Q 两点( 如图 1) , O 为坐标原点, 若OP L OQ, 求实数 m 的值。
x + 2y - 3 = 0
解
由 x 2 + y2 + x - 6y + m = 0
消 y 得, 5x 2 + 10x - 27 + 4m = 0,
根据韦达定理, x 1 +
x2 = -
2, x 1 x 2 =
4m 5
点 A ( x 1 , y 1 ) , B( x 2 , y 2 ) , 线段 A B 中点为 M ( x 0 , y 0 ) , 则: x 0 =
x1 + x2 ,y = 2
y1 + y2 = 2
kx 0 + b。
例2
已知过点 P(-
1, 1)
作直线与椭圆 x 2 4
+
y2 2
=
1 交于 A , B 两点, 若线段 AB 的中点恰为B 所在直线的方程为 y - 1 = k( x + 1) , A ( x 1 , y 1) , B( x 2 , y2 )
由方程组
x2 4
+
y2 2
=
1
y - 1 = k( x + 1)
消去 y 得: ( 2k 2 + 1) x 2 + ( 4k - 4k2 ) x + 2k2 - 4x - 2 = 0
1 应用几何变换来沟通几何和代数知识 几何和代数是数学不可分割的两块, 它们 的联系紧密, 各自以 数和形作为 研究的重 点, 它 们的沟通 可以将 各自领 域 的棘手问题顺利解决。正如著名的数学家希尔伯特曾说:/ 算术 是写下来的 图形, 几何图形 是画出 来的公式 。0 构造图 形 利用几何变换的知识直观地解决一些代数问题, 以及利用几何变换将图形中的隐含条件挖掘出来, 再借助明了的代数 变 形解决几何问题都是常见的思路。
k
(
25 k2 5k2 +
4
-
5)
=
- 20k 5k2 + 4
。又
|
F2C |
=
|
F2D |
Z F2R L
l Z k # kF2R = -
1, 故 k # k F2 R =
k#
0
1
(-
2 0k 5k 2 +
4)
-
25 k2 5k2 + 4
=
20 k2 4 - 20k2
=-
1
得 20k2 = 20k 2 - 4, 所以不存在直线 l, 使得 | F2C | = | F2 D | 。 综上所述, 不存在直线 l, 使得 | F2 C | = | F2 D | 。
4 5
x2 -
1=
1 5
x2 +
3, 因 x
I
[-
5, 5] , 故当 x = 0, 即点 P 为椭圆短轴端点
时, PF1 # PF 2 有最小值 3; 当 x = ? 5, 即点 P 为椭圆长轴端点时, PF 1 # PF2 有最大值 4 。 ( Ò ) 假设存在满足条件的直线 l, 易知点 A ( 5, 0) 在椭圆的外部, 当直线 l 的斜率不存在时, 直线 l 与椭圆无交点, 所
韦达定理求得。
例 1 求过直线 2x + y + 4 = 0 和圆 x 2 + y 2 + 2x - 4y + 1 = 0 的交点, 且面积最小的圆的方程?
2x + y + 4 = 0
解由
, 消 y 得 5x 2 + 26x + 33 = 0, 根据韦达定理, A B 的中点 P 的坐标为
x 2 + y2 + 2x - 4y + 1 = 0
( x 1 , y 1 ) , b = ( x 2 , y 2 ) , 则 a# b = x 1 x 2 + y1 y 2 。利 用韦达定理解决有关直线与曲线相交的问题时, 将直 线方程与曲线方程 所构成的方程组中消去一元, 转化为一元二次方程的形 式, 根据题意便可利用韦
达定理求解有关 x 1 、x 2 或 y 1 、y 2 的代数表达式。 例 3 已知圆 x 2 + y 2 + x - 6y + m = 0 与直线 x + 2y - 3 = 0 相交于 P、
在直线 l 斜率存在, 设为 k, 则有 y =
k( x - 5) , 由方程组
x5 5
+
y2 4
=
1 , 得( 5k2 + 4) x 2 - 50k2 x + 125k2 - 20 =
0, 依题
y = k( x - 5)
意 v = 20( 16 - 80k2 ) > 0, 得 -
5 5
<
k<
55, 当 -
所以x - x B xC - x
=
xB xC
,
]
x=
2x B x C x B + xC
( 1)
y = kx + a
设过 A 所作直线方程为 y = kx + a, ( 显然 k 存在) , 由
得( 1+ k2 ) x 2 + ( 2ak - 4) x + a2 + 3 = 0,
( x - 2)2 + y2 = 1
点就是通过韦达定理来求解。
例 4 过点 A ( 0, a) 作直线交圆 M : ( x - 2) 2 + y 2 = 1 于点 B、C, 在 BC 上取一点 P , 使 P 点满足: AB = KA C , BP =
KPC ( K I R) , 求点 P 的轨迹方程。
解 令 P ( x , y ) , 因为A B = KA C, BP = KPC , ( K I R) , 所以 x B = Kx C , x - x B = K( x C - x )
所以 x B + x C =
41+
2 ak k2
, xBx
C
=
2a + 2-
3k ak
,
代入(
1)
得
x
=
a2 + 3 2 - ak
,
故
y
=
kx +
a=
2a + 2-
a3kk,
消去
k,
得所求轨迹为
2x - ay - 3 = 0, ( 在圆 M 内部) 。
5 求存在性问题
这个问题是解析几何中的难点, 在教学过 程中, 学生对这个问题 的掌握相 对而言比较 困难, 这类问 题一般 也是试 卷
6 结束语
以上就韦达定理在解析几何中的应用作了简单分析, 从上述各例中 我们可以看 出: 韦 达定理 的应用 相当灵活 , 且 十
分广泛, 要很好地掌握它、应用它, 需对题中的条件、结论有精心的分析, 然后将其条件进行变形和转化成一元 二次方程,
方能运用它来解决相关问题。这类问题的特点主要表现 为概念性强, 计算量大, 对学生的运算能力要求比较高, 特别是 在
韦达定理是初中课程中的重要定理, 但在整个中学 阶段解题时都会经常用到它。鉴于它应用的灵活性, 在解决有 关 方程、三角、几何等问题中都有着广泛的应用, 特别对于 圆锥曲线问题, 初看起 来没有方 程的影子, 也不 是两数 之和与 两 数之积的问题, 没有直接运用韦达定理的条件, 但经过适当的变形或转化后, 就显出了一元二次方程的性质, 变成两数 之 和与两数之积的问题了, 就可以运用韦达定理 来求解。下面就韦达定理在解析几何中的应用举例介绍:
( 1+
1 k2
)
,
故弦长公式
|
P1P2 | = |
x1 -
x2 |
( 1+ k2) 或
| P1P 2 | = | y1- y2 |
(1+
1 k2
),
其中 |
x1
-
x2 | =
( x 1 + x 2) 2 - 4x 1 x 2 , | y1 - y 2 | =
( y 1 + y 2 ) 2 - 4y1 x y 2 可由
得4m5
27 +
m+ 5
12
=
0, 解得 m =
3。
4 求轨迹的问题
轨迹问题是高考重点考查的内容, 常常与最值及分 类讨论的思想结合在一起。解析几何中的/ 求轨迹方程, 并说明 是
什么曲线0 是近几年高考的热点 , 它综合考查了学生逻辑推理能力, 运算能力, 分析问题和 解决问题 的能力, 其计算的 重
利用韦达定理解有关圆锥曲线, 特别是在 求有关弦长与弦的中点时 非常简便; 它利 用了设而 不求的 方法进 行求解, 大大简化了计算步骤, 同时解题的思路比较清 晰, 如直线与曲线( 椭圆、双曲线、抛物线) 相交, 求弦长、弦 的中点等。
1 弦长问题 设直线与曲线相交于 P1 ( x 1 , y 1 ) 、P2 ( x 2 , y 2) 两点, 直线 P1 P2 的斜 率为 k, 则
x=
x1 + 2
x2
=-
13 5
y = - 2x - 4 =
6 5
| A B | = | x 1 - x 2 | ( 1 + k2 ) =
262 -
4@ 5
5@
33 @
1+
(-
2)2 =
45 5
所以, 圆的方程是( x + 13 ) 2 + ( y - 6 ) 2 = 4 。
5
5
5
2 弦的中点问题