（勤奋、求是、创新、奉献）2013～ 2014学年第二学期考查试卷课程代码 219104 班级 学号 姓名 ____________《概率论与数理统计》课程试卷（A 卷）（本卷考试时间90分钟）题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总 分 题分 21 24 10 12 10 8 10 5 100 得分一、单项选择题（本题共7小题，每小题3分，共21分，将答案填在下面对应的空格中）1. D ；2. A ；3. C ；4. B ；5. C ；6. A ；7. C .1．某学生参加两次抽奖活动，设事件A i ＝{第i 次抽中} ( i =1,2 )，则事件 {两次抽奖至少有一次没抽中} 可以表示为 （ D ）． (A) 12A A (B) 1221A A A A (C) 12A A (D) 12A A2．随机变量X 的分布函数2,00.5()0,⎧+≤≤=⎨⎩其他cx x x f x ，则系数c =（ A ）．(A) 21 (B) 3 (C) 7 (D) 93. 一个学生宿舍有3名学生，问3个人中恰好有1人生日在星期四的概率是（ C ）．(A)3737C (B) 133657C ⨯⨯ (C) 123367C ⨯ (D) 23674．设随机变量X 的概率密度为21()(1)f x x π=+，则2Y X =的概率密度为（ B ）．(A) 21()(14)f y y π=+ (B) 22()(4)f y y π=+(C) 21()(1)f y y π=+ (D) 1()arctan f y y π= 5. 设123,,X X X 是取自总体是服从正态分布(,1)N μ的样本，则下列统计量中哪一个是μ的无偏估计量（ C ）.(A).1232315102X X X ++； (B) 123114399X X X ++； (C) 123111362X X X ++； (D) 1231173412X X X ++．6．两个相互独立的随机变量X 、Y 的方差分别是4和2,则()23D X Y -= （ A ）. (A) 34 (B) 14 (C) 28 (D) 27. 设总体X 的分布中未知参数θ的置信度1α-的置信区间是12[,]T T ，则下列正确的是（ C ）.(A) 对12,T T 的观测值1212,[,]t t t t θ∈、 (B) θ以1α-的概率落入区间12[,]T T (C) 区间12[,]T T 以1α-的概率包含θ (D) θ的期望()E θ必属于12[,]T T二、填空题（本题共7小题，每空格3分，共24分，将答案填在下面对应的空格中） 1. 0.65 ； 2. 0.3 ； 3. -1 ；4. 2/25 ； 5. 21/800 ； 20/21 ． 6. 21X - ；7. 3g .1．设事件,A B 相互独立，()0.3,()0.5P A P B ==，则()P A B = 0.65 ． 2．设随机变量X 的分布律如右表，()F x 是X 的分布函数, 则(0.5)F =0.3 .3．设,X Y 是直角三角形的两个锐角，则,X Y 的相关系数ρ=XY -1 .4．设随机变量X 服从参数为5的指数分布，则2()E X =225． 5. 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者，今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，发现是色盲患者的概率是 21/800 ；若已知一个人患色盲，则该色盲患者是男性的概率为 20/21 ． 6．设总体X 的分布律为1(),1,2,,,P X k k N N=== 其中N 为未知参数，12,,,n X X X 来自总体的样本，则N 的矩估计量N = 21X - . 7．设1234,,,X X X X 是来自总体X 的样本，1121122g X X =+，2123111333g X X X =++，3123411114444g X X X X =+++为总体均值μ的无偏估计量，则其中最有效的是 3g ．．三、（10分）某电子计算机主机有100个终端，每个终端有80%的时间被使用，若各个终端是否被使用是相互独立的，试用中心极限定理估算同时被使用的终端数在75到85之间的概率.解：设X 为100个终端中同时被使用的终端数，则(100,0.8)XB ………………………………（2分）()1000.880E X =⨯=，()1000.80.216D X =⨯⨯= ……………………（3分）故由中心极限定理知 )1680(~，近似N X 即 80(0,1)4X N -近似………………（5分）所求概率为 ≤≤{7585}P X ---=≤≤7580808580{}444X P …………（7分） (1.25)( 1.25)2(1.25)1≈Φ-Φ-=Φ-20.894410.7888=⨯-= ……………………（10分）四、（12分）设二维随机变量(,)X Y 的概率密度函数为3,(,)G(,)40,x y f x y ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其他，其中2{(,)|01,}G x y x y x =<<<(1) 求关于X 、Y 的边缘概率密度()X f x 、()Y f y ，并由此判断X 与Y 是否相互独立?(2) 求()E X ,()E Y ,()E XY ，并由此判断X 与Y 是否互不相关？ 解：(1) (0,1)x ∈ 时，3()(,)4X f x f x y dy dy +∞-∞===⎰(1,1)y ∈- 时，21233()(,)(1);44Y y f y f x y dx dx y +∞-∞===-⎰⎰……………………(4分) 所以，01()0,X x f x <<=⎪⎩其他， 23(1),11()40,Y y y f y ⎧--<<⎪=⎨⎪⎩其他………（5分）当(0,1)x ∈，(1,1)y ∈- 时，3()()(1)(,)4X Y f x f y y f x y =-≠， 故Y X ,不相互独立. …………………………（7分） (2)115/2003333()(,),4255E X xf x y dxdy dx x dy x +∞+∞-∞-∞==⋅===⎰⎰⎰⎰13()(,)0,4E Y yf x y dxdy dx y dy +∞+∞-∞-∞==⋅=⎰⎰⎰13()(,)0.4E XY xyf x y dxdy dx dy +∞+∞-∞-∞==⋅=⎰⎰⎰………………（10分） 因为 ()()()E XY E X E Y =，所以X 与Y 是互不相关的.………………（12分）五、（10分）设总体X的概率密度为1()0,⎧>=⎩其他x f x （0θ>），求参数θ的极大似然估计． 解：1()ni L θ==………………………………（2分）21ni x nneθ-∑=……………………（4分）()1ln ln ),2ni i n L x n θθ==--∑ ……………………（6分）令1ln ())02ni i d L n x n d θθθ==-+-=∑ 得 2211(1)(1),ni i x x n θ==-=-∑故θ的极大似然估计量为 2(1).X θ=- …………………………（10分） 六、（10分）已知某种材料的抗压强度2(,)XN μσ，现随机地抽取10个试件进行抗压试验，测得数据如下：482，493，457，471，510，446，435，418，394，469. （1）求平均抗压强度μ的置信度为95%的置信区间。

（2）若已知30σ=，求平均抗压强度μ的置信度为95%的置信区间。

解：（1）μ的1α-的置信区间为2((1)/X t n S α±-…………（2分）457.5,35.2176,10,0.05x s n α====，得 -=0.025(101) 2.2622,t ……（3分）α-⨯=235.2176(1)/2.262225.1936t n S ………………（4分）从而μ的置信度为95%的置信区间为（432.3064，482.6936）……（5分）（2）σ已知时μ的1α-的置信区间为/2(/X z ασ±…………（7分）α==/20.025 1.96z z ，……………………（8分）所求μ的置信度为95%的置信区间为（438.9058，476.0942）.…………（10分）七、（8分）已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布，且标准差为0.048，从某天产品中抽取5根纤维，测得其样本标准差0.088s =，问这一天纤度的总体标准差是否正常？（取0.05α=）解：原假设22200:0.048H σσ==，22210:0.048H σσ≠=………………(2分)检验统计量，2022)1(σχs n -=，拒绝域， })1()1({2221222-≥-≤=-n n W ααχχχχ， ( 3分) 220.97512(1)(4)0.484n αχχ--== 2220.025(1)(4)11.143n αχχ-==22{0.48411.143}W χχ=≤≥， …………（5分）20.007744,s=………………………………（6分） 2222(1)40.00774413.444411.1430.048n S χσ-⨯===> ……………………（7分）因为2W χ∈，故拒绝0H .………………………………（8分） 即在显著性水平0.05α=下，认为纤度的总体标准差不正常.八、（5分）设12,X X 来自2(0,)N σ的样本，试证明：21212(1,1)X X F X X ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭证明：12Y Y ==, 1212()()0,()()1====E Y E Y D Y D Y , …………（1分） 所以，12(0,1),(0,1)Y N Y N , ……………………（2分）并且22121221()()02E Y E Y X X σ=-=, 12()()0==E Y E Y ,………………（3分）1212()()()=E Y E Y E Y Y ， 所以12,Y Y 独立. ……………………（4分）从而 2122(1,1)YF Y, 即 21212(1,1)X X X F X ⎛⎫+⎪⎝⎭-.………………（5分）数理统计公式表及数据一．正态总体均值、方差置信水平为1α-的双侧置信区间二．两个正态总体均值差、方差比的置信水平为1α-的置信区间其中22 2112212(1)(1)2Wn S n S Sn n-+-=+-三：正态总体均值、方差的检验法（显著性水平为α）四：数据：(1.645)0.95Φ=, (1.96)0.975Φ=, (2)0.9772Φ=，(1.25)0.8944,Φ=0.025(9) 2.2622t=，0.025(10) 2.2281,t=0.05(9) 1.8331t=，0.05(10) 1.8125t=，2 0.025(5)12.833χ=，20,025(4)11.143χ=，20.975(5)0.831χ=，20.975(4)0.484χ=2 0.05(5)11.071χ=，20.05(4)9.488χ=，20.95(5) 1.141χ=，20.95(4)0.711χ=。