韦达定理在平面在几何中的应用姓名：莫……学号：201040432018班级：10数学本科（2）班院系：兴义民族师范学院1 引言韦达(Viete，Francois，seigneurdeLa Bigot iere) 是法国十六世纪最有影响的数学家之一.韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃.人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”.他最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系, 因此, 人们把这种关系称之为韦达定理(Viete’s Theorem).它的主要内容是：一元二次方程且中，设两个根为和，则：，. 一元二次方程根与系数关系的韦达定理是中学数学的重要内容之一，其知识脉络贯穿于中学数学教学的始终. 对韦达定理(Viete’s Theorem)在中学数学中的应用的研究，国内外很多教育学者和专家都有大量研究成果，范围涉及方程、代数、三角、解析几何，平面几何等多方面.摘要韦达定理揭示了一元二次方程根与系数的关系，它在中学数学中占有很重要的位置，根据这个定理欲证U+V=Q或U.V=Q，只需证U和V是方程20++=（a≠0）的两个根。

在平面几何中，常常会遇到求证两个几何量ax bx c的和或积等某值的问题，运用韦达定理可以给求解这类问题打开一条思路，解题的关键是建立所考察的两个几何量为根的一元二次方程，而建立这样的方程可借助余弦定理等工具来实现。

下面列举说明韦达定理在求解这类问题中的应用。

韦达定：韦达定理平面几何一元二次方程。

AbstractWada theorem reveals a yuan quadratic equation root and coefficient of relationship, it occupies very important position in the middle school mathematics, according to the theorem to U + V=Qor U.V = Q, just U and V is equation (indicates a 0) the two root. In plane geometry, often will encounter two geometric verification and/or the amount of product such as a value problem, using the wada theorem can open an idea for solving this kind of problem, the problem solving is the key to establish examined two geometric quantity for a yuan quadratic equation root, and such an equation can be achieved with the aid of tools such as cosine theorem to. Below list illustrates ouida theorem application in solving such problems.Keywords：wada theorem plane geometry a yuan quadratic equation1、韦达定理概述根据记载，在韦达那个年代，有一个角落们的比例是数学家提出了一个45次方程各国数学家挑战各国数学家挑战。

法国国王便将这个充满挑战的问题交给了韦达，韦达当即就得出一个正根，再由他研究了一晚上时间就得出了23个正根（另外的22个负根被他舍了），消息传开，让当时整个数学界都为之震惊。

在他阶梯式发现方程的根似乎与某些系数有关联，因此他就对此进行了一系列的研究，在不久以后发现了伟大的韦达定理。

韦达定理：在一元二次方程20ax bx c ++=，（a ≠0）当24b ac ∆≥-，则原方程的两个根满足以下规律：12b x x a +=-，12.c x x a= 韦达定理得逆定理：如果12x x ，满足12b x x a +=-，12.c x x a=，那么12x x ，是一元二次方程20ax bx c ++=的两个根。

2、韦达定理证明2.1.求根公式：根据将20ax bx c ++= （a ≠0）配方得到的21,242b b ac x a -±-= 可得2212442222b b ac b b ac b b x x a a a a-+-----+=+==- 222212244(4)()224b b ac b b ac b b ac c x x a a a a-+------⨯=⨯== 2.2.同解方程法：若20ax bx c ++= （a ≠0）的两个根1x ，2x ，那么知道212()()ax bx c a x x x x ++=--左边2212121212()ax ax x ax x ax x ax a x x x ax x =-⨯-⨯+=-++比较系数知：12()b a x x -+= 121212b c ax x c x x x x a a=⇒+=-⨯=， 与韦达定理有关推论；2124b ac x x a--=3、韦达定理在平面几何中的应用3.1.例1，设P 是正三角形ABC 外接圆的BC 上的任一点，求证；(1) PB+PC=PA(2) PB.PC=22PA PB -证明；△ABC 是正三角形故知AB=AC∠APB=∠ACB=∠APC=060在ABP ∆中，由余弦定理可有 22202c o s 60A B P A P B P A P B =+-⋅ 即222()0PB PA PB PA AB -⋅+-= (1)同理，注意AC=AB ，则由APC ∆可有；……（2） 图1由（1）和（2）得PB,PC 的方程222(P A A B )0x P A x -+-= 的两个根，于是 由韦达定理就有,PB+PC=PA 22PB PC PA AB ⋅=-3.2.例2，设P 为定角∠xAy 的平分线上的一个定点，过A,P 两点任作一圆∠xAy的两边于B,C 两点，连接BC 交AP 于Q ，求证；（1）AB+AC=定值 （2）AB .PC=AP .AQ证明；连接PB,PC,因A,P 是定点，故AP 为定长，又BAC ∠为定角(记作2θ)AP 为其平分线，故知0BAP PAC ∠=∠=为定角，且易知PB=PC 图2在△BAP 中，由余弦定理可得；2222cos PB AP AB AB AP θ=+-⋅即；222(2APcos )AB (AP PB )0AB θ-+-=……(1) 图2同理，注意PC=PB ，则由△APC 可得；222(2APcos )AC (AP PB )0AC θ-+-= (2)由(1)(2)可知，AB,AC 是方程；222(2cos )(AP PB )0x AP x θ-+-= 的两个根于是，由韦达定理得;2cos AB AC AP θ+=为值,22AB AC AP PB =- (3)又在△QPB 和△APB 中∠BAP=∠PAC=∠PBC=∠PCB △APB ∽△BPQ∠APB 为公共角从而，AP:PB=PB:QP 2PB =AP .QP∴222Q (AP QP)AP AQ AP PB AP AP P AP -=-⋅=-=⋅ (4)由（3）和（4）就得AB .AC=AP .AQ3.3.例3，已知四边形ABCD 内接半径为R 的圆，且AB=AD ，求证（1）22AB BC DC AB =⋅+（2）22222(BC DC)AC (4R AB )R +=-证明；设∠ACB=θ，仿照前例证法，由△ ABC 和△ACD 容易知BC ，DC 是方程222(2cos )(AC AB )0x AC x θ-+-=的两个根，于是由韦达定理就得：22BC DC AC AB ⋅=- 即22AC BC DC AB =⋅+ 图33.4.例4．设在△ABC 中，∠BAC 的平分线交于BC 于D 求证2AD AB AC DB DC =⋅-⋅.证明；设∠BAD=∠DAC=θ ∠ADB=∂ ADC=β则，0+=180αβ，sin =sin θβ在△ABD 中，由正弦定理和余弦定理可得；s i n s i nD B A B θθ= ………… （1） 2222cos DB AB AD AB AD θ=+-⋅ 图4 那么，2222(ADcos )AB (AD DB )0AB θ-+-=22(2ADcos )AB (AD DB DC DB BC)0AB θ-++⋅-⋅= (2)把（1）代入（2）式最末一项，经整理得；22sin (2ADcos )AB (AD DB DC)0sin BC AB θθα-+++⋅= ……（3） 同理，注意sin =sin βα，则由△APC 可得；2s i n (2A D c o s )A C ()0s i n BC AC AD DB DC θθα-+++⋅= (4)由（3）（4）可知，AB ，AC 是方程；22sin (2cos )()0sin BC x AD x AD DB DC θθα-+++⋅=的两个根， 于是，由韦达定理就得；2AB AC AD DB DC ⋅=+⋅由此可得；2AD AB AC DB DC =⋅-⋅这里我们还可以顺便得到；s i n 2c o s s i n BD AB AC AD θθα+=+3.5.例5．设P 是正三角形ABC 的外接圆的BC 上的任意一点，AP 交BC 于M ， 求证；111PB PC PM+=证明；设∠BMP=α ∠CMP=β则，0+=180αβ s i n =s i nαβ 对∠APB=∠APC=060在△BMP 中，由正弦定理和余弦定理得；0sin 603sin 2sin MB PB αθ== …………（1） 图5 22202cos60MB PM PB PM PB =+-⋅ 即；223()(1)04sin PM PM PC PB α-+-= …………（2） 同理；注意sin sin βα=则△PMC 可得；223()(1)04sin PM PM PC PC β-+-= …………（3） 则由（2）（3）可知，,PM PM PB PC 是方程223104sin x x α-+-= 的两个根，由韦达定理得；1111PM PM PB PC PB PC PM+=⇒+= 顺便可知；22331(1)4sin 4sin PM PM PM PB PC PB PC αα⋅=-⇒=-⋅3.6.例6.（1978年高考题）在梯形ABCD 中，已知AB//CD ，∠ABC=090， 以A 为直径作圆交BC 于E ，F ，设∠EAB=α ∠EAD= β 求 ；(1)tan tan BC ABαβ+=(2)tan tan CD AD αβ⋅= 证明；欲证明此命题成立，只需要证tan ,tan αβ 是方程；20BC CD x x AB AB-+=（1）的两个根 图6连接DE ，易知△ABE ，△AED 都是Rt △ ∠DEC=∠EAB=α Rt △A ∽Rt △ECD 从而tan 0BE CD AB CD BE EC AB ECα==⇒⋅-⋅= tan ED EC AE ABβ== 令tan BE x ABα==代入方程（1）左边得； 2222(BC BE)()0BE BC BE CD AB CD BE AB CD BE EC AB AB AB AB AB ⋅⋅--⋅-⋅-+=== 故知tan α识方程（1）的根 同理，令tan EC x ABβ==代入方程（1）左边 可知tan β是方程（1）的根，于是由韦达定理得；tan tan BC ABαβ+= tan tan CD ADαβ⋅=4、韦达定理的推广高次方程中的韦达定理： 一元三次方程中的韦达定理，像上文中的同解方程法一样设320ax bx cx d +++=（a ≠0）的三根为123x x x ，，易知32123()()()ax bx cx d a x x x x x x +++=---左右分别展开得:3232123122331123()()ax bx cx d ax a x x x x a x x x x x x x ax x x +++=-+++++- 比较系数得:123121231123b c d x x x x x x x x x x x x a a a++=-++==- 依此类推也可知在高次方程中一般情况下，如果一元n 次方程1212100n n n n n n a x a x a x a a ----+++++= （a ≠0）的根为123n x x x x ，，，那么再由同解方程法并展开比较系数后有如下结论1123n n na x x x x a -++++=- 212231n n n na x x x x x x a --+++= 312323434521n n n n a x x x x x x x x x x x x a --++++=-012321(1)nn n n n a x x x x x x a --=- 这就是高次方程中的韦达定理得形式。