3.1.2 空间向量的数乘运算
【使用说明及学法指导】
1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲；
2．小组合作，动手实践。

【学习目标】
1.掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；
2.理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；
3.能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．
【重点】能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题
【难点】理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；
一、自主学习
1.预习教材P86~ P87, 解决下列问题
复习1：化简：
⑴ 5（32
-）；
b a
a b
-）+4（23
⑵()()
-+--+-.
a b c a b c
63
复习2：在平面上有两个向量,a b，若b是非零向量，则a与b平行的充要条件是
2.导学提纲
1.空间任意两个向量有____种位置关系？如何判定它们的位置关系？任意两个向量的夹角的范围是______________?
2. 如果表示空间向量的所在的直线互相或，则这些向量叫共线向量，也叫_____________
3.对空间任意两个向量,a b（0
a b的充要条件是存在唯一实数λ，
b≠），//
使得 ______,为何要求0
b≠？
4.如图，l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，对空间
的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是
5.对空间两个不共线向量,a b，向量p与向量,a b共面的充要条件
是存在，使得 .
6.空间一点P与不在同一直线上的三点A,B,C共面的充要条件是：
⑴存在，使
⑵对空间任意一点O，有
7.向量共面的充要条件的理解
（1）MP ＝xMA →＋yMB →
.满足这个关系式的点P 都在平面MAB 内；
反之，平面MAB 内的任一点P 都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面．
(2)共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表示式，即任意一个空间平面可以由空间一点及两个不共线的向量表示出来，它既是判断三个向量是否共面的依据，又可以把已知共面条件转化为向量式，以便于应用向量这一工具．另外，在许多情况下，可以用“若存在有序实数组(x ，y ，z )
使得对于空间任意一点O ，有OB ＝(1－t )OA →＝xOA →＋yOB →＋zOC →
，且x ＋y ＋z ＝1成立，则P 、A 、B 、C 四点共面”作为判定空间中四个点共面的依据． 二、典型例题
例1.1. 下列说法正确的是（ ）
A.a 与非零向量b 共线,b 与c 共线，则a 与c 共线
B. 任意两个相等向量不一定共线
C. 任意两个共线向量相等
D. 若向量a 与b 共线，则a b λ=
2. 正方体''''ABCD A B C D -中，点E 是上底面''''A B C D 的中心，若''BB xAD y AB z AA =++,则x ＝ ，y ＝ ，z ＝ .
3. 若点P 是线段AB 的中点，点O 在直线AB 外，则OP = OA + OB .
4. 平行六面体''''ABCD A B C D -, O 为A 1C 与1的交点,则'1
()3
AB AD AA ++= AO 5. 已知平行六面体''''ABCD A B C D -，M 是AC 与BD 交点，若',,AB a AD b AA c ===，则与'B M 相等的向量是（ ）
A. 1122a b c -++；
B. 11
22a b c ++；
C. 1122a b c -+；
D. 11
22
a b c --+.
6. 在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中正确命题的个数为 （ ）.
A ．0 B.1 C. 2 D. 3
7.下列等式中，使M ,A ,B ,C 四点共面的个数是（ ） ①;OM OA OB OC =--
②111
;532
OM OA OB OC =++
③0;MA MB MC ++=
④0OM OA OB OC +++=.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
例2. 已知平行六面体''''ABCD A B C D -，点M 是棱AA '的中点，点G 在对角线A 'C 上，且CG:GA '=2:1,设CD =a ，',CB b CC c ==，试用向量,,a b c 表示向量',,,CA CA CM CG .
变式：已知长方体''''ABCD A B C D -，M 是对角线AC '中点，化简下列表达式： ⑴ 'AA CB - ;
⑵ '''''AB B C C D ++
⑶ '111
222AD AB A A +-
例3 如图，已知平行四边形ABCD,过平面AC 外一点O 作射线OA,OB,OC,OD,
在四条射线上分别取点E,,F,G,H,并且使,OE OF OG OH
k OA OB OC OD
====
求证：E,F,G,H 四点共面.
变式：已知空间四边形ABCD 的四个顶点A,B,C,D 不共面，E,F,G,H 分别是AB,BC,CD,AD 的中点，求证：E,F,G,H 四点共面.
三、变式训练：课本第89页练习1-3 四、课堂小结 1．知识： 2．数学思想、方法：
3．能力： 五、课后巩固
1.课本第97页A 组2题
2. 若324,(1)82a m n p b x m n yp =--=+++， 0a ≠，若//a b ，求实数,x y .
3.已知两个非零向量2
1,e e 不共线,
12,AB e e =+
121228,33AC e e AD e e =+=-. 求证：,,,A B C D 共面．。