解析几何中参数范围问题的求解策略
解析几何中确定参数的取值范围是一类转为常见的探索性问题，历年高考试题中也常出现此类问题。
很多同学在处理这类问题时无从下手，不知道确定参数范围的函数关系或不等关系从何而来，下面我通过一些实例介绍这类问题形成的几个背景及相应的解法，希望同学们能有所收获。
背景之一：题目所给的条件
利用题设条件能沟通所求参数与曲线上点的坐标或曲线的特征参数之间的联系，建立不等式或不等式组求解。
这是求范围问题最显然的一个背景。
例1、椭圆),0(1
22
22为半焦距c b c a b
y a x >>>=+的焦点为F 1、F 2，点
P (x , y )为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是___。
例2、已知梯形ABCD 中，AB =2CD ，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，
双曲线过点C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点。
当4
3
32≤≤λ时，求双曲线离心
率e 的取值范围。
背景之二：曲线自身的范围
圆、椭圆、双曲线及抛物线都有自身的范围，如椭圆a b
y a x (122
22=+>b >0)
中，x ,10],,[],,[<<-∈-∈e b b y a a ，利用这些范围是确定参数范围的途
径之一。
例3、设点P 到点M (－1，0)、N (1，0)距离之差为2m ，到x 轴、y 轴距离之比为2，求m 的取值范围。
例4、设椭圆
11
22
=++y m x 的两个焦点是F 1(－c , 0)与F 2(c , 0) (c > 0)，且椭圆上存在一点P ，使得直线PF 1与PF 2垂直。
(1)求实数m 的取值范围；
(2)设l 相应于焦点F 2的准线，直线PF 2与l 相交于Q ，若
32|
|2-=PF QF ，
求直线PF 2的方程。
背景之三：二次方程有解的条件
直线和圆锥曲线的关系，是解析几何中最常见的关系，它们联立消元后所得的判别式非负是直线和圆锥曲线有公共点的充要条件；若有限制条件，则还应考虑根的分布情况等，这是确定参数取值范围的一个常见背景。
例5、给定双曲线x ２
－2
2
y = 1，过点B (1，1)能否作直线l ，使l 与所给双曲
线交于P 1及P 2，且点B 是线段P 1P 2的中点？这样的直线l 如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由。
例6、已知直线1:+=kx y l 与双曲线12:2
2=-y x C 的右支交于不同的两点A 、B 。
(1)求实数k 的取值范围；
(2)是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由。
背景之四：已知变量的范围
利用题中给出的某个已知变量的范围，或由已知条件求出某个变量的范围，然后找出这个变量与欲求的参变量之间的关系，进而求解。
1、双参数中知道其中一个参数的范围；
例7、已知双曲线的中心在原点，右顶点为A (1, 0)，点P 、Q 在双曲线的右支上，点M (m , 0)到直线AP 的距离为1。
(1)若直线AP 的斜率为k ，且]3,3
3
[||∈k ，求实数m 的取值范围； (2)当12+=
m 时，APQ ∆的内心恰好是点M ，求此双曲线的方程。
例8、给定抛物线x y C 4:2=，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点。
(1)设l 的斜率为1，求与的夹角的大小；
(2)设]9,4[,∈=λλ若，求l 在y 轴上截距m 的变化范围。
2、双参数中的范围均未知 例9、设双曲线)0(1:
2
22
>=-a y a
x C 与直线1:=+y x l 相交于不同的两点A 、B 。
(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；
(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，且12
5
=，求a 的值。
例10、直线1+=kx y 与双曲线122=-y x 的左支交于A 、B 两点，直线l 经过点)0,2(-和AB 的中点，求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围。
背景之五：点在圆锥曲线内部或外部的充要条件
如果我们规定圆锥曲线包含焦点的区域称为圆锥曲线的内部，同时坐标平面被圆锥曲线所划分的另一部分称为圆锥曲线的外部，则不难写出点在内（外）部的充要条件同，以这些充要条件为背景的范围问题利用上述不等式即可获解。
例11、已知椭圆13
4:2
2=+y x C ，试确定m 的取值范围，使得对于直线m x y l +=4:，椭圆C 上有不同的两点P ，Q 关于该直线对称。
背景之六：三角形两边之和大于第三边
椭圆或双曲线上一点与它们的两个焦点的构成一个三角形，具有这一背景的问题往往可以利用三角形两边之和大于第三边产生的不等式来确定参数的范围。
例12、已知双曲线),(12222+
∈=-R b a b
y a x 的左、右两个焦点分别为F 1、
F 2，左准线为l ，在双曲线的左支上存在点P ，使|PF 1|是P 到l 的距离d 与|PF 2|
的等比中项，求离心率e 的取值范围。
背景之七：参数的几何意义
解析几何是一门数与形相结合的学科，其中许多的变量都有十分明显的几何意义，以此为背景的范围问题只要抓住了参数的几何意义都可以达到目的。
例13、椭圆C 的上准线是抛物线y x 42-=的准线，且C 经过这条抛物线的焦点，椭圆的离心率2
1
=e ，求椭圆的长半轴a 的范围。
背景之八：平均值不等式
解析几何的本质是用代数方法研究图形的几何性质。
利用代数基本不等式是求范围的又一方法。
例14、已知直线l 过定点A (3, 0)，倾斜角为α，试求α的范围，使得曲线
2:x y C =的所有弦都不能被直线l 垂直平分。
背景之九：目标函数的值域
要确定变量k 的范围，可先建立以k 为函数的目标函数)(t f k =，从而使这种具有函数背景的范围问题迎刃而解。
例15、),(y x P 是椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 上任一点，F 1、F 2是两个焦
点，求|PF 1|·|PF 2|的取值范围。
例16、如图，P 是抛物线2
2
1:x y C =
上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q 。
(1)若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程；
(2)若直线l 不过原点且x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求|
||
|||||SQ ST SP ST +的取值范围。