3.4 基本不等式:2a b ab +≤ (一)
学习目标:
1.了解代数与几何两方面背景,用数形结合的思想理解基本不等式.
2.掌握从不同角度探索基本不等式的方法.
3.从基本不等式的证明过程中进一步体会不等式证明的常用思路.
合作学习
一、设计问题,创设情境
第24届国际数学家大会于2002年在北京召开,右面是大会的会标,其中的图案大家见过吗?在此图中有哪些几何图形?你能发现图形中隐含的不等关系吗?若我们设图中直角三角形的直角边分别为x ,y ,你能用x ,y 表示四个直角三角形的面积和吗?你能用x ,y 表示大正方形的面积吗?根据图形,比较四个直角三角形的面积和与大正方形的面积的不等关系,写出不等式.
二、信息交流,揭示规律
问题1:当四个直角三角形边长可以变化时,四个直角三角形的面积和与大正方形的面积有没有可能相等?相等时,图形产生了怎样的变化? x ,y 有什么关系?
问题2:以上结论我们是在几何图形中的面积关系获得的.同学们能否运用代数的方法对这个结论进行证明?
问题3:同学们对结论中的“当且仅当”如何理解?如果我们使用两个正数a,b分别代替x2,y2,那么,以上结论我们可以写成什么形式?
问题4:对这个结论,我们能否进行证明?
问题5:结论(1)我们是在赵爽弦图中发现的,那么,我们能不能找到结论(2)的几何解释呢?同学们来看这个问题:如图AB是圆O的直径,点C是线段AB(除A、B外)上任意一点,过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD,BD.试以a,b表示CD,OD的长度并比较两者的大小.
问题6:什么时候等号成立?做出怎样的解释呢?
问题7:对于一个公式,我们首先要观察结构、进行记忆。

同学们观察基本不等式两边,你想到了原来学过的哪些知识?
三、运用规律,解决问题
【例1】下列各式错误的是( )
A.3a+2b 2
≥√6ab (a>0,b>0) B.x+1x ≥2(x>0) C.4sinx +sin x ≥4(0<x<π) D.√x (1-x )≤12(0<x<1)
【例2】已知x ,y 都是正数,求证x y +y x ≥2.
四、变式训练,深化提高
变式训练:已知实数
a ,b>0,试比较√ab,a+
b 2和√a 2+b 22
的大小关系,并给出证明.
五、反思小结,观点提炼
1.本节课你学到了哪些数学知识和数学方法?
2.本节课你能感受到哪些数学思想?
参考答案
一、设计问题,创设情境
见过.这是赵爽弦图.在初中曾用它证明过勾股定理.直角三角形和正方形.三边的不等关系. x 2+y 2≥2xy 或x 2+y 2>2xy.
问题1:有可能相等;四个直角三角形的直角顶点会重合;此时x=y.
结论(1):重要不等式:对任意实数x ,y ,我们有x 2+y 2≥2xy ,当且仅当x=y 时,等号成立. 问题2:证明:(作差法)因为x 2+y 2-2xy=(x-y )2≥0,所以x 2+y 2≥2xy.当且仅当x=y 时,等号成立. 问题3:当x=y 时,并且只有x=y 时,等号成立.
结论(2):基本不等式:若a>0,b>0,可得a+b ≥2√ab ,通常记为√ab ≤
a+b 2
,当且仅当a=b 时,等号成立.
问题4:能.
问题5:CD=√ab ,OD=a+b 2,由图可得:CD=√ab ≤OD=a+b 2. 问题6: a=b 时,等号成立;圆内半弦不超过半径.
问题7:有的同学会回答平均数;有的同学可能会回答等比中项、等差中项.
a+b 2
是我们平时求平均数的方法,我们称之为算数平均数;√ab 我们称为几何平均数.基本不等式我们可以解释为几何平均数不大于算术平均数,这是它的代数解释.
三、运用规律,解决问题
【例1】C
【例2】证明:因为x ,y 都是正数,
所以x y +y x ≥2√x y ·y x
=2. 当且仅当x y =y x ,即x=y 时,等号成立.
四、变式训练,深化提高
变式训练:解:显然
a+b 2≥√ab 成立. 因为a 2+b 2≥2ab ,所以a 2+b 22
≥ab ,故√a 2+b 22≥√ab . 因为(a+b 2)2
−(√a 2+b 22)2=2ab -(a 2+b 2)4
≤0, 所以√a 2+b 22≥a+b 2
. 综上可知√a 2+b 22≥a+b 2≥√ab ,当且仅当a=b 时,等号成立.
五、反思小结,观点提炼
1.重要不等式、基本不等式;作差法证明不等式.
2.化归思想、数形结合思想.。