24
2
半径为 5 的圆。 2
7、把极坐标 ＝2方 －c4程 os化为直角坐
解：方程可化为 2－ cos 4 即2＝4＋x 两边平方得：4 2＝(x 4)2
4x2 4 y2 x2 8x 16 3x2 8x 4 y2 16
9、确定极坐标方程 4sin( )与
3
3cos sin 80所表示的曲线
一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点。
引一条射线OX，叫做极轴。 再选定一个长度单位和 计算角度的正方向（通 常取逆时针方向）。
O X
这样就建立了一个极坐标系。
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上异于极点的任意一点M，用 表示线段OM的长度，用 表示以OX为始边、 OM为终边 的角度。 叫做M的极径， 叫 做点M的极角，有序实数对（，）就叫做M 的极坐标。记作M （，）。
问题：如何规定ρ、θ的范围，使平 面内确定的一点的极坐标是唯一的？
ρ>0，θ∈ [0，2π）时点的极坐 标与平面上的点一一对应（极点除 外）。
四、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
[1]给定极坐标M（，）,在平面上 可以确定唯一一点。
[2]给定平面上一点，却有无数个极 坐标。
特别的，极点（0，θ），θ取一切 实数。
A、 10cos( ),B、 10cos( )
6
6
C、 10cos( ),D、 10cos( )
32
点M的直角坐标为_______.
【解析】∵tanθ= - ,4 ＜θ＜π,
32
∴cosθ= - ，3 sinθ= , 4
5
5
∴x=5cosθ=-3,y=5sinθ=4,
∴点M的直角坐标为(-3,4).
答案：(-3,4)
10、已知曲C线与曲线＝5 3cos 5sin关
于极轴对称，则曲 C的线方程是( B )
x
②
y
0x
M
y
Nx
三 知识应用
例 1：将M点 的极坐5， 标 2） （化成直角
3
解：x5cos2，y5sin2 5 3
3
32
所以，M 点的直角坐标5（，5 3）。 22
例2：将M的 点直角坐 3， 标 1） （化成极
解： （ 3）2 （ 1）2 3 1 2， tan 1 1 3 。
从这向南 走2000米.
请问：去屠宰场怎么走？
思考:“从这向南走2000米”这句话包含哪些要素? 它为何能使问路人明确屠宰场的位置?
请分析上面这句话，他告诉了问路人 什么？
从这向北走2000米！
出发点 方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来表示 一点的位置。这种用方向和距离表示平 面上一点的位置的思想，就是极坐标的 基本思想。
M
特别规定：
O
当M在极点时，它的极 坐标=0，可以取任意 X 值。
题组一：说出下图中各点的极坐标
2
4
5
6
C
E
D
B
A
O
X
4 F 3
G 5 3
特别规定： 当M在极点时，它的极 坐标=0，可以取任意值。
想一想？
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？ ④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
3 3 3
因为点 M 在第三象限，所以 7 。
6
因此，点 M 的极坐标为（ 2，7 ）。
6
5.已知点的直角坐标 为(分 3, 别 3),
(0, 5),(7,0),(2,2 3),求它 32
们的极坐. 标
(1) 在极坐标系中 , 与圆
4 sin 相切的一条直线的方程 是 ( )
A. cos 2
与角α终边相同的角： β=α+2kπ,k∈Z 平面直角坐标系中的点P与坐标(a ,b)是 _一__一__对应的.
平面直角坐标系是最简单
y
b
P(.a,b)
最常用的一种坐标系，但不是 唯一的一种坐标系. 有时用别
O
a x
的坐标系比较方便.
还有什么坐标系呢？
我们先看下面的问 题.
如何确定以下两船 的位置关系呢？
4极坐标 方 sin程 2co所 s 表示的
曲线是
解：将极坐标方程化为 直角坐标方程即可判断
曲线的形状，因为给定 的不恒等于零，用 同
乘方程的两边得 2＝ sin 2 cos
化成直角坐标方程为 x2 y 2 y 2x
即(x 1)2 ( y 1 )2 5 这是以点 (1, )为圆心，
由 3 cos sin 8 0
化直角坐标方程：3x y 8 0, 表示直线
圆心到直线距离：d 3 1 8 2 31
所给极坐标方程分别表示圆与直线， 它们的位置关系是相切。
6.在极坐标系中，点 A( 2,),B( 2,2) ，则线段AB中点的
26 2 3
极坐标为( )
9.已知点M的极坐标为(5,θ)，且tanθ= - 4 , ＜θ＜π,则
（1）距离：5 海里 （2）方向：东偏北20º.
发现走私!!!
拯救船
20º
O
x
距离40 km
方向：π
4
O
x
以天河路为X轴
请问：
以广州大道为Y轴... 去广州塔怎么走？
以天河路为X轴 以广州大道为Y轴...
请分析这句话，他告诉了问路人什么？
从这向东走2000米！
出发点 方向 距离
在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。 这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是 极坐标的基本思想。
及位置关系。
解：由 4 sin( ) 4 cos[ ( )]
3
2
3
4 cos( ) 4 cos( )
6
6
即表示以 A(2, )为圆心，以 2为半径的圆
6
将极坐标 A化为直角坐标 A( 3 ,1)
整理得：( x 3 ) 2 ( y 1) 2 4，表示圆
小结
[1]建立一个极坐标系需要哪些要素
极点；极轴；长度单位；
[2]极坐标系内一点的极坐标有多少种 表达式？
[3]一点的极坐标是否有统一的表达式？ 有。（ρ，2kπ+θ）
2、极坐标和直角坐标的互化
二 新知探究 极坐标与直角坐标的互化公式。
xco ， s ysin①
2x2y2 ， tan y(x0)
B . sin 2
C . cos 4
D . cos 4
(2 ) 已知直线的极坐标方程 为
sin( ) 2 , 则极点到该直线
42 的距离是 __________ _ .
3. 3的直角坐标方程是
4
解：根据极坐标的定义
tan y tan 3 y
x
4x
即y x( y 0)