面上有感生电荷-q ，外表面上带电荷q +Q 。

(2) 不论球壳内表面上的感生电荷是如何分布的，因为任一电荷元离O 点的 距离都是a ，所以由这些电荷在O 点产生的电势为0d 4q qU aπε-=⎰aq04επ-=(3) 球心O 点处的总电势为分布在球壳内外表面上的电荷和点电荷q 在O 点产生的电势的代数和q Q q q O U U U U +-++=04qr πε=04qa πε-04Q qb πε++01114()q r a bπε=-+04Q bπε+ 10-2 有一"无限大"的接地导体板 ，在距离板面b 处有一电荷为q 的点电荷，如题图(a)所示。

试求：(1) 导体板面上各点的感生电荷面密度分布(参考题图(b))； (2) 面上感生电荷的总电荷(参考题图(c))。

习题10-2图解：(1) 选点电荷所在点到平面的垂足O 为原点，取平面上任意点P ，P 点距离原点为r ，设P 点的感生电荷面密度为．在P 点左边邻近处(导体内)场强为零，其法向分量也是零，按场强叠加原理，()220cos 024P q E r b θσεπε⊥=+=+ ∴ ()2/3222/b r qb +-=πσ (2) 以O 点为圆心，r 为半径，d r 为宽度取一小圆环面，其上电荷为 ()3222d d d //Q S qbr r r bσ==-+q Q a bO r()q brrr qb S Q S-=+-==⎰⎰∞2322d d /σ10-3 如题图所示，中性金属球A ，半径为R ，它离地球很远．在与球心O 相距分别为a 与b 的B 、C 两点，分别放上电荷为A q 和B q 的点电荷，达到静电平衡后，问： (1) 金属球A 内及其表面有电荷分布吗？(2) 金属球A 中的P 点处电势为多大？(选无穷远处为电势零点)B C R AP Oq A q Bba习题10-3图解：(1) 静电平衡后，金属球A 内无电荷，其表面有正、负电荷分布，净电荷为零． (2) 金属球为等势体，设金属球表面电荷面密度为． ()()000d 4=4////AP A B S U U S R q a q a σπεπε==⋅+⎰⎰∵d 0AS S σ⋅=⎰⎰∴ ()()04///P A B U q a q a πε=+10-4 三个电容器如题图联接，其中C 1 = 10×10-6 F ，C 2 = 5×10-6 F ，C 3 = 4×10-6 F ，当A 、B 间电压U =100 V 时，试求：(1) A 、B 之间的电容；(2) 当C 3被击穿时，在电容C 1上的电荷和电压各变为多少？ABC 1C 2 C 3U习题10-4图解：(1) =+++=321321)(C C C C C C C 3.16×10-6 F(2) C 1上电压升到U = 100 V ，电荷增加到==U C Q 111×10-3 C10-5 一个可变电容器，由于某种原因所有动片相对定片都产生了一个相对位移，使得两个相邻的极板间隔之比为2:1，问电容器的电容与原来的电容相比改变了多少？(a) (b)习题10-5图解：如图所示，设可变电容器的静片数为n ，定片数为1-n ，标准情况下，极板间的距离为d （图a ），极板相对面积为S 。

则该电容器组为)1(2-n 个相同的平行板电容器并联（图a ）。

总电容为dSn C 0)1(2ε-=。

当动片由于某种原因发生相对位移而使相邻的极板间隔变为2:1:=b a 后，总电容为：bSn a S n C 00)1()1(εε-+-=' dd d S n ab b a Sn 3432002)1()1(⋅-=+-=εε49)1(0⋅-=d S n ε 所以电容增加了：dSn C C C 0)1(41ε-=-'=∆ 10-6 一平行板空气电容器充电后，极板上的自由电荷面密度0σ＝1.77×10-6 C/m 2．将极板与电源断开，并平行于极板插入一块相对介电常量为8=r ε 的各向同性均匀电介质板。

计算电介质中的电位移D 、场强E 和电极化强度P 的大小。

(真空介电常量0ε＝8.85×10-12 C 2 / N·m 2)解：由D的高斯定理求得电位移的大小为620 1.7710/D C m σ-==⨯由E D r εε=0的关系式得到场强E 的大小为rDE εε0=＝2.5×104 V/m介质中的电极化强度的大小为620e 0= (1) 1.5510/r P E E C m εχεε-=-=⨯10-7 如题图所示，一空气平行板电容器，极板面积为S ，两极板之间距离为d ，其中平行地放有一层厚度为t (()t d <、相对介电常量为r ε的各向同性均匀电介质．略去边缘效应，试求其电容值。

习题10-7解：作法一：设极板上的自由电荷面密度为0σ，应用D 的高斯定理可得两极板之间的电位移大小为D σ=由E D r εε=0得：空气中的电场强度大小为000E σ=；电介质中的电场强度的大小为000()r E σεε=。

两极板之间的电势差为0()U E d t Et =-+ ()t t d r εεσεσ00+-=()[]t d r r r εεεεσ-+=10 电容器的电容为()td SU SC r r r εεεεσ-+==10作法二： 看成二个电容串联， t d S C -=01ε， tSC r εε02= ，则()td S C C C C C r r r εεεε-+=+=10212110-8 一平行板电容器，极板间距离为10cm ，其间有一半充以相对介电常量10=r ε的各向同性均匀电介质，其余部分为空气，如题图10.9所示。

当两极间电势差为100 V 时，试分别求空气中和介质中的电位移矢量和电场强度矢量。

习题10-8图解：设空气中和介质中的电位移矢量和电场强度矢量分别为1D 、2D 和1E 、2E ，则12U E d E d == (1) 101D E ε= (2)202r D E εε= (3)联立解得100021===dUE E V/m 29101C/m 1085.8-⨯==E D ε；28202C/m 1085.8-⨯==E D r εε方向均相同,由正极板垂直指向负极板。

10-9 一导体球带电荷 1.0C Q =，放在相对介电常量为5=r ε 的无限大各向同性均匀电介质中。

求介质与导体球的分界面上的束缚电荷Q '。

解：导体球处于静电平衡时，其电荷均匀分布在球面上．以r ()r R ≥为半径作一同心高斯球面S ．按D 的高斯定理，可求出介质内半径r 的同心球面S 上各点电位移的的大小()R r r QD QrQ S≥=⇒=⇒=⋅⎰,2244d ππS D介质与导体球的分界面上各点的电场强度大小为2004RR rr D Q E R εεπεε==电极化强度的大小为021(1)(1)4R r R rQP E R εεεπ=-=-极化电荷面密度为：()2411R QP -r R r R n R πεσ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=⋅=⋅='e e P P分界面上的束缚电荷为214(1)0.8C rQ R Q πσε''==--=-10-10 半径为R 的介质球，相对介电常量为r ε，其中自由电体荷密度)1(0R r -=ρρ，式中0ρ为常量，r 是球心到球内某点的距离。

试求：(1) 介质球内的电位移和场强分布。

(2) 在半径r 为多大处场强最大？解：(1) 在介质中，取半径为r '→r '＋d r '的同心薄壳层，其中包含电荷()20d d 14d /q V r R r r ρρ'''==-π()2304d /r r R r πρ'''=-取半径为r 的同心球形高斯面，应用D 的高斯定理，3220044d rr r D r r R ππρ'⎛⎫''=- ⎪⎝⎭⎰340434r r R πρ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2034r r D R ρ⎛⎫⇒=- ⎪⎝⎭则介质内半径为r 的球面上各点的电位移为：r r R r r D e e D ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-ρ==4320，（r e 为径向单位矢量） 介质内半径为r 的球面上各点的电位移为：200034r r r r r R ρεεεε⎛⎫==- ⎪⎝⎭DE e ；(2) 对()E r 求极值00d 10d 32r Er r R ρεε⎛⎫=-= ⎪⎝⎭得23r R =，且因22d 0d E r <，所以23r R =处E 最大。

10-11 如图，一各向同性均匀电介质球，半径为R ，其相对介电常量为r ε，球内均匀分布有自由电荷，其体密度为0ρ．求球内的束缚电荷体密度ρ'和球表面上的束缚电荷面密度σ'。

习题10-11图解：∵介质是球对称的，且0ρ均匀分布，∴ρ'和σ'也必为球对称分布．因而电场必为球对称分布．用D 的高斯定理，可求得半径为()r r R ≤的同心球面上03ρ=r D ；0003rrρεεεε==DE r ；003e e r χρεχε==P E r在介质内，取半径r r dr →+间的球壳为体元，则可求出介质内极化电荷体密度：()rr r P r r P VV q r r r Sd 44d 4d 222d πππρ⋅-+⋅-=∆⋅-=∆'='+⎰SP ()22024d 434d e rr r r r rχρππεπ⎡⎤+-⎣⎦=-略去d r 的高次项，则001(1)e r rχρρρεε'=-=-- ， (ρ'与0ρ异号)介质表面极化电荷面密度：001(1)33e R n R r r P R R χρρσεε'=⋅===-P e , （σ'与0ρ同号）。

10-12 如题图所示，一平行板电容器，极板面积为S ，两极板之间距离为d ，中间充满介电常量按)1(0dx+=εε规律变化的电介质。

在忽略边缘效应的情况下，试计算该电容器的电容。

S习题10-12图解：设两极板上分别带自由电荷面密度0σ±，则介质中的电场强度分布为()000d E d x σσεε==+ 两极板之间的电势差为d d ddd xU E x d x σε==+⎰⎰00ln 2d σε= 该电容器的电容值为00ln 2SSC Ud σε==10-13 如题图所示，一电容器由两个同轴圆筒组成，内筒半径为a ，外筒半径为b ，筒长都是L ，中间充满相对介电常量为r ε的各向同性均匀电介质。