1. 设A B C,,是三个事件，则A B C,,至少有一个发生表示为 .2. 设甲、乙两人独立对目标进行射击，其命中率分别为0.6和0.5，则目标被击中的概率为，若目标已经被击中，则是甲击中的概率为 .3. 设),,2(~2σNX且3.0}42{=<<XP，则=<}0{XP________.4.且和相互独立，则＝_______，＝________.5. 若),(~pnbX，且,6.1)(=XE28.1)(=XD，则=n，=p_ .6. 设),3,10(~NX)2,1(~NY，且X和Y相互独立，则=-)23(YXD .7. 设)4,(~μNX，容量9=n，均值2.4=X，则未知参数μ的置信度0.95的置信区间为_________. (查表0.0251.96Z=)8. 设321,,XXX是来自正态总体),(~2σμNX的样本,则当=a，3212131ˆaXXX++=μ是总体均值μ的无偏估计.二、选择题（每题3分，共18分）1. 设事件A与B互斥，,0)(,0)(>>BPAP则下列结论中一定成立的有( )(A) A与B互不相容(B) A,B为对立事件(C)A与B相互独立(D) A与B不独立2.设)1,1(~NX，概率密度为)(xf，分布函数为)(xF，则有( ))(A}1{}1{≥=≤XPXP)(B}0{}0{≥=≤XPXP)(C)()(xfxf=-)(D)(1)(xFxF-=-3. 设随机变量X与Y的方差满足()()25,36,D X D Y==()85D X Y+=，则相关系数=XYρ( ))(A0.2 )(B0.3 )(C0.4 )(D0.54. 设D是由直线xy=,0=y和2=x围成的平面区域，二维随机变量),(YX在区域D上服从均匀分布，则),(YX关于X的边缘概率密度在1=x处的值为( ))(A21)(B31)(C41)(D515. 设nXXX,...,21是正态总体),(~2σμNX的样本,其中μ已知,σ未知,则下列不是统计量的是( ))(AknkX≤≤1max)(BknkX≤≤1min)(Cμ-X)(D∑=nkkX1σ6. 设随机变量),(YX满足方差)()(YXDYXD-=+，则必有( ))(A X与Y独立)(B X与Y不相关)(C X与Y不独立)(D0)(=XD或三、计算题（每题10分，共60分）1. 有三个盒子，第一个盒子中有2个黑球，4个白球，第二个盒子中有4个黑球，2个白球，第三个盒子中有3个黑球，3个白球.今从3个盒子中任取一个盒子，再从中任取1球.(1) 求此球是白球的概率；(2) 若已知取得的为白球，求此球是从第一个盒子中取出的概率.212. 设随机变量X 的概率密度为xAex f -=)( ，求 (1)A 值； (2)X的分布函数)(x F ；(3)X 落在区间)1,1(-内的概率.3. 设),(Y X 的联合密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤-=其他,00,10),1(),(xy x x Ay y x f ，求 (1)常数A ; (2) 边缘概率密度; (3) X 和Y 是否独立？4.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为⎩⎨⎧≤≤=其他,010,1)(x x f X ，⎩⎨⎧>=-其他,00,)(y e y f y Y 求随机变量Y X Z +=的概率密度。

5. 设随机变量X 具有密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤=其他,021,210,)(x x x x x f ，求)(X E 及)(X D .6. 设总体X的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=-其他,010,1);(/)1(x x x f θθθθ ，0>θ，n X X X ,...,,21是取自总体X的样本。

（1）求θ的最大似然估计量θˆ。

（2）证明θˆ是θ的无偏估计量。

概率论与数理统计2 2《概率论与数理统计》试卷A 标准答案一、填空题（每空2分，共28分）1.C B A ⋃⋃2. 8.0，75.0 3．2.0 4. 9/2, 9/1 5. 2.0,806. 357.)51.5,89.2(8.61二、选择题（每题2分，共12分） 1. D 2.A 3.C 4.A 5.D 6.B 三、计算题（每题10分，共60分）1. 设事件A 为“取到白球”，321,,B B B 分别表示：取到第一个盒子、第二个盒子和第三个盒子”. （1）)()()(31i i i B A P B P A P ∑== (2)分633162316431⨯+⨯+⨯= …………………4分21=…………………5分 （2）)()()()(111A P B A P B P A B P =…………………7分94216431=⨯= …………………10分2. （1）由⎰+∞∞-=1)(dx x f ，得⎰⎰∞-+∞-==+012A dx Ae dx Ae x x，21=A ………………3分 （2） ⎰∞-=xdt t f x F )()(⎪⎩⎪⎨⎧>-=+≤==⎰⎰⎰∞---∞-000,21121210,2121x x t t x x tx e dt e dt e x e dt e ………………7分 （3）11)1()1(}11{--=--=<<-e F F x P ………………10分3.(1)由1),(⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x f ，得 …………………1分124)1(21)1(2101==-=-⎰⎰⎰A dx x x A dy x Ay dx x， 得24=C …………………3分⎰+∞∞-=dy y x f x f X ),()(⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=-=⎰其他,010),1(12)1(2420x x x dy x y x ……………6分 ⎰+∞∞-=dx y x f y f Y ),()(⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=-=⎰其他,010,)1(12)1(2421y y y dx x y y……………9分 由于)()(),(y f x f y x f Y X ≠，因此X 和Y 不是相互独立的. …………10分 4． dx x z f x f z f Y X Z )()()(-=⎰∞∞- 由⎩⎨⎧>-≤≤010x z x ，得⎩⎨⎧<≤≤zx x 10 …………………3分 原式=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<⎰⎰----其他,01,10,10)(0)(z dx ez dx e x z z x z =⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<---其他,01),1(10,1z e e z e z z …………………10分 5.⎰+∞∞-=dx x xf X E )()( (1)分=⎰⎰-+2112)2(dx x x dx x 1= ……………4分⎰+∞∞-=dx x f x X E )()(22=⎰⎰-+212103)2(dx x x dx x =67……………8分 61)]([)()(22=-=X E X E X D ……………10分6. 设n x x x ,...,,21是相应于n X X X ,...,,21的一个样本值 ……………1分似然函数∏==ni ix f L 1);()(θθ⎪⎩⎪⎨⎧<<=∏=-其他,010,11/)1(n i i i n x x θθθ ……………2分∑=-+-=ni i x n L 1ln )1ln ln θθθ（ ……………3分∑=--=ni ixn d L d 12ln 1ln θθθ ……………4分解得 ∑=-=ni ix n 1ln 1ˆθ 因此θ的最大似然估计量∑=-=ni iX n 1ln 1ˆθ. ……………6分因为θθθθ-==-⎰/)1(101ln )(ln x x X E ， ……………8分θθ=-=∑=)ln 1()ˆ(1ni iX n E E 可知θˆ是θ的无偏估计量。

……………10分一．随机事件与概率１．五卷文集按任意次序排列到书架上，则第一卷及第五卷分别在两端的概率为 （101）2. 若B A ⊂，则B A Y 是 （B ）3. 事件Ａ、Ｂ、Ｃ至少有一个不发生可表示为 （C B A Y Y ）4. 设B A ,为两个独立事件，7.0)(=A P ，1)(0<<B P ，求)|(B A P （ 0.3 ）5． 某射手射击时，中靶的概率为43，若射击直到中靶为止，求射击次数为３的概率？（ 43)41(2⨯ ）5．设B A ⊂，2.0)(=A P ，3.0)(=B P ，求)(B A P . 解：1.0)()()()(=-=-=A P B P A B P B A P6．某射手每次射击击中目标的概率为p ，连续向同一目标射击，直到某一次击中目标为止，求射击次数X 的分布律解 在进行射击之前，无法知道射手在第几次射击时击中目标，因此射击次数X 是离散型随机变量，显然，X 的可能取值为Λ,2,1，即一切正整数，而：p p k X P k 1)1(}{--== Λ,2,1=k 上式即为X 的分布律。

7. 某工厂生产的100个产品中有5件次品, 检查产品质量时, 在产品中取一半来检查, 如果发现次品不多于一个, 则这批产品可以认为是合格的。

求这批产品被认为是合格的概率。

解：按题意，每批100个产品中应有5个次品，95个合格品．设事件A 表示检查的50个产品中次品不多于1个，它可以看作两个互不相容事件之和：10A A A +=其中0A 表示检查的50个产品中没有次品， 而1A 表示有1个次品．因为 ：028.0)(5010050950==C C A P153.0)(501004995151==C C C A P 所以181.0)()()(10=+=A P A P A P8．设每100个男人中有5个色盲者，而每10000个女人中有25个色盲者，今在3000个男人和2000个女人中任意抽查一人，求这个人是色盲者的概率。

解 =A {抽到的一人为男人}，=B {抽到的一人为色盲者}，则()53=A P ，()2011005==AB P ，()52=A P ，()40011000025==A B P于是，由全概率公式，有 ()()()()()A B P A P A B P A P B P +=10003140015220153=⨯+⨯=。

9.（1）已知5.0)(=A P ，6.0)(=B P ，8.0)|(=A B P ，求)(B A P ⋃。

（2）4.0)(=A P ，5.0)(=B P ，8.0)|(=B A P ，求)|(B A P 。

解 （1）利用加法公式、乘法公式计算事件概率4.0)()|()(=⋅=A P A B P AB P ，7.04.06.05.0)(=-+=⋃B A P 。