数列基本知识点数列基本知识点1. 等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质2判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n ≥2的任意自然数,验证)(11---n nn n a a a a 为同一常数。

(2)通项公式法。

(3)中项公式法:验证212-++=n n n a a a N n a a a n n n ∈=++)(221都成立。

3. 在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题：(1)当1a >0,d<0时，满足⎩⎨⎧≤≥+001m m a a 的项数m 使得m s 取最大值. (2)当1a <0,d>0时，满足⎩⎨⎧≥≤+01m m a a 的项数m 使得m s 取最小值 4 n s 与n a 之间的关系⎩⎨⎧≥-==-2111n S S n S a n n n （所以在有n s 与n a 关系的时候，我们应该尽量只留其中的一个，一般题目要我们求那一个我们就保留那一个，如若不会就两个都试一下）1 123....()n a a a a f n ++++= (1) 像这种“连和”的形式我们要求n a ，就必须消掉它前面的。

我们可以取1n n =- 相减 即：1231....(1)n a a a a f n -++++=- (2)(1)(2)-式 我们就可以只有n a 的表达式了。

()(1)n a f n f n =--2 123....()n a a a a f n = (1)像这种“连乘的形式”的形式我们要求n a ，就必须消掉它前面的。

我们可以取1n n =- 相除 即： 1231....(1)n a a a a f n -=- (2)(1)(2)式有：()(1)n f n a f n =-5 求通项公式通项公式（一般的方法都是关于通项的递推关系，即后一项与前一项的关系，即1n a +与n a 的关系，因此我们在处理问题的时候应该先将题目中的条件转化为1n a +与n a 的这种递推关系） 1、已知)2)((1≥=--n n f a a n n ，，则求n a 可用累加法.例1在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n +=++，则n a =A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++2已知)2)((1≥=-n n f a a n n，求n a 用累乘法. 3 1(1)n n a pa q p -=+≠用待定系数法 4 1n n n da ea ba c++=+ 倒数的关系。

（取不动点法） 5 221n n a ba += （指数型的关系取对数的方法） 6 11n n n a ba ca +-=+ （二阶线性关系） 6 求和（1）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有： ①111(1)1n n n n =-++； ②1111()()n n k k n n k=-++； ③)(1)0(1n k n k k kn n -+=>++ ④211111111(1)(1)1k k k k k k k k k -=<<=-++--.（2）错位相减法：n n n c a b = {}n a 为等差数列，{}n b 为等 比数列。

即一个等差数列乘以一个等比数列可以采用乘公比错位相减法。

如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）. 设{a n }是等差数列，且公差为d,{b n }是等比数列，且公比为q,记S n =a 1b 1+a 2b 2+…+a n b nn n n n n n n b a b a b a b a b a b a S ++++++=----1122332211... ① =n qS 1112233221...+-----++++++n n n n n n n n b a b a b a b a b a b a ② =-n S q )1(+11b a 11232)...(+---+++++n n n n n b a b b b b b d （3）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.（4）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n和公式的推导方法）.等差数列[重点]等差数列的概念、等差数列的通项公式、等差数列的前n项和公式。

1．定义：数列{an }若满足an+1-an=d(d为常数)称为等差数列，d为公差。

它刻划了“等差”的特点。

2．通项公式：an =a1+(n-1)d=nd+(a1-d)。

若d0≠，表示a n是n的一次函数；若d=0，表示此数列为常数列。

3．前n项和公式：Sn =2)(1naan+=na1+ndanddnn)2(22)1(12-+⋅=-。

若d≠0,表示S n是n的二次函数，且常数项为零；若d=0，表示S n=na1.4．性质：①an =am+(n-m)d。

②若m+n=s+t,则am+an=as+at。

特别地；若m+n=2p,则a m+a n=2a p。

5.方程思想：等差数列的五个元素a1、、d、n、an、sn中最基本的元素为a1和d，数列中的其它元素都可以用这两个元素来表示。

函数思想：等差数列的通项和前n项和都可以认为是关于n的函数，因此数列问题可以借助于函数知识来解决。

[难点]等差数列前n 项和公式的推导，通项和前n 项和的关系，能够化归为等差数列问题的数列的转化。

如：a n 与s n 关系：a n =⎩⎨⎧--11n n s s s 21≥=n n 此公式适用于任何数列。

化归思想：把不熟悉的问题转化成熟悉问题的数字思想。

[重点]等比数列的概念，等比数列的通项公式，等比数列的前n 项和公式。

1．定义：数列{a n }若满足nn a a 1+=q(q q ,0≠为常数)称为等比数列。

q 为公比。

2．通项公式：a n =a 1q n-1(a 1≠0、q ≠0)。

3.前n 项和公式：S n =⎪⎩⎪⎨⎧--=--q q a a q q a na n n 11)1(111 （q 1≠）4.性质：（1）a n =a m q n-m 。

（2）若 m+n=s+t ，则a m a n =a s a t ,特别地，若m+n=2p ，则a m a n =a 2p ，（3）记A=a 1+a 2+…+a n ,B=a n+1+a n+2+…a 2n ,C=a 2n+1+a 2n+2…+a 3n ,则A 、B 、C 成等比数列。

5．方程思想：等比数列中的五个元素a 1、q 、n 、a n 、S n 中，最基本的元素是a 1和q ，数列中的其它元素都可以用这两个元素来表示。

函数思想：等比数列的通项和前n 次和都可以认为是关于n 的函数。

[难点]等比数列前n 项和公式的推导，化归思想的应用。

考点十二 数列求和（裂项及错位）1等比数列{n a }的前n 项和为n S ，已知对任意的n N +∈，点(,)n n S 均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上. （1）求r 的值；（11）当b=2时，记1()4n n n b n N a ++=∈，求数列{}n b 的前n 项和n T . 这恰好需要对递推关系式{11,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥的正确理解2数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1(1)n a n n =+，则5S 等于（ ）A ．1B ．56C ．16D ．1303 已知11(1)n n a a n n -=+- (2)n =，11a =(1)写出数列的前5项； (2)求a n ．4 求S n =(x+y 1)+(x 2+21y )+…+(x n +n y1)(y 0≠)。

5.已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,),1n n S a n a +=+==L ， ⑴设数列),2,1(21ΛΛ=-=+n a a b n n n ，求证：数列{}n b 是等比数列； ⑵设数列),2,1(,2ΛΛ==n a c nnn ，求证：数列{}n c 是等差数列； ⑶求数列{}n a 的通项公式及前n 项和.6.设数列{a n }的各项都是正数，且对任意n ∈N +，都有23333231n n S a a a a =++++K ，记S n 为数列{a n }的前n 项和.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若n a n n n b 2)1(31⋅-+=-λ（λ为非零常数，n ∈N +），问是否存在整数λ，使得对任意 n ∈N +，都有b n +1>b n .8数列{}n a 的前n 项和n S 与通项n a 满足关系式222()n n S na n n n N +=+-∈,则10010a a -= (A) 90- (B) 180- (C) 360- (D) 400-9.一个等差数列共有10项，其中奇数项和为225，偶数项和为15，则这个数列的第6项是A ．3B ．4C ．5D ．6 10在数列{}n a 中，21=a 且3231-=+n n a a ，则=n a11 已知12-=n a n ，n n b )21(=，则数列{}n n b a ⋅的前n 项和=n S____________．12 已知下面各数列{a n }的前n 项和S n 的公式，求数列的通项公式．(1)S n ＝2n 2－3n (2)S n ＝n 2＋1 (3)S n ＝2n ＋313 求数列的通项公式：(1){a n }中，a 1＝2，a n+1＝3a n ＋2(2){a n }中，a 1=2，a 2＝5，且a n+2－3a n+1＋2a n ＝0思路：转化为等比数列．解 (1)a =3a 2a 1=3(a 1)n+1n n+1n ＋＋＋⇒∴{a n ＋1}是等比数列 ∴a n ＋1=3·3n-1 ∴a n =3n －1(2)a 3a 2a =0a a =2(a a )n+2n+1n n+2n+1n+1n －＋－－⇒∴{a n+1－a n }是等比数列，即 a n+1－a n =(a 2－a 1)·2n-1=3·2n-114 已知数列{}()n a n N *∈是等比数列,且130,2,8.n a a a >==(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求证:11111321<++++na a a a Λ； (3)设1log 22+=n n ab ,求数列{}n b 的前100项和.15 .已知数列{}n a 的相邻两项1,+n n a a 是关于x 的方程022=+-n n b x x ∈n (N )*的两根,且11=a .(1) 求证: 数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯-n n a 231是等比数列;(2) 求数列{}n b 的前n 项和n S .17. 已知数列{}n a 的前n 项和为11,4n S a =且1112n n n S S a --=++，数列{}n b 满足11194b =-且13n n b b n --=(2)n n N *≥∈且． （１）求{}n a 的通项公式；（２）求证：数列{}n n b a -为等比数列; （３）求{}n b 前n 项和的最小值．18 设数列{}n a 满足*,)(,N n a na a n n ∈+==+1122111. (1)求证:数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 为等比数列；(2)求数列{}n a 的前n 项和为n S ；(3)若不等式n n n a S a +<⋅+12对任意*N n ∈的恒成立,求实数a 的取值范围.20. 已知二次函数2()f x ax bx =+满足条件:①(0)(1)f f =; ②()f x 的最小值为18-. (Ⅰ)求函数()f x 的解析式;(Ⅱ)设数列{}n a 的前n 项积为n T , 且()45f n n T ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 求数列{}n a 的通项公式;(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下, 若5()n f a 是n b 与n a 的等差中项, 试问数列{}n b 中第几项的值最小? 求出这个最小值.21已知点∈n b a P b a P b a P n n n )(,(,),,(),,(222111Λ*N )都在函数x y 21log =的图象上.(1)若数列{}n b 是等差数列,求证数列{}n a 为等比数列；(2)若数列{}n a 的前n 项和为n S =n --21,过点1,+n n P P 的直线与两坐标轴所围成三角形面积为n c ,求使t c n ≤对∈n N +恒成立的实数t 的取值范围.【例10】 {a }b =(12)b b b =218b b b =18n n a n 123123设是等差数列，，已知＋＋，，求等差数列的通项．。