历年高考数学真题汇编专题23 矩阵与变换1、（2019年江苏卷）已知矩阵3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A（1）求A 2；（2）求矩阵A 的特征值. 【分析】(1)利用矩阵的乘法运算法则计算2A 的值即可；(2)首先求得矩阵的特征多项式，然后利用特征多项式求解特征值即可. 【解析】（1）因为3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，所以231312222⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A=3312311223222122⨯+⨯⨯+⨯⎡⎤⎢⎥⨯+⨯⨯+⨯⎣⎦=115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （2）矩阵A 的特征多项式为231()5422f λλλλλ--==-+--.令()0f λ=，解得A 的特征值121,4λλ==. 2、（2018年江苏卷） 已知矩阵．（1）求的逆矩阵；（2）若点P 在矩阵对应的变换作用下得到点，求点P 的坐标．【解析】分析：（1）根据逆矩阵公式可得结果；（2）根据矩阵变换列方程解得P 点坐标. 详解：（1）因为，，所以A 可逆，从而 ．（2）设P (x ，y )，则，所以，因此，点P 的坐标为(3，–1)．点睛：本题考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力. 3、（2017江苏卷）已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002. (1) 求AB ；(2) 若曲线C 1：x 28＋y 22＝1在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2，求C 2的方程．规范解答：(1) 因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002， 所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0210.(2) 设Q (x 0，y 0)为曲线C 1上的任意一点，它在矩阵AB 对应的变换作用下变为P (x ，y )， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤0210⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧2y 0＝x ，x 0＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y ，y 0＝x 2.因为点Q (x 0，y 0)在曲线C 1上，所以x 208＋y 202＝1，从而y 28＋x 28＝1，即x 2＋y 2＝8.因此曲线C 1在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线C 2：x 2＋y 2＝8.4、(2016年江苏卷)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20－2，矩阵B 的逆矩阵B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－120 2，求矩阵AB .规范解答 设B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a bc d， 则B －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－120 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a bc d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001， 即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a －12c b －12d 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，故⎩⎪⎨⎪⎧ a －12c ＝1，b －12d ＝0，2c ＝0，2d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝14，c ＝0，d ＝12，所以B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11412 . 因此，AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤114012＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1540－1.5、(2015年江苏卷)已知x ，y ∈R ，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1是矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x1y 0的属于特征值－2的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值． 规范解答 由已知，得Aα＝－2α，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1 y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2，则⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝－2，y ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，所以矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 2 0.从而矩阵A 的特征多项式f (λ)＝(λ＋2)(λ－1)，令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝－2，λ2＝1， 所以矩阵A 的另一个特征值为1.一、 二阶矩阵与平面向量 (1) 矩阵的概念在数学中，把形如⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2315，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，3， 42，0，－1这样的矩形数字(或字母)阵列称为矩阵，其中，同一横排中按原来次序排列的一行数(或字母)叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一列数(或字母)叫做矩阵的列，而组成矩阵的每一个数(或字母)称为矩阵的元素．(2) 二阶矩阵与平面列向量的乘法 ① [a 11 a 12]⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21＝[a 11×b 11＋a 12×b 21]；② ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0.二、. 几种常见的平面变换 (1) 当M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001时，则对应的变换是恒等变换．(2) 由矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 001或M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100k (k>0)确定的变换T M 称为(垂直)伸压变换．(3) 反射变换是轴对称变换、中心对称变换的总称． (4) 当M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cosθ－sinθsinθ cosθ时，对应的变换叫旋转变换，即把平面图形(或点)逆时针旋转θ角度．(5) 将一个平面图投影到某条直线(或某个点)的变换称为投影变换． (6) 由矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1k 01或⎣⎢⎡⎦⎥⎤10k 1确定的变换称为切变变换．三、 线性变换的基本性质 (1) 设向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则λα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤λx λy . (2) 设向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2，则α＋β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1＋x 2y 1＋y 2. (3) A 是一个二阶矩阵，α、β是平面上任意两个向量，λ是任一实数，则A (λα)＝λA α，A (α＋β)＝Aα＋Aβ.(4) 二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线变成直线(或一点)． 四、 二阶矩阵的乘法 (1) A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1 b 1c 1 d 1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2 b 2c 2 d 2， 则AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1a 2＋b 1c 2 a 1b 2＋b 1d 2c 1a 2＋d 1c 2 c 1b 2＋d 1d 2(2) 矩阵乘法满足结合律(AB )C ＝A (BC )． 几种特殊的变换 反射变换：M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00－1：点的变换为(x ，y)→(x ，－y)，变换前后关于x 轴对称；M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 01：点的变换为(x ，y)→(－x ，y)，变换前后关于y 轴对称；M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0－1：点的变换为(x ，y)→(－x ，－y)，变换前后关于原点对称；M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110：点的变换为(x ，y)→(y ，x)，变换前后关于直线y ＝x 对称． 投影变换：M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000：将坐标平面上的点垂直投影到x 轴上，点的变换为(x ，y)→(x ，0)； M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0001：将坐标平面上的点垂直投影到y 轴上，点的变换为(x ，y)→(0，y)； M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1010：将坐标平面上的点垂直于x 轴方向投影到y ＝x 上，点的变换为(x ，y)→(x ，x)；M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0101：将坐标平面上的点平行于x 轴方向投影到y ＝x 上，点的变换为(x ，y)→(y ，y)；M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12121212：将坐标平面上的点垂直于y ＝x 方向投影到y ＝x 上，点的变换为(x ，y)→⎝⎛⎭⎫x ＋y 2，x ＋y 2. 五、 逆变换与逆矩阵(1) 对于二阶矩阵A 、B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵． (2) 若二阶矩阵A 、B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且(AB )－1＝B －1A －1. (3) 利用行列式解二元一次方程组．2. 特征值与特征向量(1) 设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的属于特征值λ的一个特征向量．(2) 从几何上看，特征向量的方向经变换矩阵A 的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ>0)，或者方向相反(λ<0)．特别地，当λ＝0时，特征向量就变换成零向量。

题型一、由矩阵变换求曲线的方程由矩阵变换求曲线的方程一般式通过代换法求得，要分布设变换前与变换后的点坐标，用变换后的坐标变式变换前的坐标，然后代入变换前的方程即可。

例1、(2019宿迁市直学校期末） 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12a 1的一个特征值为λ＝3，其对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，求直线l 1：x ＋2y ＋1＝0在矩阵M 对应的变换作用下得到的曲线l 2的方程． 规范解答 解法1 由Mα＝λα得⎣⎢⎡⎦⎥⎤12a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，所以a ＝2，M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221.(2分)设P 1(x 1，y 1)是直线l 1上任意一点，在矩阵M 对应的变换作用下得到点P 2(x 2，y 2)，且P 2在曲线l 2上． 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x 1＋2y 1，y 2＝2x 1＋y 1，(4分) 所以⎩⎨⎧x 1＝－13x 2＋23y 2，y 1＝23x 2－13y 2，(6分)代入直线l 1的方程得x 2＋1＝0，所以曲线l 2的方程为x ＋1＝0.(10分) 解法2 由Mα＝λα得⎣⎢⎡⎦⎥⎤12a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，所以a ＝2，M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221.(2分)取直线l 1上两点P 1(－1，0)，P 2(1，－1)，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－11，(4分) 所以在矩阵M 对应的变换作用下P 1，P 2变换为Q 1(－1，－2)，Q 2(－1，1)在曲线l 2上，(6分) 又因为二阶矩阵把直线变为直线，所以曲线l 2就是经过点Q 1，Q 2的直线x ＝－1.(10分)例2、(2016南京三模） 已知曲线C ：x 2＋2xy ＋2y 2＝1，矩阵A ＝所对应的变换T 把曲线C 变成曲线C 1，求曲线C 1的方程.思路分析 设变换T 把曲线C 上的任意点P (x ，y )变成曲线C 1上的点Q (x ′，y ′)，用x ′，y ′表示x ，y ，代入曲线C 的方程x 2＋2xy ＋2y 2＝1，则得关于x ′，y ′的方程，这就是曲线C 1的方程．规范解答 设曲线C 上的任意一点P (x ，y )，P 在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1210对应的变换下得到点Q (x ′，y ′)． 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1210⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， 即x ＋2y ＝x ′，x ＝y ′，所以x ＝y ′，y ＝x ′－y ′2.(5分)代入x 2＋2xy ＋2y 2＝1，得y ′2＋2y ′·x ′－y ′2＋2⎝⎛⎭⎫x ′－y ′22＝1，即x ′2＋y ′2＝2， 所以曲线C 1的方程为x 2＋y 2＝2.(10分)例3、(2019 南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港三调）已知a ，b ，c ，d ∈R ，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －20b 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1c d 1.若曲线C 在矩阵A 对应的变换作用下得到直线y ＝2x ＋1，求曲线C 的方程．规范解答 由题意得，AA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －20b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1c d 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －2d ac －2bd b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001， 所以a ＝1，b ＝1，c ＝2，d ＝0， 即矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－201.(5分)设P (x ，y )为曲线C 上的任意一点，在矩阵A 对应的变换作用下变为点P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－201⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2y ，y ′＝y .(8分) 由已知条件可知，P ′(x ′，y ′)满足y ＝2x ＋1，整理得2x －5y ＋1＝0， 所以曲线C 的方程为2x －5y ＋1＝0.(10分) 题型二 矩阵的特征值与特征向量求矩阵的特征值与特征向量要注意格式和步棸。