第17章量子物理基础17.1根据玻尔理论，计算氢原子在斤=5的轨道上的动量矩与其在第一激发态轨道上的动量矩之比.［解答］玻尔的轨道角动量量子化假设认为电子绕核动转的轨道角动量为L =mvr =n —N2TC ,对于第一激发态，n = 2,所以厶仏2 = 5/2・17.2设有原子核外的3p态电子，试列出其可能性的四个量子数.［解答］对于3p态电子,主量子数为n = 3,角量子数为/=1,磁量子数为mi = - 1), I -1,自旋量子数为m s = ±1/2.3p态电子的四个可能的量子数(斤丿,叫叫)为(3，1 丄1/2), (3,1,1,・ 1/2), (3丄0，1/2), (3,1,0,-1/2)，(3,1,・1，1/2), (3,1,-1,-1 ⑵.17.3实验表明，黑体辐射实验曲线的峰值波长九和黑体温度的乘积为一常数，即入』=b = 2.897xl(y3m・K・实验测得太阳辐射波谱的峰值波长九= 510nm,设太阳可近似看作黑体，试估算太阳表面的温度.［解答］太阳表面的温度大约为T_ b _ 2.897X10-3~ 510x10—9 =5680(K)・17.4实验表明，黑体辐射曲线和水平坐标轴所围成的面积M (即单位时间内从黑体单位表面上辐射出去的电磁波总能量，称总辐射度) 与温度的4次方成正比，即必=〃,其中^=5.67xl0-8W m_2 K-4.试由此估算太阳单位表面积的辐射功率(太阳表面温度可参见上题).［解答］太阳单位表面积的辐射功率大约为A/=5.67xl0-8x(5680)4 = 5.9xl07(W-m-2)・17.5宇宙大爆炸遗留在宇宙空间的均匀背景辐射相当于3K黑体辐射.求：(1)此辐射的单色辐射强度在什么波长下有极大值？(2)地球表面接收此辐射的功率是多少？［解答］(1)根据公式UT=b,可得辐射的极值波长为九=b/T= 2.897X10_3/3 = 9.66x104(m).(2)地球的半径约为7? = 6.371x10%,表面积为 5 = 47T T?2.根据公式：黑体表面在单位时间，单位面积上辐射的能量为M = al4,因此地球表面接收此辐射的功率是P = MS= 5.67x 1 (T8x34x4 兀(6.371 x 106)2=2.34X109(W).17.6铝表面电子的逸出功为6.72X1049J,今有波长为久=2.0x10_7m 的光投射到铝表面上•试求：(1)由此产生的光电子的最大初动能；(2)遏止电势差；(3)铝的红限波长.［解答］(1)光子的能量为E = hv = hc/L根据爱因斯坦光电效应方程hv = E k + A,产生的光电子的最大初动能为= hv - A=6.63 x 10_34x3 x 1 08/2.0X 10'7-6.72x IO-19=3.23X10_,9(J)・(2)遏止电势差的公式为eU s = E k,遏止电势差为=£^=3.23X1019/1.6X1019=2.0(V).(3)铝的红限频率为w = A/h,红限波长为Zo = c/vo = hc/A=6.63X10-34X3X108/6.72X10-19=2.96x10"(m)・17.7康普顿散射中入射X射线的波长是久=0.70x1 O lo m,散射的X 射线与入射的X射线垂直.求：(1)反冲电子的动能E K；(2)散射X射线的波长；(3)反冲电子的运动方向与入射X射线间的夹角&・［解答］(1) (2)根据康普顿散射公式得波长变化为△2 = 2力sit?纟=2x2.426xl0-12 sin2 -2 4= 2.426xl0_12(m),散射线的波长为厂=2 + AA = 0.72426x10_lo(m).反冲电子的动能为_ he heA■- A 久'6.63X10~34X3X108 6.63X1034X3X108一0.7x10」。

0.72426x10"10=9.52X1017(J)・卜、\(3)由于\ S,\h/Xtan —泄出he/A 久、，Eg所以夹角为0 = 44。

1'・的X射线17.8 求波长分别为21 = 7.0x10-7m 的红光;A2 = 0.25x1010的能量、动量和质量.［解答］X射线的能量为E = hv = hc/L动量为p = h/X；=9.47x10_25(kgms _1),质量为_ 6.63x10心"-3X 108X 7X 10-7 =3.16x10小(kg)・对于X 射线来说，能量为6.63x10 心 x3xl0*2 _ O.25X1O -10= 7.956X 10_I5(J),动量为二 6.63x1074P ~ 一 0.25x10」。

= 2.652xl0-23(kgm-s _1),质量为 6.63x10亠 m 2 =_3xlO s xO.25xlO -10=& 84xW 32(kg). 由E = hc/X = me 2,得其质量为 m = h/c^.对于红光来说，能量为 _ 6.63x10^x3x10" ,= 頑肓= 2.84x10%),动量为Pi =6.63 xl0~34 7xl0-717.9处于第四激发态上的大量氢原子，最多可发射几个线系，共几条谱线？那一条波长最长.［解答］第四激发态的氢原子处于第5个能级，最多可发射四个线系.(1)能级5到4, 1条谱线；(2)能级5和4到3, 2条谱线；(3)能级5、4和3到2, 3条谱线;(3)能级5、4、3和2至lj 1, 4条谱线.共10条谱线.从能级5跃迁到4发射的光谱频率最小，波长最长.17.10设氢原子中电子从n = 2的状态被电离出去，需要多少能量.［解答］氢原子能级公式为4 1_ me 1当斤=1时，基态能级的能量为_ 心41一一硕~-2.18xlO“8(J) = ・13.6(eV),E丄因此「2 .当电子从〃能级跃迁到加能级时放出(正)或吸收(负)光子的能量为电离时，加趋于无穷大.当电子从77 = 2的能级电离时要吸收能量因此需要3.4eV 的能量.17.11质量为加的卫星，在半径为厂的轨道上环绕地球运动，线速度 为几(1) 假定玻尔氢原子理论中关于轨道角动量的条件对于地球卫 星同样成立•证明地球卫星的轨道半径与量子数的平方成正比，即r = Kn 2,(式中K 是比例常数)；(2) 应用(1)的结果求卫星轨道和下一个“容许”轨道间的距 离，由此进一步说明在宏观问题中轨道半径实验上可认为是连续变化 的(利用以下数据作估算：普朗克常数/7 = 6.63X 10-34J S ,地球质量M =6xl024kg,地球半径7? = 6.4xl03km,万有引力常数G = 6.7xlO-H N-m 2-kg 2 ・［解答］(1)卫星绕地球运动的向心力是万有引力 根据玻尔理论，角动量为mvr = nh/lTi.将前式乘以加/得(：2 \)m— 3.6(芥占-3.4(eV),所以 4;r 2GMm 2 ~ U ,即：卫星的轨道半径与量子数的平方成正比.(2)假设卫星质量m = 100kg,比例系数为4;r 2GMm 2= _________ (6.63xl(T")2 ___________-4^2X 6.7X 10_11X 6X 1024X (100)2= 2.77x10 旳.可见：比例系数很小.当r = R 吋，地球表面的量子数为仏二如K =4.8x10".可见：地球表面处的量子数很大.地面以上的量子数设为(〃、=1,2,3,・・.)，则总量子数可表示为 两个量子数之和：n=n^n ・轨道间的距离为Ar = K[(〃o + 72 ' + 1 )2 ・ So + 72 ')2]= K[2(〃o + 〃')+ 1].rh 于 n()»l,所以心=2Kn()+ 2Kn '・设n 、= g 即：取地面以上的量子数为地球表面量子数的倍数, 有〃=伙+ I)%’贝!Ir = (k + l)2,Ar = 2Kn Q (k + 1) = 2.66x10-40^ + 1). 0 • V. O GMm~r - _ (nh)24^2这说明：当地面以上的量子数按k+1成倍地增加时，半径将按k+ 1的平方的规律增加，而轨道之间的距离只按丘+1的一次方的规律增加；由于△厂的系数很小，所以轨道间距是非常非常小的，因此可认为轨道半径是连续变化的.17.12电子和光子各具有波长2.0xW10m,它们的动量和总能量各是多少？［解劄它们的动量都为h 6.63 xl0~34 P〒2X10」。

= 3.315xW24(kgm-s-1).根据公式E2 = p2c2 + m^c ,电子的总能量为=3X108X[(3.315X10-24)2+(9.1X10_31X3X108)2]1/2=8.19x10小(J)・光子的静止质量为零，总能量为E = cp=3X108X3.315X10-24=9.945X10-16(J).17.13室温下的中子称为热中子r=300K,试计算热中子的平均德布罗意波长.其中k为玻尔兹曼常数k = USxlO^J K1,竹是电子的质量m p = 1.675xl0-27kg,可得平均速度为v = 2.509xl04(m-s_1),平均动量为P = ^v = 4.2xl0'27(kg-m-s_1).平均德布罗意波长为A = h/p= 1.58X10-1 °(m) = 0」58(nm).17.14 —束动量是p的电子，通过缝宽为Q的狭缝，在距离狭缝为7?处放置一屏，屏上电子衍射图样中央最大的宽度是多少？［解答］根据动量和位置的不确定关系A^V*A X =/7,其中位置不确定量为心=a,动量的不确定量为=psin3.设电子衍射图样的中央最大半宽度为w,贝ij sinO = w/R,w o 、2hR可得吆Q",宽度为百.［注意］如果将力改为方/2,则宽度为2w^hR/pa.两者相差很小.17.15 一宽度为Q 的一维无限深势阱，试用不确定关系估算阱中质量 为m 的粒了最低能量为多少？\x = a,动量的不确定范围是A/2 = A/A X = /Z /(7 -这也就是动量P 的范围.因此能量为E =『12m =方2/2 加最低能量可估计为Emin = A 2/2；776Z 2・ 17.16设有一宽度为Q 的一维无限深势阱，粒子处于第一激发态，求 在x = 0至x = <7/3之间找到粒子的几率？［解答］粒了在一维无限深势阱中的定态波函数为= 0,(兀 v 0, x> a). 当粒子处于第一激发态时,/? = 2,在x = 0至x = Q /3之间被发现 的几率为2_V|3~2^=0.391.rurx (0 < x < 6?) a 5(w = 27TX dr17.17设粒子在宽度为Q的一维无限深势阱运动时，其德布罗意波在阱内形成驻波，试利用这一关系导出粒子在阱中的能量计算式.的整数倍，即刃(2/2) = a, (n = 1,2,3,・・・)・根据德布罗意假设X = h/p,可得粒子的动量为17.18假定对某个粒子动量的测定可精确到千分之一，试确定这个粒 子位置的最小不确定量.(1) 该粒子质量为5xW 3kg,以2m"的速度运动;(2) 该粒子是速度为1.8x10%"的电子.［解答］粒子的动量为 p = mv,动量的不确定量为 ^p =/?/1000,根据动量和位置的不确定关系A/rArM 方/2, 位置的不确定量为 A x =方/2切・A 、 h1000〃 Ax > --- = ----- (1 ) 2A/7 47rmv _ 1000x6.63xl0~34 47tx5xl03x2 = 5.276x10_30(m).人、h1000力 (2) 2A/7 47rmv1000x6.63x1 O'34nh2a能量为 h 2m17.19设有某线性谐振子处于第一激发态，其波函数为mk式中X忖,k为常数,则该谐振子在何处出现的概率最大?［解答］第一激发态的概率为对兀求导得令dw/df = O,得概率最大的位置为X = ±1/(7.17.20 —维运动的粒子，处于如下的波函数所描述的状态 %）屮K＞。