专题01 同构函数型[高考真题]1.（2020·新课标卷Ⅱ文数·12）若2233x y x y ---<-，则（ ） A ．ln(1)0y x -+> B ．ln(1)0y x -+<C ．ln ||0x y ->D ．ln ||0x y -< 【答案】A【分析】将已知2233x y x y ---<-按照“左右形式形式相当，一边一个变量”的目的变形，然后逆用函数的单调性. 【解析】由2233x y x y ---<-移项变形为2323x x y y ---<- 设()23x x f x -=-易知()f x 是定义在R 上的增函数，故由2323x x y y ---<-，可得x y <，所以011,y x y x ->⇒-+> 从而ln(1)0y x -+>，故选A ． 2.（2020·新课标Ⅰ理数·12）若242log 42log a b a b +=+，则（ ） A. 2a b >B. 2a b <C. 2a b >D.2a b <【答案】B【分析】∵2222442242log 2log 2log 2log 21b b b bb b b b +=+=+=+- ∴2222log 2log 21a ba b +==+-设2()2log x f x x =+，利用作差法结合()f x 的单调性即可得到答案.【解析】∵2222442242log 2log 2log 2log 21b b b bb b b b +=+=+=+- ∴2222log 2log 21a b a b +=+-，故2222log 2log 2a ba b +<+设2()2log x f x x =+，则()f x 为增函数，所以()(2)f a f b <，所以2a b <.2()()f a f b -=22222log (2log )a b a b +-+=222222log (2log )b b b b +-+=22222log bb b --，当1b =时，2()()20f a f b -=>，此时2()()f a f b >，有2a b >当2b =时，2()()10f a f b -=-<，此时2()()f a f b <，有2a b <，所以C 、D 错误. 故选B.【点评】本题需构造函数，其基本策略是：“左右形式相当，一边一个变量，取左或取右，构造函数妥当”，我们称之为“同构函数”，然后再利用函数的单调性求值. [强化训练]1.（2012·全国联赛）如果5533cos sin 7(cos sin )θθθθ-<-，[0,2)θπ∈，则θ的取值范围是______________. 【答案】5(,)44ππ2.（2012·辽宁竞赛）不等式3381050(1)1x x x x +-->++的解集是______________.【解析】原不等式可化为：33225511x x x x ⎛⎫+⋅>+ ⎪++⎝⎭构造函数3()5f x x x =+，则2()350f x x '=+>，()f x 在R 上单增 所以21x x >+，解之得21x x <-<<或-1 所以原不等式解集是{}21x x x <-<<或-1.3.（2020·南通五月模拟·14）已知[)0,2θπ∈，若关于k 的不等式()33sin cos k θθ-在(],2-∞-上恒成立，则θ的取值范围为 ．【答案】0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】本题的实质是含参数θ（这里当然是sin θ、cos θ）的不等式恒成立问题，()33sin cos k θθ≤-的对称结构，构造函数，利用函数的单调性布列不等式.【解析】看到()33sin cos k θθ-想“对称结构”，将它变形为：33sin cos k k θθ设3()f x kx =-2()3f x kx '=易知当(],2k ∈-∞-时，2()30f x kx '=<，故()f x 在[)0,+∞单减，所以sin cos sin 0cos 0θθθθ≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，解之得：04πθ≤≤ 所以θ的取值范围0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦．4.（2019·南师附中期中·14）已知函数，，则t 的取值范围是 ．【答案】[1,)+∞【分析】这里 可以发现13333log log (2log 1)(3log 1)t t t t =-=---,将移项变形为3333(3log 1)(3log 1)(2log 1)(12log )t t f t f t -+-≥+--，易知是奇函数，33(12log )(2log 1)t f t f --=+，故进一步变形为3333(3log 1)(3log 1)(2log 1)(2log 1)f t t f t t -+-≥-+-，此时,得到一个()33x x f x -=-3313(12log )(3log 1)log f t f t t -+-≥3313(12log )(3log 1)log f t f t t-+-≥()33x xf x -=-“左右形式相当，一边一个变量”的不等式，令()()F x f x x =+，问题转化为33(3log 1)(2log 1)t t F F -≥-，只需研究()()F x f x x =+的单调性，逆用该函数的单调性即可.【解析】∵13333log log (12log )(3log 1)t t t t =-=----∴可变形为：3333(3log 1)(3log 1)(2log 1)(12log )t t f t f t -+-≥--- ∵是奇函数 ∴33(12log )(2log 1)t f t f --=-∴3333(3log 1)(3log 1)(2log 1)(2log 1)f t t f t t -+-≥-+- 令()()33x x F x f x x x -=+=-+，则()ln 33ln 3310x x F x -'=⋅+⋅+> ∴()F x 单增∴333log 12log 1t t -≥-，即3log 0t ≥，解之得1t ≥ 所以t 的取值范围是[1,)+∞．5.（2020·南通如皋创新班四月模拟·2）已知实数a ，b ∈(0，2)，且满足2244242ab a b b --=--，则a ＋b 的值为_______． 【答案】2【分析】将2244242a b a b b --=--化为：2222(2)2a b a b -+=-+，设()22x f x x =+，则()f x 在()0,2上递增，由()()2f a f b =-，得a ＋b的值.【解析】由2244242a b a b b --=--，化简为：22222(2)a b a b -+=+-，即2222(2)2a b a b -+=-+，3313(12log )(3log 1)log f t f t t -+-≥()33x x f x -=-设()22xf x x =+，则()f x 在()0,2上递增，因为a ，b ∈(0，2)，所以2-b ∈(0，2)，且()()2f a f b =-，所以2a b =-，即2a b +=.6.（2020·淮阴中学、姜堰中学12月考·14）)已知实数1x ，2x 满足131x x e e =，()522ln 2x x e -=，则12x x =______.【分析】由已知条件考虑将两个等式转化为统一结构形式，令222ln 2,t x t x e +-==，得到3t te e =，研究函数()x f x xe =的单调性，求出1,x t 关系，即可求解.解法一：实数1x ，2x 满足131x x e e =，()522ln 2x x e -=，2120,x x e >>，222ln 20,t x t x e +-=>=，则3t te e =，()(0),()(1)0(0)x x f x xe x f x x e x '=>=+>>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，而31()()f x f t e ==，5121222ln 2,(ln 2)x t x x x x x e ∴==-∴=-=.解析二：对131x x e e =两边取自然对数得：11ln 3x x +=，对()522ln 2x x e -=两边取自然对数得：()22ln ln ln 25x x +-= （※） 为使两式结构相同，将（※）进一步变形为：()()22ln 2ln ln 23x x -+-=设()ln f x x x =+，则1()10f x x'=+>所以()f x 在(0,)+∞单调递增，()3f x =的解只有一个.∴12ln 2x x =-， ∴()51222ln 2x x x x e =-=【点评】两种解法实质相同，其关键是对已知等式进行变形，使其“结构相同”，然后构造函数，利用函数的单调性，利用是同一方程求解.7.设方程24x x +=的根为m ，设方程2log 4x x +=的根为n ，则m n += . 【答案】48.已知a 3－3a 2＋5a ＝1，b 3－3b 2＋5b ＝5，那么a ＋b 的值是 . 【解析】由题意知a 3－3a 2＋5a －3＝－2，b 3－3b 2＋5b －3＝2，设f (x )＝x 3－3x 2＋5x －3，则f (a )＝－2，f (b )＝2. 因为f (x )图象的对称中心为(1,0)，所以a ＋b ＝2.点评：本题的难点在于发现函数的对称性，对于三次函数f (x )y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 其对称中心为(x 0，f (x 0))，其中f ″(x 0)＝0. 9.(宿迁·2018·期中)不等式x x x x x x 63242-+2+≤-+2++2()()的解集是 .【分析】直接解显然是不对路的.观察不等式的特征，发现其含有x x +2()、两个因式，将不等式转化为“一边一个变量”的形式为：x x x x x x 64232-+≤+2-+2++2()()()，构造函数f x x x x 32=-+()，题目转化为求解f x f x 2≤+2()()的问题. 因为f x x x 2'=3-2+1()，易知f x x x 2'=3-2+1>0()恒成立，故f x ()为R 上的单调增函数，所以由f x f x 2≤+2()()立得：x x 2≤+2，解之得x -1≤≤2.【方法点拨】1. 一个式子中出现两个变量,适当变形后,两边结构相同(如例1);2.两个式子也可适当变形,使其结构相同,然后构造函数,利用函数的单调性解题，或运用同一方程代入.。