• 欧拉法 考察经过空间某位置(x, y, z)处质元的运动
如： v v ( x , y , z , t ) a a(x, y,z,t) p p(x, y,z,t)
这种方法把流体看成一 个场，考虑场中各点的 各个物理量。
在流动的流体中划出一个小截面，则通过其周 边各点的流线所围成的管状体称 流管
m
v
Байду номын сангаас
2 2
m gh2 )
- (
1 2
m v12
m gh1 )
P1
v1
S1h1 x
v2
P2 S2
F2
y h2
v2 P2 S2
y h2
由WE得：P 1V P 2V (1 2 m v 2 2 m g h 2 )-(1 2 m v 1 2 m g h 1 )
ρ= m /ΔV是流体的密度
S v =常量
体积-流量守恒定律
Sv 单位时间内通过任一截面S的流体体积
流体的连续性方程是质量守恒定律在定常 流动流体中的一个推论，它与流体是否存 在粘性无关。
例：水从龙头流下过程中，由于其
速率增加，水流必定“收缩下去”。
若A0处水流横截面为1.2cm2,A处 为0.35cm2，A0,A之间的竖直距离 为h=45mm,求龙头流出的体积流
y‘ h2
外力： 其它流管中流体的压力对它不做功
流管中段外流体的压力F1 F2对它作功 F1作正功，F2作负功。
x截面的位移是 v1Δt，y截面的位移是 v2Δt
总功：WF1v1t -F2v2t
P1 S1 v1t-P2 S2v2t
P1 V-P2 V
P1 F1v1
S1h1 xX
机械能增量
E
(1 2
二、伯努利方程的应用
（1 ）小孔流速
一直立容器，截面积为S，在容器下部开一面积为s的 小孔，小孔与液面的高度差为h，求小孔处的流速。
解：对A、B流管，由伯努利方程得： A
P Agh1 2vA 2P B1 2vB2，PA = PB
h
由SvA=svB,且 S>>s ，故vA<<vB，
Bv
可将vA近似为零 vB 2gh
量解。：两截面体积流量相等
A0v0 Av
落体运动的速度关系
A0
v2 v02 2gh
A
v0 A 202ghA22A0.28m 6/s
流量为：
R V A 0 v 0 1 .2 c2 m 2 .6 c 8 /m s 3 c4 3 / m s
§5-3 理想流体的伯努利方程
一、理想流体的伯努利方程
定常流动 取一细流管
流速大的地方压强较小，流速小的地方压强较大 (即流线相对靠近的地方，压强较小，反之亦然)
❖血压测量最早由英国牧 师黑尔斯(R. S. Hales， 1677-1761) 在 1733 年 完 成的。
❖ 1896 年 意 大 利 医 生 里 瓦 罗 基 (Riva-Rocci ， 18631937) 发 明 了 现 在 仍 在 使 用的腕环血压计。
流体的动 流体的势 流体的静
能
能
压能
说明： 1）此方程实质上是能量守恒定律在理想流体做定常流动
中的具体表现。 2）惯性系中成立 3）其中p,v,h对应于同一根流线,不同流线对应的常数不同。
在一般管道流动中，忽略各物理量在其横截面上 的变化也可近似成立，式中各量为管道截面上所取 的平均值。
如果流体在水平管子中流动（h1=h2）， 则流体的势能在流动过程中不变， P + 1/2ρv 2 = 常量
小孔流速只与 h 有关!
为什么？
如同一质点自由下落 h 高度！
流体不会穿过流线流入或流出流管!!!
流线越密地方流速越大，越稀地方流速越小。
三、定常流动和不定常流动
不定常流动 vv(x,y,z,t)
• 经过空间某处的质元速度随时间变化 • 流线的形状随时间变化
定常流动 vv(x,y,z)
• 流场中任一点的流速、压强和密度等都不随时间 变化
• 流线的形状不变，和质元的运动轨迹重合 • 流体的各流层不相混合，只作相对滑动。
§5-2 定常流动的连续性方程
研究对象：在定常流动的流场中任取 一段细流管 流管的任一横截面上各点的物理量看做均匀
截面 S1 和 S2 处：流速分别为 v1 和 v2 ， 流体密度分别为ρ1 和ρ2 。 在 Δt 时间时间内：
通过截面S1进入的流体质量：
m11(v1t)S1
通过截面S2 流出的流体质量：
流体动力学:研究流体运动的学科，是水力学、 空气动力学、生物流体力学等学 科的理论基础。
一、 流体运动的描述方法
• 拉格朗日法 考察每个质元的位置随时间的变化
x f (x0, y0, z0,t) y g(x0, y0, z0,t) z h(x0, y0, z0,t)
不同的（x0 , y0 , z0） 代表了不同质元 牛顿定律适用
第五章 流体力学
§5-1 流体运动的描述
液体和气体统称为流体。 流体的基本特征是具有流动性，即它的各个部分 之间很容易发生相对运动，没有固定的形状。
流体力学研究流体的宏观平衡和运动的规律以及 流体与相邻固体之间相互作用规律。
流体的宏观物性
• 流动性 • 可压缩性 • 粘滞性
理想流体
流体力学
流体静力学:研究静止流体规律的学科，如阿基 米德原理、帕斯卡原理等。
m22(v2t)S2
定常流动，质量守恒
m1=m 2
ρ1 S1 v1 =ρ2 S2 v2
ρ1 S1 v1Δt =ρ2 S2 v2Δt
ρS v = 常量
定常流动时的连续性方程 又称质量-流量守恒定律
其中 - 流体密度，s - 截面面积，v - 流速。
ρS v 单位时间内通过任一截面S的流体质量
对不可压缩流体, ρ为常量，则
截取一段流体 xy
设流体在x处：压强P1，速度v1，高度h1，截面积S1
在y处：压强P2，速度 v2，高度h2，截面积S2
经过时间Δt后，此段流 体的位置由 xy移到了
x´y´
考察Δt时间内这段流 体机械能变化
F1
P1
v1
S1
h1 xX
P1 S1
h1
v1 x’
v2
P2 S2
F2
y
h2
v2 P2 S2
1 2v 2 2g h 2 P 21 2v 1 2g h 1 P 1
由于对x,y点的选择没有限制，故上式对同一流管 的任一截面有：
1 2v2ghP常 量--- 伯努利方程
单位体积 单位体积 流体的动 流体的势
单位体积 流体的静
PFFl W S Sl V
能
能
压能
1v2ghP常量
2
单位体积 单位体积 单位体积