三角函数及平面向量综合测试题命题人：伍文一.选择题：(满分50分，每题5分)1.下列向量给中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（ ） A ．→1e = (0,0), →2e =(1,－2) ; B ．→1e = (-1,2), →2e = (5,7); C ．→1e = (3,5), →2e =(6,10); D ．→1e = (2,-3) , →2e = )43,21(- 2.在平行四边形ABCD 中，若||||BC BA BC AB +=+，则必有（ ）A ．四边形ABCD 为菱形B ．四边形ABCD 为矩形C ．四边形ABCD 为正方形 D ．以上皆错3.已知向量→1e ，→2e 不共线，实数(3x －4y) →1e ＋(2x －3y) →2e =6→1e +3→2e ，则x －y 的值等于 （ ）A ．3B ．-3C ．0D ．24.已知正方形ABCD 边长为1， AB =→a ，BC =→b ，AC =→c ，则|→a +→b +→c |等于（ ） A ．0 B ．3 C ．22 D ．2 5.设()()AB CD BC DA +++=→a ，而→b 是一非零向量，则下列个结论：(1) →a 与→b 共线；（2）→a +→b = →a ；(3) →a +→b = →b ；(4) |→a +→b |<|→a |+|→b |中正确的是（ ） A ．(1) (2) B ．(3) (4) C ．(2) (4) D ．(1) (3)6. 已知sin α=55则sin 4α- cos 4α的值是（ ） A ．-53 B ． -51 C ． 51 D ．53 7. 在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(ππ，∈+=x x y 的图象和直线21=y 的交点个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．48．函数y ＝－xcosx 的部分图象是（ ）9．已知△ABC 的两个顶点A(3,7)和B(-2,5)，若AC 的中点在x 轴上，BC 的中点在y 轴上，则顶点C 的坐标是 ( )A ．(－7,2)B ．(2,－7)C ．(－3,－5)D ．(5,3) 10．AD 、BE 分别为△ABC 的边BC 、AC 上的中线，且AD =→a ,BE =→b ，那么BC 为（ ） A ．32→a －34→b B ．32→a －32→b C ．32→a ＋34→b D ．－32→a ＋34→b班级 座号 姓名二.填空题：(满分20分，每题5分)11．函数2cos()35y x π=-的最小正周期12．不等式（lg20)2cosx>1(x ∈(0，π))的解集为__________13．已知A(2，3)，B(1，4)且12AB =(sin α,cos β)，α、β∈(-2π,2π)，则α+β= 14．已知→a =(1,2) ，→b =(-3,2)，若k →a +→b 与→a -3→b 平行，则实数k 的值为三.解答题：(满分80分，第15、19、20题各14分，第16、17、18题各12分)15．（本题14分）函数)2||,0,0(),sin(π<ϕ>ω>ϕ+ω=A x A y 的最小值是-2，其图象最高点与最低点横坐标差是3π，又：图象过点(0,1)，求（1）函数解析式，并利用“五点法” 画出函数的图象（2）函数的最大值、以及达到最大值时x 的集合；（3）该函数图象可由y=sinx(x ∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩得到？（4）当x ∈（0，23π）时，函数的值域.16．（本题12分）已知:点Ｂ(1,0)是向量→a 的终点，向量→b , →c 均以原点Ｏ为起点，且→b =(－3,－4), →c =(1,1)与向量→a 的关系为→a =3→b －2→c ，求向量→a 的起点坐标．17．（本题12分）已知A 、B 、C 三点坐标分别为(-1,0)、(3,-1)、(1,2）,11,,33AE AC BF BC ==求证：//EF AB18．（本题14分）设两个非零向量→a 与→b 不共线⑴若AB =→a ＋→b ,BC =2→a ＋8→b ,CD =3(→a －→b ) ,求证：A 、B 、D 三点共线; ⑵试确定实数k ，使k →a ＋→b 和→a ＋k →b 共线.19．（本题14分）已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象在y 轴上的截距为1，在相邻两最值点()0,2x ，()003,202x x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭上()f x 分别取得最大值和最小值．（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()g x af x b =+的最大和最小值分别为6和2，求,a b 的值．20．（本题14分）设0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，函数()f x 的定义域为[]0,1且()00f =，()11f =当x y≥时有()()()sin 1sin 2x y f f x f y αα+⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.（1）求11,24f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）求α的值；（3）求函数()()sin 2g x x α=-的单调区间．三角函数及平面向量综合测试题答案二.填空题：(满分20分，每题5分)11．5π 12．(0，2π) 13．6π或 -2π； 14．-31三.解答题：(满分80分，第15、19、20题各14分，第16、17、18题各12分) 15. 解：（1）易知：A = 2 半周期π=32T∴T = 6π 即πωπ62= （0>ω） 从而：31=ω 设：)31sin(2ϕ+=x y 令x = 0 有1sin 2=ϕ又：2||π<ϕ ∴6π=ϕ ∴所求函数解析式为)631sin(2π+=x y 图略（2）当{x|x ＝6k π＋π，k∈Z }时，)631sin(2π+=x y 取最大值2 （3）略 (4) y∈(]2,116.解：设→a 的起点坐标为A(x,y) ,则AB =(1-x,-y)=(-11,-14),解得x=12, y=14.17.解：设E(x 1, y 1),F(x 2, y 2) ,∵AC 31AE =, ∴(x 1+1, y 1)=(22,33), ∴x 1=13-, y 1=23,又BC 31BF =,∴(x 2-3, y 2+1)=(-23,1), ∴x 2=73, y 2=0, 则82(,)33EF =-由于3823(4,1)(,)2332AB EF =-=-=,所以//EF AB18.解：⑴∵BD BC CD =+=5（a ＋b ）=52AB DC = ∴ AB 、BD 共线，又它们有公共点B ，所以A 、B 、C 三点共线⑵依题：存在实数λ，使k →a ＋→b =λ(→a ＋k →b ) 即(k-λ) →a =(λk -1) →b ∴k -λ=λk -1=0 ∴k=±119.解：（1）依题意，得 0033222T x x =+-=，223,3T ππωω∴==∴=最大值为2，最小值为－2，2A ∴= 22sin 3y x πϕ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭图象经过()0,1，2sin 1ϕ∴=，即1sin 2ϕ=又 2πϕ<6πϕ∴=，()22sin 36f x x ππ⎛⎫∴=+⎪⎝⎭ （2）()22sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()22f x ∴-≤≤ 2622a b a b -+=⎧∴⎨+=⎩或2226a b a b -+=⎧⎨+=⎩解得，14a b =-⎧⎨=⎩或14a b =⎧⎨=⎩．20.解：（1）()()()1101sin 1sin 0sin 22f f f f ααα+⎛⎫⎛⎫==+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()()210112sin 1sin 0sin 422f f f f ααα⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫==+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭（2）()()113121sin 1sin 422f f f f αα⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫==+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭()2sin 1sin sin 2sin sin ααααα=+-=-()3113144sin 1sin 2244f f f f αα⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴==+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭()()22232sin sin sin 1sin sin 3sin 2sin ααααααα=-+-=-2sin sin (3sin 2sin )αααα∴=⋅- sin 0α∴=或12或1 又 0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，6πα∴=．（3）()sin 2sin 266g x x x ππ⎛⎫⎛⎫∴=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22,2622x k k πππππ⎛⎫⎡⎤∴-∈-++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦时，()g x 单调递减，322,2622x k k πππππ⎛⎫⎡⎤-∈++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦时，()g x 单调递增； 解得：,63x k k ππππ⎡⎤∈-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈时，()g x 单调递减，5,33x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈时，()g x 单调递增．。