第七章 机械振动基础
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机械振动基础
•振动:描述系统的一组参数在某一固定值附近往复变化。
•机械振动: 力学和机械系统中的振动。
钟表摆的运动
编钟敲击后的振动
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机械振动基础
研究振动的目的：
1. 认识振动的性质与特性 2. 利用振动 3. 消除振动 利用振动
双轮串联振动式压路机
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机械振动基础
汽车减震器动力学的计算机仿真
问题：用什么方法建立运动微分方程？
•牛顿第二定律 •动量定理
•动量矩定理
•动能定理 •动静法
k
l0
st
x
o'
•动力学普遍方程
•拉格朗日方程
m
o
y
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§7-1 单自由度系统的振动
ma F mg
k
F
m
1 mg F x mg F x1 : m x : m x o ' m mg k ( x st ) x 1 mg kx1 st m x mg kx k st m x o 1 kx1 mg m x kx 0 m x x1 x
g 设 ： 2 , a 0.1 4 L sin( 0.1 t ) L
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§7-1 单自由度系统的振动 问题：如何求下列系统微振动的动力学方程和固有频率？
o
o

o
g

~ ~ k q 0 mq
B

A
1 2 L mL mg 0 3 2
x
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§7-1 单自由度系统的振动 二、微幅自由振动微分方程建立的方法 设：定常约束的单自由度质点系，广义坐标为q，系统的平 衡位置为q=0，系统的势能函数连续可微，并且V（0）=0。
消除或减小振动
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机械振动基础
利用振动来消除或减小振动
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机械振动基础
建筑工程中的减震研究
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机械振动基础
问题：如何建立机械振动的力学模型？ 车 辆 减 震 系 统
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机械振动基础
v 车
身 振 动 的 最 大 振 幅
m
m
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§7-1 单自由度系统的振动
一、质量-弹簧系统的自由振动
•自由振动：质量块受初始扰动，仅在恢复力的作用下产生的振动。
B
k1
d 2V 3 2 2 ( k k ) L cos 2 ( k L m gL) cos 1 2 2 2 d 2
1 1 2 | q | 1 T mi vi2 m( q)q 2 i 2 1 2 2 T [ m ( 0) m ' ( 0) q 1 m " ( 0 ) q ] q 2 2
2 V (q) V (0) V ' (0)q 1 V " ( 0 ) q 2
2 2
x
~ ~ k q 0 mq
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§7-1 单自由度系统的振动 例：系统如图所示，滑块的质量为m，杆长为L，质量为m， 弹簧刚度系数分别为
k1, k2 。当杆铅垂时，弹簧无变形，确
定杆在铅垂位置附近作微振动的条件和振动的固有频率。
k2
A
mg
L
mg
B
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k1
§7-1 单自由度系统的振动
T
~ m m(0)
1 1~ 2 2 m m(0)q q 2 2
广义等效质量
~ V ' ' (0) k 等效刚度系数
因为：q = 0 是稳定平衡位置，且为势能零点，所以有
V (0) 0 V ' (0) 0
V " (0) 0
1~ 2 1~ 2 应用拉格朗日方程 L T V mq kq 2 2
1 1~ 2 2 V (q ) V " (0)q k q 2 2
~ ~ k q 0 mq
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§7-1 单自由度系统的振动
例：已知 m, OA=AB=L, 求系统微振动固有频率
o
g
C 为 AB 杆 的 质 心
解：系统的动能和势能
1 1 1 1 2 2 2 2 T J o mv c J c mv B 2 2 2 2 xc 1.5L cos , yc 0.5L sin , xB 2L cos
k
l0 o x
m
光滑
k
m
纯滚动
kx 0 m x
k x 0 x m
0
k m
3m kx 0 x 2
2k x x0 3m 2k 0 3m
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§7-1 单自由度系统的振动ຫໍສະໝຸດ 例：图示单摆系统，其支座以加
速度 a 运动，求系统作微幅振动 的固有频率。已知：a, L，m，k

A
B
1 2 2 2 ~ T ( m L 6m L2 sin 2 ) k 6g 2 3 ~ V 4m gL(1 cos ) m L 2 2 1 1~ 2 ~ 2 m mL mq T m(0)q 3 2 2 1 1~ 2 ~ 2 V (q) V " (0)q k q k 4mgL
解：给出系统的动能，取 =0 为系统的零势位
k2
A
T
1 2 1 2 1 1 1 2 2 mv A mv C J C AB mL2 (sin 2 ) 2 2 2 2 3
mg
L
mg
3L 1 1 2 2 2 2 (1 cos ) V k1 L sin k 2 L (1 cos ) mg 2 2 2 dV 3 [( k1 k 2 ) L2 cos k 2 L2 mgL ] sin d 2
l0
坐标原点选在静平衡位置，可得到齐次常微分方程
2 x 0 x 0 x c1 cos0t c2 sin 0t mg A sin(0t ) k 2 固有频率 0 m 10
§7-1 单自由度系统的振动 例：求下列单自由度系统振动的固有频率
l0 o x
a
o

系统A
FI
mg
(A)
mgLsin maLsin mL ( g a) sin 0 L g a ( g a) 0 0 L
2
L
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§7-1 单自由度系统的振动
a
o

FI
mg
(A)
g sin 0, a 0 L ( g a) sin 0 L