幕函数的图像与性质1幕函数的定义形如y=x "(a € R )的函数称为幕函数，其中 x 是自变量，a 为常数 注：幕函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同， 幕函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。
例题、(1).下列函数中不是幕函数的是()A . y 仮B . y x 3 c . y 2x D . y x 1答案：C例2.已知函数f xm 2 m 1 x 5m 3，当m 为何值时，f x图像是上升曲线。
(1)是幕函数;(2)是幕函数，且是0,上的增函数；(3)是正比例函数；(4)是反比例函数; (5) 是二次函数; 简解：(1)(2) (3) m4 (4) m5(5) m 1变式训练: 已知函数fx m 22mm为何值时,在第一象限内它的2小简解：m m 02m 2m 3 解得：m 0U 3,小结与拓展：要牢记幕函数的定义，列出等式或不等式求解。
2.幕函数的图像幕函数y = x a 的图象由于a 的值不同而不同.a 的正负：a> 0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升;在第一象限的图象下降，反之也成立；aV 0,图象不过原点,1注：在上图第一象限中如何确定y=x 3, y=x 2, y=x , y x 2 , y=x -1方法：可画出x=x o ；当x o >l 时，按交点的高低，从高到低依次为y=x 3, y=x 2, 当0<x o <l 时，按交点的高低，从高到低依次为y=x -1, yy=xy=x 2 y=x 31y x?y=x -1定义域 R R R [0, ) x| x R 且x 0 值域R[0, )R[0, )y | y R 且 y 0奇偶性 奇 偶奇非奇非偶 奇单调性增x € [0 , )时，增；x € (,0]时，减增增x € (0,+ )时，减； x € (- ,0)时，减定点(1 , 1)例.比较大小:1 1_"T ~ 3 3 1 1 2 3 0 5(1)1.52,1.72 (2)( 1.2) ,( 1.25) (3)5.25 ,5.26 ,5.26 (4)0.5 ,3 . ,log 3 0.5解: (1 )••• y X 在[0,)上是增函数，1.5 1.71.52 1.721y=x ， y x 2， y=x -1 ；1 2 23x 2，y=x ， y=x 2，y=x 3 。
(2) •/ y3x在R上是增函数，1.21.25，二(1.2)3( 1.25)3(3) •/ y x1在(0,)上是减函数，5.25 5.26 , 5.25 1 5.26 1•...y 5.26x (是增函数，1 2 ,.•• 5.2615.26 2•综上，5.251 5.26 1 5.26 2(4) 00.53130.5 1 log3 0.5... log?30.5 0.530.55•幕函数的性质及其应用幕函数y= X a有下列性质：(1)单调性：当a>0时，函数在(0, + ^上单调递增；当a V 0时，函数在(0,+^上单调递减.(2)奇偶性：幕函数中既有奇函数，又有偶函数，也有非奇非偶函数，可以用函数奇偶性的定义进行判断.m2例3.已知幕函数y x 2m 3(m Z)的图象与x轴、y轴都无交点，且关于原点对称,求m的值.解：•••幕函数2m 2my x3(m Z)的图象与x轴、y轴都无交点，2 m2m3 0 -? • •1m 3 ；•/ m Z ,. (m22m3)Z，又函数图象关于原点对称，2 m2m 3是奇数，•••m0或m 2例7.已知点(血2)在幕函数f(x)的图象上，点2,-，在幕函数g(x)的图象上.问当x4为何值时有：(1) f (x) g(x) ; (2) f (x) g(x) ; (3) f (x) g(x).2变式：已知幕函数f(x)=x m 2m 3(m€ Z)为偶函数，且在区间(0, +8)上是单调减函数.(1)求函数f(x); (2)讨论F (x) =a、f (x) b—的奇偶性.xf (x)6•规律方法(1 ) •幕函数y= x a(a= 0,1)的图象（2）•幕函数y x a（a q, p,q N，-q为最简分式）的图象例1概念：一般地，我们把形如 _的函数称为幕函数，其中__________________ 是自变量，_________ 是常数；注意：幕函数与指数函数的区别.2•性质：（1）幕函数的图象都过点______________ ;任何幕函数都不过 ____________ 象限；（2）当a 0时，幕函数在［0,）上_________ ；当a 0时，幕函数在（0,）上__________________1（3）当a 2,2时，幕函数是______________ ；当a 1,1,3 -时，幕函数是_____________________3解: 由图像可知:应选(C).综合训练:2、幕函数的图象都经过点(像, (A) (C)例1、右图为幂函数y则a,b,c,d 的大小关系是(B)b (D)ax 在第一象限的图1.在函数y13，y3x 2, y x 2x,yX 0 中, 幕函数的个数为A . (1 , 1)B . (0, 1)(0, 0)D . ( 1,A . (0,+) B . [0,+)C . R D .(-,0)U (0,+)若幂函数f xx a 在 0,上是增函数，则()A . a >0B . a <0C . a =0D .不能确定若幕函数f xm 1 ”x 在(0,+8上是减函数，则()A . m >1B . m <1C . m =lD .不能确定d > c > b > a a > b > c > d C 、 d > c > a > ba >b > d > ca 、b 、cbX)4. 6. 9、若四个幕函数53、幕函数y x 2的定义域为bcX , y = Xax , y = 系a10、当x €( 1,+〜 时，函数)y = x 的图象恒在直线 y = x 的下方，则a 的取值范围是A 、a v 1B 、0 v a v 1C 、a > 0D 、a v 0二、填空题：_ 1 _ 112、 若(a + 1) 2 v (3a — 2)至，贝V a 的取值范围是 ____ ;313. 函数y x °的定义域为 ________________ .三、解答题：17下面六个幕函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系 .(1) y x 2; ( 2) y x 3;(3) y x 3;四：方向预测、胜利在望1— 5ADDDC61. (A) 函数f (x) Ig2. x 4(1, 4) B . [1 , 4)以下四个数中的最大者是(2(A) (l n2) —10AADDAx的定义域为(11—15 CADDB.5. A .(A) C . (_m ,)1)U (4, D . ( — a, 1] U (4 ,+s ) (B )设 f(x)=(B) l n(ln2)c x 12e ,x log 3(x 22, 1),x 2,(C) ln 2(D) In2则不等式f(x)>2的解集为((A) (C) (A )设丨 A. R Q P6.(1,(1 , P + a)2)log 2 3 , B.(3, (■ 10 , + a) Q log 3 2 , R P RQ C.(B) ( 10 , + a) (D) (1 , 2)log 2(log 3 2)，则( QP D. R7. (A)已知 log 1 b log 1 a log 1 c ，贝U ()2 2 2b acab ccA . 2 2 2B . 2 2 2C . 29. (A )函数y 、log ；(3x 2)的定义域是：()2b2aD .2c 2a 2bx122 3(4)y x ；(5)y x ；(6)yA [1,)B(3,)C[1,1]D(1,1]10.(A)已知函数y log 1 x与y~Akx的图象有公共点A，且点A的横坐标为2，则k ()1111A. -B. —C. —D. —442211. (B)若函数f (x)x a b1(a0且a 1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有( )A. 0 a1且b 0B.a1且b0C. 0 a1且b 0D.a1且b014.(A)已知f(x6)log 2! x,,那么f(8)等于( ) (A)- (B) 8(C) 181 (D)-32 15. (B)函数y= lg|x|( )A•是偶函数, 在区间(-(DO 0)上单调递增 B . 是偶函数，在区间(- O, 0)上单调递减C.是奇函数, 在区间(0, + O上单调递增 D . 是奇函数，在区间(0, + O上单调递减lg( 4 x) ..................16. (A) 函数y的定义域是x 3设g(x)xe ,x0.118. (A) 则g(g(：))ln x,x0.219. ( B)若函数f(x) = J2" 2ax a 1的定义域为R，则a的取值范围为 __________________________20. (B)若函数f(x) log a(x . x22a2)是奇函数，则a= __________________ .16. (- , 3) (3,4)1% 19.卜他20.。