F3 F2
F1
3
F4
1 1 F1δ1 F2 δ2 2 2
（2）在结构上再作用有力
F3 ,F4
2
1
4
沿 F3和 F4方向的相应位移为
3 , 4
1 1 F3 和 F4 完成的功应为 F3 δ3 F4 δ4 2 2
31
（3）在 F3和 F4的作用下,F1 和F2 的作用点又有位移
1´和 2´
av
图b
23
av av
1 - av 2 - av
图c
av
图b
3 - av
1 2 所示的单元体的三个主 ( 1 2 3 ) E 应力之和为零
0
图C单 元 体 的 应 变 能 为 :
v vV vd 0 vd 1 2 2 2 1 2 2 3 3 1 vd 6E
BA :
V
L b
②、变形能： T ( x2 ) Fb. M 2 ( x) T 2 ( x) dx dx L 2GI 2 EI P
2 2 a ( Fx ) dx a ( Fb) dx ( Fx1 ) 2 dx 2 0 0 2 EI 2 EI 2GI p

0
F 2 (a 3 b 3 ) F 2 ab2 6 EI 2GI p
F1 和 F2 在 1´和 2´上 完成的功应为
' F1δ1 F2 δ'2
F3
F2 F1
2 1 1
2
3
4
因此,按先加 F1,F2 后F3,F4 的次序加力,结构的应变能为
1 1 1 1 ' ' Vε1 F1δ1 F2 δ2 F3 δ3 F4 δ4 F1δ1 F2 δ2 32 2 2 2 2
F
L dF1 F1 ΔL1 dΔL1 △L
F
1 W Fδ 2
上式表明，对于线性弹性体，荷载所作功等于荷载终值与 相应位移终值乘积之半。此式为计算线性弹性体外力功的 基本公式。式中的为广义荷载（力或力偶），是广义荷载 的相应位移（线位移或角位移）。这里的“相应”的含义 有二：一是方向相应，即荷载的作用点处沿着荷载的作用 线方向的位移；二是性质相应，即集中力只能在线位移上 作功，集中力偶只能在角位移上作功。
§13-2 外力功的计算
在线弹性范围内：0 F（静载）， 0 L（变形）。
F 在 dL1 上作功—— dW F1dL1 。 1
外力在整个加载过程中作功——
W dW F1dL1
0
L
L
0
EA L1 EA L 2 1 dL1 ( ) FL L L 2 2
F2 F3 Fi F1 Δ3 Δi Δ1 Δ2
（ Fi ——广义力，i ——广义位移）
可以证明，外力功与加载的顺序无关，当 结构受到多个外力作用时，外力功的数值 只与各荷载最终数值和相应位移最终数值 有关，这是外力功的一个重要的特点。外 力功是一个代数量，荷载方向与相应位移 方向一致时为正，相反则为负。 6
4
1 W Fδ 2
3
F--广义力包括力和力偶 δ--广义位移 F1 包括线位移和角位移
A
5
F2
B B'
F3
C
1
2
对线性弹性体的一般受力情况：
W
1 1 1 1 1 F11 F2 2 F33 Fi i Fi i 2 2 2 2 2
——克拉贝依隆原理
dy dz
y
σ2 σ1 σ3
dx
19
x
z
三个主应力同时存在时, 单元体的应变能密度为
将广义胡克定律代入上式, 经整理得
1 ε (ζ1ε1 ζ 2ε2 ζ 3ε3 ) 2
1 2 2 ε [ 12 2 3 2 (ζ1ζ 2 ζ 2ζ 3 ζ 3ζ1 )] 2E
若按先加F3 ,F4 后加F1, F2 的次序加力,又可求得结构的应变 能为
1 1 1 1 ' Vε 2 F1δ1 F2 δ2 F3 δ3 F4 δ4 F3 δ'3 F4 δ4 2 2 2 2
由于应变能只决定于力和位移的 最终值,与加力的次序无关,故 F1 F2
3
由式（13.3）可得
Me B x l
FwA M e A F 2l 3 FM el 2 M e2l W 2 2 6 EI 2 EI 2 EI
25
方法二：利用应变能计算外力功
梁的弯矩方程为
F Me B x l A
M ( x) M e Fx
由式（13.8）得
l ( M Fx) M 2 ( x) F 2l 3 FM el 2 M e2l e W V dx dx 0 2 EI 0 2 EI 6 EI 2 EI 2 EI l
因为很小,所以在变形过程中,上, 下两面上的外力将不作功. 只有右侧
y

a
面的外力（dydz） 对相应的位移
d
dx 作了功.
b z dx

x
dx

17
当材料在线弹性范围内内工作时,上述力与位移成正比,因此,
单元体上外力所作的功为
1 1 dW ( ηdydz )(γdx ) ηγ (dxdydz ) 2 2
1 Vε Fδ 2
F--广义力包括力和力偶
C
F3
F1
1
A
2
C'
δ--广义位移
包括线位移和角位移
在线弹性情况下，广义力与广义位移之间是线 13 性关系
上述结论应用于组合变形的变形能
截面上存在几种内力,各个内力及相应的各个位移相互独立, 力独立作用原理成立,各个内力只对其相应的位移做功.
2 FN ( x ) T 2 ( x) M 2 ( x) Vε dx dx dx l 2 EA( x ) l 2GI ( x ) l 2 EI ( x ) p
③、外力功等于变形能
F
F W B V 2
FL(1 cos3 a ) B EAsin 2 a
例：图示结构，已知 EI、 GIp，及铅垂力F。求C点的垂直位移。 a x2 B 解、①、求内力
A x1
C F
BC :
b
M ( x1 ) Fx1 ; M ( x2 ) Fx2
2
2
11
3.弯曲变形的变形能
θ Me
Me
Me 纯弯曲
Me

2

1 1 Mel Me l Vε W M e θ M e 2 2 EI 2 EI
横力弯曲，剪力应变能远小于弯曲应变能，故：
2
Me ( x) Vε dx l 2 EI ( x )
12
变形能总体表达式
3
F2
B B'
§13-3 应变能的计算
一、杆件变形能的计算
1.轴向拉压的变形能 当拉力为F1 时,杆件的伸长为△l1 当再增加一个dF1时,相应的变形增量为d(△l1) 此外力功的增量为：
dW F1d(Δl1 )
dF1l d(Δl1 ) EA
7
F dF1
l
F1
o
F l
l1
dl1
l
l
F 积分得： W dW

0
F
l F 2l F F1 dF1 Δl EA 2 EA 2
8
根据功能原理 Vε= W , 可得以下变形能表达式
1 1 Vε W FΔl FN Δl 2 2
Fl FN l Δl EA EA
2 F 2l FN l Vε 2 EA 2 EA
当轴力或截面发生变化时:
3
Fa 1 W FwC W V wC 2 6 EI
例：图示结构，已知BC杆的长度为L，两杆的抗拉压刚度均为EA， 及α 和在B点受铅垂力P。求B点的垂直位移。 A L C FN2 Y a B
FN1
解、①、求内力 F FN 1 ; FN 2 Fctg a . sin a ②、变形能： F 2 (F ) 2 L ( Fctga ) 2 L cosa F L V N sin a 2 EA 2 EA 2 EA X F 2 L(1 cos3 a ) 2 EAsin 2 a


畸变能密度
24
例：图13.10所示悬臂梁，承受集中力F和集中力偶矩M 的作用。试计算外力所作的总功。设弯曲刚度为常数。 解： 方法一：由叠加原理 3 M el 2 wA wA( F ) wA( M e ) 3EI 2 EI Fl 2 M el A A( F ) A( M e ) 2 EI EI
③、外力功等于变形能 W
F c V 2
F (a 3 b3 ) Fab2 c 3EI GI p
§13-4 卡氏定理
一、功的互等定理
（1）设在线弹性结构上作用力 F1 F1 ,F2 两力作用点沿力作用方向 的位移分别为
1 2
F2
1 ,2
30
F1 和 F2 完成的功应为
§13-1
概述
一、变形能（应变能）：变形固体在外力作用下由变形而储存的 能量“ V ” 。 弹性变形能：变形固体在外力作用下产生的弹性变形而储存的能量。 1、弹性变形能具有可逆性。 2、塑性变形能不具有可逆性 。 二、变形能的计算：利用能量守恒原理 能量守恒原理：变形固体在外力作用下产生的变形而储存的 能量，在数值上等于外力所作的外力功。 “V W ”。 三、能量法：利用功能原理和功、能的概念进行计算的方法。 常见的能量法——功能原理、单位力（莫尔积分）、 卡氏定理、图乘法。