【知识结构】1 •有理数指数幕 （1）幕的有关概念m①正数的正分数指数幕：a nv'a m (a 0,m> n N ,且n 1)；（三）幕函数 1、幕函数的定义形如y=x " （a € R ）的函数称为幕函数，m 1 1 a n m / ----- (amn aa②正数的负分数指数幕 0,m 、n N ,且n 1) ③0的正分数指数幕等于0,0的负分数指数幕没有意义 注:分数指数幕与根式可以互化，通常利用分数指数幕进行根式的运算 （2）有理数指数幕的性质①a f a s =a r+s (a>0,r 、s € Q ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s € Q)；③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r € Q);. 例2 （1）计算: 3 "3 4 o 5 [(38)3(56).2 1 1 (0.008) 3(0.02) ' (0.32円 0.06250.254 1 a 3 8a 3b 2 2 (2)化简：4b 3 23 ab a 3 (a 3 23 b) . a 3 a 2 a 引Ja Va 变式: （1）（2007执信A ）化简下列各式（其中各字母均为正数） 2)1 2 1 b 2 ( 3a?b 1) (4a? b 予.其中x是自变量，a为常数注：幕函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幕函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。
例1.下列函数中不是幕函数的是（）A. y VxB. y X3 C y 2x D. y X1例2.已知函数f x m2m 1 x 5m 3，当m为何值时，f x :（1）是幕函数；（2）是幕函数，且是0, 上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数；变式已知幕函数y （m2 m 1）x m 2m 3，当x （0，g）时为减函数，则幕函数y _______ -2. 幕函数的图像幕函数y= x a的图象由于a的值不同而不同.a的正负：a> 0时，图象过原点和（1,1），在第一象限的图象上升；aV0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立;3、幕函数的性质例3.比较大小:1 1—— 3 3 1 1 2 3 0 5(1)1.52,1.7 2(2)( 1.2) ,( 1.25) (3) 5.25 ,5.26 ,5.26 (4)0.5 ,3 ' ,log3 0.54.幕函数的性质及其应用幕函数y= x a有下列性质：(1)单调性：当a>0时，函数在(0,+^上单调递增;当aV0时，函数在(0,+^上单调递减.⑵奇偶性：幕函数中既有奇函数，又有偶函数，也有非奇非偶函数，可以用函数奇偶性的定义进行判断.m 22m 3例4.已知幕函数y x( m Z )的图象与x轴、y轴都无交点，且关于原点对称，求m的值.例5•已知幕函数y x m 2(m N)的图象与x, y轴都无交点，且关于y轴对称，求m的值，并画出它的图象.变式：已知幕函数f(X)=X亦2m 3( m^ Z)为偶函数，且在区间(0, + X)上是单调减函数.(1)求函数f(x); (2)讨论F (x) =a f (x) 二的奇偶性.xf (x)5.规律方法(1).幕函数y=x a(a0,1)的图象(2).幕函数y x a(a q, p,q N」为最简分式)的图象6.性质:(1)幕函数的图象都过点;任何幕函数都不过象限；(2)当a 0时，幕函数在［0,)上当a 0时，幕函数在(0,)上；(3) 当 a 2,2 时, 幕函数是当 a 1,1,3,-时，幕函数3是.例6右图为幕函数y x在第一象限的图像，则a, b,c, dy」的大小关系是( )」x a(A) a b c d(B) b a d c y x b (C)a b d c(D) a d c b^^X^y x cO x例7若点错误!未找到引用源。
在幕函数错误!未找到引用源。
的图象上，点错误! 未找到引用源。
在幕函数错误!未找到引用源。
的图象上，定义错误!未找到引用源。
，试求函数错误!未找到引用源。
的最大值以及单调区间。
例8若函数错误!未找到引用源。
在区间错误!未找到引用源。
上是递减函数，求实数错误!未找到引用源。
的取值范围。
【巩固练习】1 .在函数y -^3, y 3x2, y x2x, y x°中，幕函数的个数为()xA . 0B . 1C . 2 2、 幕函数的图象都经过点()A . (1, 1)B . (0, 1)C . (0, 0)53、 幕函数y x 2的定义域为( )4. 若幕函数f 『x x a 在 0,上是增函数，则()A . a >0B . a <0C . a =0D .不能确定5. 若幕函数f xx m1 在(0, +x 上是减函数，则() A . m >1 B . m <1 C .m =l D .不能确定6. 若函数f(x) = x 3(x € R),则函数y = f( — x)在其定义域上是( )A.单调递减的偶函数 B .单调递减的奇函数 C •单调递增的偶函数 D .单调递增的奇函数 7. 已知幕函数f(x) = x"的部分对应值如下表：则不等式f(| x|) <2的解集是( )A. {x| — 4< x <4}B. {x|0 < x <4}C. {x| - .2 < x < 2}D. {x|0 v x < 2}¥8. 如果幕函数y = (m i — 3m ^3) 一汕'<的图象不过原点，则m 的取值是(9、当x €( 1,+〜时，函数)y = x a 的图象恒在直线y =x 的下方，贝U a 的取 值范围是D . (1, 0)A . (0,+ )B . [0,+ )C . RD .(- ,0)U (0,+ )A.— 1< me 2B. m= 1 或 mi= 2C. m= 2D. mi= 1二、填空题：_ 1 _ 111、若(a+1)2v (3a —2) 2，则a的取值范围是______ ;312. 函数y x 2的定义域为______________ .(A) ( B) ( C) ( D) (E) ( F)113•幕函数y = f(x)的图象经过点一2,—8，则满足f(x) = 27的x的值是.14.已知a= ；1，函数f (x) = a x，若实数m n满足f (n) >f (n)，则m, n的大小关系为 _______________ .幕函数的性质与图像测试一、填空题1. 若幕函数y f x的图像过点—,2 ，则函数y f x的解析式为222. ______________________________________________________________ 已知函数f x m2 4m 4 x m m 1是幕函数，则实数m的值为 ________________________ .3. 幕函数y x n 2n 3 n N的图像与两坐标无交点且关于y轴对称，则n的值等于 _________ .1114. 设a 2, 1,丄,丄,丄,1,2,3 ，已知幕函数f x x是偶函数，且在区间2 3 20, 上是减函数，则满足要求的值的个数是___________ .5. 已知函数f x a x的图像的对称中心是3, 1，贝U函数f x的单调递B、0v a v 1C、a>0D、a v 0集合M 中元素的个数是( (A) 1或2或0(C) 1或2或3或4 、解答题213. 研究函数y x 3的定义域、值域、奇偶性和单调性，并画出其大致图像11.5 3 ( 7)0 80'25 4 2 (3 2.3)6(3) 6x a 1减区间是 _________ .6. 已知幕函数y x R 的图像当0x1时，在直线y x 的上方；当x 1 时在直线y x 的下方，贝U 的取值范围是 _____________ .17. 函数y TT7的图像可以看成由幕函数 y 的图像向 _______________ 平移________ 单位.1 18. 已知x 1 3 3 2x 3，贝U 实数x 的取值范围是 ___________ .、选择题9.如图，M 、N 、 P 、Q 分别为幕函数图像上的点，且他们的纵坐标相同，若四个幕函数为①2y x 3 :② y x 2 :③ y x 3 :④ yQ 与四个函数序号的对应顺序只可能是( ).(A［①②③④(B )②③④① (D )③②①④ 10.下列函数中，是奇函数且在 0,上是增函数的是((A) 5x 35x 3(C)5x 411当 x 1,时，下列函数的图像全在直线x 下方且为偶函数的是( ).(A)1x 2 ( B ) y x 4 (C)12.设 yx 和y g x 是两个不同的幕函数，集合Mx| f x gx ，则(B ) 1或2或3 (D )0或1或2或3。