向量法求空间距离（教师用）
淄博五中 孙爱梅
一．重点：掌握空间各种距离概念，并能进行他们之间的转化，能通过向量计算求出这些距离.
二．难点：异面直线及点面距离求法.
三．知识点及例题
【知识点一】 两点的距离公式应用
空间中两点的距离公式：A （x 1，y 1，z 1），B （x 2，y 2，x 2），
则｜AB →｜＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＋（z 1－z 2）2.
〖例1〗如图，在正方体OABC －O ′A ′B ′C ′中，棱长为1，｜AN ｜＝2｜CN ｜， ｜BM ｜＝2｜MC ′｜，求MN 的长.
解：由题意得A （1，0，0），B （1，1，0），C （0，1，0），C ′（0，1，1）
∵｜AN ｜＝2｜CN ｜，∴N （13，23，0），又∵｜BM ｜＝2｜MC ′｜，∴M （13，1，23
） ∴｜MN ｜＝（13－13）2＋（1－23）2＋（23－0）2＝53，即MN 的长为53. 注：此类题目直接套用公式，准确、迅速找到空间两点坐标是解题关键.
【知识点二】通过向量求空间线段的长.
｜a →｜＝a →2
〖例2〗如图，在60°的二面角的棱上，有A 、B 两点，线段AC 、BD 分别在二面角的两个面内，且都垂直于AB ，已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，求CD 的长度.
解：∵＜AC →，BD →＞＝60°，∴＜CA →，BD →＞＝120°，又∵CD →＝CA →＋AB →＋BD →， 故有｜CD →｜2＝CD →2＝（CA →＋AB →＋BD →）·（CA →＋AB →＋BD →）
＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →
∵CA ⊥AB ，BD ⊥AB ，则CA →·AB →＝0，AB →·BD →＝0，
∴｜CD →｜2＝62＋42＋82－2×6×8×12
＝68，∴｜CD →｜＝217.
注：使用向量法对此题计算时，由于考虑到未知条件CD ，故应用已知的AB →，AC →，BD
→三个向量将未知向时CD →表示出来，再利用｜CD →｜2＝CD →2这一知识解题.
【知识点三】求点到平面距离
｜AB →｜＝｜OA →｜｜c os ＜OA →，n →＞｜＝｜OA →·n →｜｜n →｜
＝｜OA →，e →｜（其中n →为α的一
→.
〖例3〗正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 分别是BB 1、CD 的中点，求点F 到平面A 1D 1E
的距离.
解：以D 1为坐标原点，D 1A 1，D 1C 1，D 1D 所在直线分别x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D 1－xyz . F （0，1，2），D 1（0，0，
0），A 1（2，0，0），E （2，2，1），
D 1A →＝（2，0，0），D 1
E →＝（2，2，1）.
设n →＝（x ，y ，z ）为平面A 1D 1E 的一个法向量，则n →·D 1A →＝0，且n →·D 1E →＝0， ⎩⎨⎧2x ＝0 2x ＋2y ＋z ＝0
，则x ＝0，令z ＝2，y ＝－1，即n →＝（0，－1，2）， 又D 1F →＝（0，1，2），∴点F 到平面A 1D 1E 的距离.
【思考】若G 、H 分别为D 1D ，AA 1中点，如何求平面A 1D 1与平面HGB 距离？ 思路：易证平面A 1D 1E ∥平面HGB ，只须求B 到平面AD 1E 的距离就可.
d ＝｜D 1F →·n →｜ ｜n →｜
＝｜（0，1，2）·（0，－1，2）｜12＋22
＝35＝355，即F 到面A 1D 1E 的距离为355
. 注：①用向量求点面距离可避免了过点向面作距离的麻烦.②注意面面距离与点面距离的转化.
l 1，l 2为异面直线，AB 为l 1，l 2公垂线估，C 、D 分别为l 1，l 2上任意两点，则异面直线
l 1，l 2的距离d ＝｜AB →｜＝｜CD →｜·｜c os ＜CD →·n →＞｜＝｜CD →·n →｜ ｜n →｜
＝｜CD →·e →｜（其中n →为公垂线AB 的一个方向向量，e →为公垂线AB 的一个单位方向向量）. 〖例4〗在直三棱柱ABD －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝BB 1＝1，直线B 1C 与平面ABC 所成的角为30°，试求异面直线A 1C 1与B 1C 距离.
解：以A 为坐标原点，AB 、AC 、AA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系.
∵B 1B ⊥平面ABC ，∴∠B 1CB 为B 1C 与平面ABC 所成角，∴∠B 1CB ＝30°， Rt △B 1BC 中，BB 1＝1，∴BC ＝3，又AB ＝1，Rt △BAC 中，AC
A 1（0，0，1），C 1（0，1，1），
A 1C 1→＝（0，1，0），
B 1（1，0，1），
C （0，1，0），B 1C →（－1，1，－1），
且A 1B 1→＝（1，0，0），
设n →＝（x ，y ，z ）为异面直线A 1C 1与B 1C 公垂线的一个方向向量，
则n →·A 1C 1→＝0
，n →·B
1C →
＝0
⎩⎨⎧y ＝0 －x ＋y －z ＝0，∴y ＝0，令x ＝1，则z ＝－1，∴n →＝（1，0，－1）， 则两异面直线A 1C 1与B 1C 是距离
d ＝｜A 1B 1→·n →｜ ｜n →｜
＝｜（0，1，2）·（0，－1，2）｜2＝22. 注：用向量求异面直线距离可避免做异面直线的公垂线段麻烦.
课堂测试
1、在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，F 是BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14
CD ，E 为C 1G 的中点，则EF 的长为（ ） A ．58 B ．12 C ．23 D ．418
，∠＝A ．62 B ．6 C ．12 D ．144
3、在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求异面直线AC 与BC 1间距离.
4、正四棱柱ABCD－A1B1C1D1，AB＝1，AA1＝2，点E为CC1中点，求点D1到BDE 的距离.
1、如图，建立空间直角坐标系
D－xyz，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点
P是正方体对角线D1B的中点，点Q在棱CC1上.
①当2｜C1Q｜＝｜QC｜时，求｜PQ｜.
②当点Q在棱CC1上移动时，探究｜PQ｜的最小值.
2、在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2，
⑴求证：平面A1BC1∥平面ACD1；⑵求⑴中两个平面距离.。