解:∵椭圆
∴直线 AB 的方程为 y x 1 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
1 2
与椭圆x2+4y2=2 ，判断它
解：联立方程组
1 y x 2 x2+4y2=2
消去y
5x 4x 1 0
2
----- (1)
因为 ∆>0
所以，方程（１）有两个根，
则原方程组有两组解。
题型一：直线与椭圆的位置关系
练习1.K为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有 两个公共点?有一个公共点?没有公共点?
直线与椭圆的位置关系
前面我们用椭圆方程发现了一些椭圆的 几何性质 , 可以体会到坐标法研究几何图形 的重要作用 , 其实通过坐标法许多几何图形 问题都可以转化为方程知识来处理. 当然具体考虑问题,我们的思维要灵活, 用形直觉,以数解形,数形结合思维这能大大 提高分析问题、解决问题的能力. 本节课 , 我们来学习几个有关直线与椭 圆的综合问题.
直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近。 15 且d 41 42 52 41 40 25
o
x
dmax
思考：最大的距离是多少？
65 41 42 52 41
40 25
知识点2：弦长公式
可推广到任意二次曲线
设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线P1P2的斜率为k．
代数方法
Ax By C 0 2 由方程组 x y2 2 2 1 b a
mx 2 nx p 0(m 0)
△=n2 4mp
△ 0
方程组有两解 方程组有一解 方程组无解
两个交点 一个交点 无交点
相交 相切 相离
△=0 △ 0
知识点1.直线与椭圆的位置关系
解：设直线m平行于l，
则l可写成： 4x 5 y k 0
4 x 5 y k 0 2 2 2 2 消去y，得25x 8kx k - 225 0 由方程组 x y 1 2- 225） 0
8 3 8 x1 x2 , x1 x2 5 5
AB 1 k 2 x1 x2 1 k 2
题型二：弦长公式
x2 y2 1 的左、右 例 2:已知点 F1 、F2 分别是椭圆 2 1 焦点，过 F2 作倾斜角为 的直线交椭圆于 A、B 两点， 4 求 △F1 AB 的面积.
x y 1 , 直线 4 x 5 y 40 0 , 椭圆 例 3: 已知椭圆 25 9 上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距离是多少?
分析:设 P( x0 , y0 ) 是椭圆上任一点, 试求点 P 到直线 4 x 5 y 40 0 的距离的表达式.
4 5 尝试遇到困难怎么办?
分析:先画图熟悉题意,
点 F1 到直线 AB 的距离易知,
要求 S△F1 AB ,关键是求弦长 AB. 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) . 由直线方程和椭圆方程联立方程组
x2 y2 1 的左、右 例 2:已知点 F1 、F2 分别是椭圆 2 1 焦点，过 F2 作倾斜角为 的直线，求 △F1 AB 的面积. 4 x2
2 2
d
4 x0 5 y0 40

4 x0 5 y0 40 41
l
且
m
x0 2 25

y0 2 9
m
1
作出直线 l 及椭圆, 观察图形,数形结合思考.
题型一：直线与椭圆的位置关系
x2 y 2 例3：已知椭圆 1，直线l： 4 x - 5 y 40 0.椭圆上 25 9 是否存在一点，它到直线l的距离最小？ y 最小距离是多少？
2 2 2
的右焦点，
右焦点F ( 3,0).
y x 3 2 x 2 y 1 4
直线l方程为: y x 3. 消y得： 5x2 8 3x 8 0
设A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )
8 2 ( x1 x2 ) 4 x1 x2 5
弦长公式： | AB | 1 k 2 | x x | 1 1 | y y | A B A B 2
k
当直线斜率不存在时,则 AB y1 y2 .
题型二：弦长公式
例1：已知斜率为1的直线L过椭圆 交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
解 :由椭圆方程知 : a 4, b 1, c 3.
解得k1 =25，k 2 =-25
o
x
由图可知k 25.
题型一：直线与椭圆的位置关系
2 2
x y 例3：已知椭圆 1，直线l： 4 x - 5 y 40 0.椭圆上 25 9 是否存在一点，它到直线l的距离最小？ y =0 最小距离是多少？ x2 y2 程为 2 + 2 = 1(a > b > 0)弦两端点为A(x1 , y1 ),B(x2 , y2 ) a b
6 当k = 时有一个交点 3 当k> 当6 6 或k<时有两个交点 3 3
x2 y2 1 练习2.无论k为何值,直线y=kx+2和曲线 9 4 交点情况满足( D )
6 6 k< 时没有交点 3 3
A.没有公共点
C.两个公共点
B.一个公共点
D.有公共点
题型一：直线与椭圆的位置关系
2 2
回忆：直线与圆的位置关系
问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？
问题2：怎么判断它们之间的位置关系？
几何法： d>r
d=r d<r
代数法： ∆<0
∆=0
∆>0
直线与椭圆的位置关系
种类:
相交 相离 相切 (( 二个交点 没有交点 一个交点 )) 相离 (没有交点 )
相切(一个交点)
相交(二个交点)
直线与椭圆的位置关系的判定
1.位置关系：相交、相切、相离 2.判别方法(代数法) 联立直线与椭圆的方程 消元得到二元一次方程组 (1)△>0直线与椭圆相交有两个公共点； (2)△=0 直线与椭圆相切有且只有一个公共点； (3)△<0 直线与椭圆相离无公共点．
通法
题型一：直线与椭圆的位置关系 例1：已知直线y=x们的位置关系。