L
(0, 0) 到 (1, 1) 的一段。
4．证明曲线积分 (x 2y)dx ydy 在半平面 D {(x, y) | x y 0}上与路径无关，
L (x y)2
并计算 (2,1) (x 2 y)dx ydy ，这里积分路径不与直线 y x 相交。
(1, 2)
D
（4） x2 y 2 dxdy ，其中 D 是由抛物线 x2 y2 1与曲线 r 1 cos 所围闭
D
区域中右面的一个；
（5） (x2 y 2 x)dxdy ，其中 D 是由椭圆 x2 y 2 1所围的闭区域；
D
a2 b2
（6） y e(xy)2 dxdy ，其中 D 是由直线 x y 1，y 0 ，x 0 所围的闭区域； D x y
x2 y2
（3） (x z)dxdydz ，其中 是由 z x2 y2 与 z 1 x2 y2 所围闭区域；
（4）
1 x2 y 2 z 2 dxdydz ，其中 是由 x2 y 2 z 2 1所围闭区域；

a2 b2 c2
x2 y2 z 2 3a2 的公共部分（ a 0 ）。
4 ． 计 算 三 重 积 分
xyzdxdydz
，其中 为球体 x2 y2 z2 z2
x 0 ， y 0 ， z 0 的部分（ a 0 ）。
§3 重积分的应用
（ a, b, c 0 ）；
（7）
dxdydz
dxdydz ，其中 是由 x2 y2 z 2 1所围闭区域。
x2 y 2 (z 2)2
3．计算三重积分 (x y z)2 dxdydz ，其中 为抛物体 2az x2 y2 与球体
求该曲线绕 y 轴旋转一周所得旋转曲面的面积；
（ 3 ） 求 曲 面 x2 y2 2az 包 含 在 柱 面 (x2 y2 )2 2a2 xy 内 的 那 部 分 面 积 （ a 0 ）。
3．设一物体所占的区域由曲面 az x2 y2 和 z 2a x2 y2 所围成（ a 0 ）， 其密度为常数 1。 （1） 求该物体的重心； （2） 求该物体关于 z 轴的转动惯量。
3．若悬链线的一段
y

a 2

e
x a
x
e a
（ 0
x

a ）上每一点的密度与该点的纵坐
标成反比，且在点 (0, a) 处的密度等于 p ，求该曲线段的质量。
4．在力场 F(x, y, z) yzi zxj xyk 的作用下，一质点由原点沿直线运动到椭球
面 x2 y 2 z 2 1上的点 M (,, ) ，问 M 在该椭球面的何处时，F 所作的功最 a2 b2 c2
(x y)2
5．设
D
{(x,
y)
|
y

0} ，问微分形式

ydx xdy 3x2 2xy 3y 2
L
一卦限部分的边界曲线，自 z 轴的正方向看为逆时针方向；
（4） ( y z)dx (z x)dy (x y)dz ，其中 L 为球面 x2 y2 z 2 a2 （ a 0 ）
L
与平面 y x tan （ 0 ）的交线，自 x 轴的正方向看为逆时针方向。 2
上侧；
（3） e z4 (x2 y 2 )dxdy ，其中 为锥面 z x2 y 2 与两平面 z 1， z 3 所
围立体的表面，定向取外侧；
（4） x2dydz y2dzdx (x a)dxdy ， 为上半球面 z c R2 (x a)2 ( y b)2
多元函数积分学练习题
§1 二重积分
1．计算二重积分
a(x) b( y) dxdy ，其中 是连续函数， a ，b 为常数。
x2y2r2 (x) ( y)
2．设一元函数
f
在 [a,
b]
上连续，证明

b a
f
(
x)dx
2
(b a)
b
[
f
(
x)]2
dx
f (ax by cz)dS 2
1
f (u
a2 b2 c2 )du 。
1

5．计算下列第二类曲面积分：
（1） xdydz ydzdx zdxdy ，其中 为锥面 z x2 y2 被平面 z h 所截的有
限部分的外侧；
（2） xzdydz yzdzdx z 2dxdy ，其中 为上半球面 z R2 x2 y2 ，定向为
a2 b2 c2
（5） (x2 y 2 )dxdydz ，其中 是由 x2 y2 2z 与 z 2 所围闭区域；
（6） (x2 y2 z 2 )dxdydz ，其中 是由 z 2 x2 y 2 与平面 z c 所围闭区域

c2 a2 b2
为常数。
2．求锥面 x2 y2 z2 包含在柱面 x2 y2 R2 （ R 0 ）内的部分的面积。
3．设半径为 R 的球面 S 的球心在定球面 ： x2 y2 z 2 a2（ a 0 ）上，问 R 取何值时球面 S 在定球面 内部的部分面积最大？ 4．设一元函数 f 连续， 为球面 x2 y2 z 2 1。证明
|
，其中
L
是以
A(1,
0)
，
B(0,
1)
，
C(1,
0)
，
D(0,

1)
为顶点的正
方形的边界，定向取逆时针方向；
（2）
L
x2
xy y2
( ydx

xdy) ，其中
L 为双扭线 r 2

a2
cos2
的右面的一半，定向
取逆时针方向；
（3） ( y 2 z 2 )dx (z 2 x2 )dy (x2 y 2 )dz ，其中 L 为球面 x2 y2 z 2 1在第
dy
y
sin z
dz 。
0 0 0 (1 z)2
2．计算下列三重积分：
（1） (x y z)dxdydz ，其中 是由平面 x y z 1以及三个坐标平面所围
闭区域；
（2）
e z dxdydz ，其中 是由 z x2 y 2 ， z 1和 z 2 所围闭区域；
y2 b2

z2 c2
所围立体（ a,b,c 0 ）。
2．求下列曲面的面积：
（1）求曲面 x2 y2 a2 被两平面 x z 0 ， x z 0 所截的在 x 0 ， y 0 部 分的面积（ a 0 ）； （2）设一平面曲线的方程为
y 1 (x2 2 ln x) ，1 x 4 ， 4
L x2 y2 z2
从 0 到 2 的一段弧；
（4） zds ，其中 L 为曲面 x2 y2 z 2 和 y 2 ax（ a 0 ）的交线上自 O(0, 0, 0) L
到 A(a, a, a 2) 的一段。
2．计算下列第二类曲线积分：
（1）

L
|
dx x|

dy |y
x
（1） e y dxdy ，其中 D 是由抛物线 y2 x ，直线 x 0 ， y 1所围的闭区域；
D
（2）计算

D
sin( x

y)
dxdy
，其中
D
为直线
x

0，
y

0和
x

y

2
所围的闭区
域；
（3） ydxdy ，其中 D 是圆 x2 y2 ax 与 x2 y2 ay 的公共部分（ a 0 ）；
4．求均匀椭球体


(
x,
y,
z)

x2 a2

y2 b2

z2 c2

1

关于三个坐标平面的转动惯量。

5．求高为 h ，顶角为 2 的均匀圆锥体对位于它的顶点的质点的引力，这里设圆 锥体的密度为常数 ，质点的质量为 1。
§4 两类曲线积分
1．计算下列第一类曲线积分：
（1） | y | ds ，其中 L (x, y)
t3
7．求曲线 (x2 y2 )2 a(x3 3xy 2 ) 所围图形的面积（ a 0 ）。
8．求曲面

x a
2 2

y2 b2
2

z c
1 与平面 z

0 所围立体的体积（ a, b,
c

0 ）。
§2 三重积分
1．适当交换积分次序，计算
1
dx
x
L
弧 y 2ax x2 ，方向自 (2a, 0) 到 (0, 0) ；
（3）
L
xdy ydx 4x2 y2
，其中
L 是圆周 (x
1) 2

y2

4 ，定向为逆时针方向；
3.计算曲线积分 (x2 1 e y sin x)dy e y cos xdx ，其中 L 是抛物线 y x2 从点
（7） xydxdy ，其中 D 是由抛物线 y x2 ， y 1 x2 ， x y 2 ， x 1 y 2 所围的
D
4
4