中考二次函数压轴题分类汇编1．极值问题1.二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y=﹣x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标．分析：（1）首先求得A、B的坐标，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；（2）设M的横坐标是x，则根据M和N所在函数的解析式，即可利用x表示出M、N的坐标，利用x表示出MN的长，利用二次函数的性质求解；（3）BM与NC互相垂直平分，即四边形BCMN是菱形，则BC=MC，据此即可列方程，求得x的值，从而得到N的坐标．解：（1）由题设可知A（0，1），B （﹣3，），根据题意得：，解得：，则二次函数的解析式是：y=﹣﹣x+1；（2）设N（x ，﹣x2﹣x+1），则M、P点的坐标分别是（x ，﹣x+1），（x，0）．则当x=﹣时，MN 的最大值为；（3）连接MN、BN、BM与NC互相垂直平分，即四边形BCMN是菱形，由于BC∥MN，即MN=BC，且BC=MC，即﹣x2﹣x=，且（﹣x+1）2+（x+3）2=，解得：x=1，故当N（﹣1，4）时，MN和NC互相垂直平分．点评：本题是待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的性质、菱形的判定的综合应用，利用二次函数的性质可以解决实际问题中求最大值或最小值问题．2.如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．考点：二次函数综合题．（3）△OMD为等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论．解答：解：（1）把点C（0，﹣4），B（2，0）分别代入y=x2+bx+c中，得，解得∴该抛物线的解析式为y=x2+x﹣4．（2）令y=0，即x2+x﹣4=0，解得x1=﹣4，x2=2，∴A（﹣4，0），S△ABC =AB•OC=12．设P点坐标为（x，0），则PB=2﹣x．∵PE∥AC，∴∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA，∴△PBE∽△ABC，∴，即，化简得：S△PBE =（2﹣x）2．S△PCE=S△PCB﹣S△PBE =PB•OC﹣S△PBE =×（2﹣x）×4﹣（2﹣x）2=x2﹣x+=（x+1）2+3∴当x=﹣1时，S△PCE的最大值为3．（3）△OMD为等腰三角形，可能有三种情形：（I）当DM=DO时，如答图①所示．DO=DM=DA=2，∴∠OAC=∠AMD=45°，（II）当MD=MO时，如答图②所示．过点M作MN⊥OD于点N，则点N为OD的中点，∴DN=ON=1，AN=AD+DN=3，又△AMN为等腰直角三角形，∴MN=AN=3，∴M点的坐标为（﹣1，﹣3）；（III）当OD=OM时，∵△OAC为等腰直角三角形，∴点O到AC 的距离为×4=，即AC上的点与点O 之间的最小距离为．∵＞2，∴OD=OM的情况不存在．．综上所述，点M的坐标为（﹣2，﹣2）或（﹣1，﹣3）点评：本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、等腰三角2．构成图形的问题1．如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠O ）与y 轴交于点C(O ，4)，与x 轴交于点A 和点B ，其中点A 的坐标为（-2,0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D ，与直线BC 交于点E (1)求抛物线的解析式；(2)若点F 是直线BC 上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F 使四边形ABFC 的面积为17，若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)平行于DE 的一条动直线Z 与直线BC 相交于点P ，与抛物线相交于点Q ，若以D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标。

考点：二次函数综合题．分析：（1）把三点坐标代入函数式，列式求得a ，b ，c 的值，即求出解析式；（2）设存在点K ，使得四边形ABFC 的面积为17，根据点K 在抛物线y=-x 2+2x+3上设点K 的坐标为：（x ，-x 2+2x+3），根据S 四边形ABKC =S △AOC +S 梯形ONKC +S △BNK 得到有关x 的一元二次方程求出x 即可.．（3）将x=1代入抛物线解析式，求出y 的值，确定出D 坐标，将x=1代入直线BC 解析式求出y 的值，确定出E 坐标，求出DE 长，将x=m 代入抛物线解析式表示出F 纵坐标，将x=m 代入直线BC 解析式表示出P 纵坐标，两纵坐标相减表示出线段PQ ，由DE 与QP 平行，要使四边形PEDQ 为平行四边形，只需DE=PQ ，列出关于m 的方程，求出方程的解得到m 的值，检验即可．解：(1)由抛物线经过点C(O ，4)可得c=4,① ∵对称轴x= =1，∴b=-2a，②， ab2-又抛物线过点A （一2，O ）∴0=4a-2b+c，③ 由①②③ 解得：a=, b=1 ,c=4． 所以抛物线的解析式是y=x+x+421-21-(2)假设存在满足条件的点F ，如图如示，连接BF 、CF 、OF ．过点F 分别作FH⊥x 轴于H , FG⊥y 轴于G ．设点F 的坐标为（t, t2+t+4），其中O<t<4， 则FH=t2 +t+4 FG=t,21-21-111-11令一t2+4t+12 =17，即t2-4t+5=0，则△=(一4)2-4×5=一4<0,∴方程t2 -4t+5=0无解，故不存在满足条件的点F ． (3)设直线BC 的解析式为y=kx+b （k≠O），又过点B(4,0，), C(0,4)所以，解得：， 所以直线BC 的解析式是y=一x+4． ⎩⎨⎧==+404b b k ⎩⎨⎧=-=41b k 由y=x2+4x+4=一（x 一1)2+，得D （1，）， 21-212929又点E 在直线BC 上，则点E(1，3)，于是DE=一3= .2923若以D.E.P.Q 为顶点的四边形是平行四边形，因为DE∥PQ，只须DE=PQ,设点P 的坐标是（m ，一m+4），则点Q 的坐标是（m ，一t2+m+4）．21①当O<m<4时，PQ=（一t2+m+4）一（一m+4）=一m2+2m ． 2121由一m2+2m= ，解得：m=1或3．当m=1时，线段PQ 与DE 重合,m=-1舍去,2123∴m=-3，此时P 1 (3,1)．②当m<o 或m>4时，PQ=（一m+4）一（一m2++m+4)= m2—2m,2121由m2—2m=，解得m=2±，经检验适合题意，21237此时P2（2+，2一），P3（2一，2+）．7777综上所述，满足条件的点P 有三个，分别是P1 (3,1)，P2（2+，2 -），77P3（2—，2十）.77so 点评：此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，一次函数与坐标轴的交点，抛物线与坐标轴的交点，平行四边形的判定，以及待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题第二问的关键．本题逻辑思维性强，需要耐心和细心，是道好题．2．如图，三角形ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，点A 、C 分别是一次函数y=x+3的图象与y 轴的交点，点B 在二次函数的图象上，且该二次函数图象上存在一点D 使四边形ABCD 能构成平行四边形．（1）试求b ，c 的值，并写出该二次函数表达式；（2）动点P 从A 到D ，同时动点Q 从C 到A 都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P 运动到何处时，有PQ ⊥AC ？②当P 运动到何处时，四边形PDCQ 的面积最小？此时四边形PDCQ 的面积是多少？考点：二次函数综合题．i n g s in th ei r b e i ng a r e g o o df o r s o （2）①设点P 运动了t 秒时，PQ ⊥AC ，此时AP=t ，CQ=t ，AQ=5﹣t ，再由△APQ ∽△CAO ，利用对应边成比例可求出t 的值，继而确定点P 的位置；②只需使△APQ 的面积最大，就能满足四边形PDCQ 的面积最小，设△APQ 底边AP 上的高为h ，作QH ⊥AD 于点H ，由△AQH ∽CAO ，利用对应边成比例得出h 的表达式，继而表示出△APQ 的面积表达式，利用配方法求出最大值，即可得出四边形PDCQ 的最小值，也可确定点P 的位置．解答：解：（1）由y=﹣x+3，令x=0，得y=3，所以点A （0，3）；令y=0，得x=4，所以点C （4，0），∵△ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，∴B 点坐标为（﹣4，0），又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴D 点坐标为（8，3），将点B （﹣4，0）、点D （8，3）代入二次函数y=x 2+bx+c ，可得，解得：，故该二次函数解析式为：y=x 2﹣x ﹣3．（2）①设点P 运动了t 秒时，PQ ⊥AC ，此时AP=t ，CQ=t ，AQ=5﹣t ，∵PQ ⊥AC ，∴△APQ ∽△CAO ，∴=，即=，解得：t=．即当点P 运动到距离A 点个单位长度处，有PQ ⊥AC ．②∵S 四边形PDCQ +S △APQ =S △ACD ，且S △ACD =×8×3=12，∴当△APQ 的面积最大时，四边形PDCQ 的面积最小，当动点P 运动t 秒时，AP=t ，CQ=t ，AQ=5﹣t ，设△APQ 底边AP 上的高为h ，作QH ⊥AD 于点H ，由△AQH ∽CAO 可得：=，解得：h=（5﹣t ），∴S △APQ =t ×（5﹣t ）=（﹣t 2+5t ）=﹣（t ﹣）2+，t i m e a n d A l l t h i n g∴当t=时，S△APQ 达到最大值，此时S 四边形PDCQ =12﹣=，故当点P 运动到距离点A 个单位处时，四边形PDCQ 面积最小，最小值为．3．翻转问题1．已知关于x 的一元二次方程x 2+2x+=0有两个不相等的实数根，k 为正整数．（1）求k 的值；（2）当次方程有一根为零时，直线y=x+2与关于x 的二次函数y=x 2+2x+的图象交于A 、B 两点，若M 是线段AB 上的一个动点，过点M 作MN ⊥x 轴，交二次函数的图象于点N ，求线段MN 的最大值及此时点M 的坐标；（3）将（2）中的二次函数图象x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x 轴上方的部分组成一个“W ”形状的新图象，若直线y=x+b 与该新图象恰好有三个公共点，求b 的值．考点：二次函数综合题．thi n g s in t h e i r b e i n g a r e g o o d 分析：（1）先根据一元二次方程根的情况利用判别式与0的关系可以求出k 的值；（2）利用m 先表示出M 与N 的坐标，再根据两点间的距离公式表示出MN 的长度，根据二次函数的极值即可求出MN 的最大长度和M 的坐标；（3）根据图象的特点，分两种情况讨论，分别求出b 的值即可．解答：解：（1）∵关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根．∴．∴k ﹣1＜2．∴k ＜3．∵k 为正整数，∴k 为1，2．（2）把x=0代入方程得k=1，此时二次函数为y=x 2+2x ，此时直线y=x+2与二次函数y=x 2+2x 的交点为A （﹣2，0），B （1，3）由题意可设M （m ，m+2），其中﹣2＜m ＜1，则N （m ，m 2+2m ），MN=m+2﹣（m 2+2m ）=﹣m 2﹣m+2=﹣．∴当m=﹣时，MN 的长度最大值为．此时点M 的坐标为．n dAl l t h i n g s i n t h e （3）当y=x+b 过点A 时，直线与新图象有3个公共点（如图2所示），把A （﹣2，0）代入y=x+b 得b=1，当y=x+b 与新图象的封闭部分有一个公共点时，直线与新图象有3个公共点．由于新图象的封闭部分与原图象的封闭部分关于x 轴对称，所以其解析式为y=﹣x 2﹣2x∴有一组解，此时有两个相等的实数根，则所以b=，综上所述b=1或b=．点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了根的判别式的应用，还考查了两函数图象的交点问题，难点在于（3）求出直线与抛物线有3个交点的情况，根据题意分类讨论，并且作出图形更利于解决问题．四．平移和取值问题1．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2+bx +2过B （﹣2，6），C （2，2）两点．（1）试求抛物线的解析式；（2）记抛物线顶点为D ，求△BCD 的面积；（3）若直线y =﹣x 向上平移b 个单位所得的直线与抛物线段BDC （包括端点B 、C ）部分有两个交点，求b 的取值范围．r 解：（1）由题意解得，∴抛物线解析式为y =x 2﹣x +2．（2）∵y =x 2﹣x +2=（x ﹣1）2+．∴顶点坐标（1，），∵直线BC 为y =﹣x +4，∴对称轴与BC 的交点H （1，3），∴S △BDC =S △BDH +S △DHC =•3+•1=3．（3）由消去y 得到x 2﹣x +4﹣2b =0，当△=0时，直线与抛物线相切，1﹣4（4﹣2b ）=0，∴b =，当直线y =﹣x +b 经过点C 时，b =3，当直线y =﹣x +b 经过点B 时，b =5，∵直线y =﹣x 向上平移b 个单位所得的直线与抛物线段BDC （包括端点B 、C ）部分有两个交点，∴＜b ≤3．　2.如图，抛物线关于直线对称，与坐标轴交于三点，且,点在抛物c bx ax y ++=21=x C B A 、、4=AB ⎪⎭⎫ ⎝⎛232、D 线上，直线是一次函数的图象，点是坐标原点.l ()02≠-=k kx y O （1）求抛物线的解析式；oo （2）若直线平分四边形的面积，求的值.l OBDC k （3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线交于两点，问在轴正半轴上l N M 、y 是否存在一定点，使得不论取何值，直线与总是关于轴对称？若存在，求出点坐标；若不存在，P k PM PN y P 请说明理由.答案：（1）因为抛物线关于直线x=1对称，AB=4，所以A(-1，0),B(3，0),由点D(2，1.5)在抛物线上，所以，所以3a+3b=1.5,即a+b=0.5,⎩⎨⎧=++=+-5.1240c b a c b a 又，即b=-2a,代入上式解得a =-0.5,b =1,从而c=1.5,所以.12=-a b 23212++-=x x y （2）由（1）知，令x=0,得c(0,1.5),所以23212++-=x x y CD//AB,令kx -2=1.5,得l 与CD 的交点F()，23,27k 令kx -2=0，得l 与x 轴的交点E()，0,2k根据S 四边形OEFC =S 四边形EBDF 得：OE+CF=DF+BE,即：,511),272()23(272=-+-=+k k k k k 解得（3）由（1）知,2)1(21232122+--=++-=x x x y 所以把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为221x y -=假设在y 轴上存在一点P(0，t)，t ＞0，使直线PM 与PN 关于y 轴对称，过点M 、N 分别向y 轴作垂线MM 1、NN 1，垂足分别为M 1、N 1，因为∠MPO=∠NPO,所以Rt △MPM 1∽Rt △NPN 1,所以,………………(1)1111PN PM NN MM =不妨设M(x M ,y M )在点N(x N ,y N )的左侧，因为P 点在y 轴正半轴上，则（1）式变为,又y M =k x M -2, y N =k x N -2, NMN M y t y t x x --=-所以（t+2）(x M +x N )=2k x M x N,……(2)把y=kx-2(k ≠0)代入中，整理得x 2+2kx-4=0,221x y -=所以x M +x N =-2k, x M x N =-4,代入（2）得t=2,符合条件，故在y 轴上存在一点P （0,2），使直线PM 与PN 总是关于y 轴对称.考点：本题是一道与二次函数相关的压轴题，综合考查了考查了二次函数解析式的确定，函数图象交点及图形面积的求法，三角形的相似，函数图象的平移，一元二次方程的解法等知识，难度较大.点评：本题是一道集一元二次方程、二次函数解析式的求法、相似三角形的条件与性质以及质点运动问题、分类讨论思想于一体的综合题，能够较好地考查了同学们灵活应用所学知识，解决实际问题的能力。