利用导数的几何意义求切线方程
利用导数的几何意义求切线方程
江南中教研组
曲线y f（x）在点x0的导数f（X。

）就是曲线在该点的切线的斜率，我们通常用导数的这个几何意义来研究一些与曲线的切线有关的问题。

对于利用导数的几何意义求切线方程我们要把握三个等量关系：
1.
曲线y f （x）在点x0的导数f（X。

）就是曲线在该点的切线的斜
率，有k f （X o）;
2. 切点在曲线y f （x）上，有y o f (X o)
3. 切点在切线上，有切线方程y y o k(x x o)
最基础的题型就是已知切点求斜率、切线方程。

例一：曲线y 2x2 1在x=1的切线方程为 ___________ ；
解析：直接利用等量关系得到切点的坐标、切线的斜率；
由题意可知，切点的坐标为（1, 5）又T y 4x，二切线的斜率为4, •••切线的方程为y — 5 = 4（x —1），即y=4x + 1。

利用导数的几何意义求切线方程的关键是要理解导数的几何意义，熟悉等量关系。

另有一种题型是先知道切线的斜率，求切点坐标、切线方程。

例二：曲线y x2的一条切线的斜率是4，求切线方程。

解析：先设出切点的坐标，再利用等量关系由待定系数法求出切点坐
标，进而求切线方程；
设切点的坐标为（X°,X。

2）
I y 2x，•切线的斜率为2x。

，• 2x o= —4，
• X。

2 •切点的坐标为（一2，4）
•切线的方程为y =—4x —4
解这种题型的关键问题就是不能忽视切点在曲线上的这个关系。

再有一种题型求过曲线外一点的切线的方程。

例三：曲线y x2的切线过点（0, 4）求切线的方程。

解析：同样设切点坐标，充分利用等量关系，由待定系数法求出切点坐
标，进而求切线方程；
设切点坐标为P x o，y o ,
••• y 2x
则在点P处的切线方程为：
y y o 2x o x x o
•••过点P 0,4，且y。

x；
4 ( x0) 2x o 0 X。

x o 2 或x o 2
当x o 2时，切点为(2, 4)，此时切线方程为y=—4x + 4，
当x o 2时，切点为P 2, 4，此时切线方程为y=4x + 4，
•••过点(0，4)的切线方程为：y=—4x + 4，y=4x + 4。

由于切点坐标、切线斜率均可用切点横坐标表示，故可轻松利用待定系
数法，但要充分利用三个等量关系。

还有一种题型求过曲线上一点的切线的方程。

例四：求曲线y 3x x3过点P 2, 2的切线方程
解析：同学们在解题时常忽视对切点的情况进行具体分析，引起错解。

如：显然点P在曲线y 3x x3上, f (x) 3 3x2 f (2) 9 过点P (2，-2)的切线方程为：y 2 9x2，即9x y 16 o
由于点P2, 2恰好在曲线y f(x)上，因此很容易得到一条切线方程，即以点P为切点的切线。

本题求的是“经过点P的切线”，而不是“点P处的切线”，因而不排除有其他切线经过P。

因此本题切线应有两条，一条以点P为切点，另一条不以点P为切点但经过点P，故解法应同例三；
设切点坐标为P x o，y o，则在点P处的切线方程为：
y y o 3 3x f x X。

•••过点P 2, 2，且y o 3x o X o
2 3x o x；
3 3x[ 2 x o
整理，得：x；3x0 4 0 即：x0 1 x0 2 $ 0 x0 1 或x0 2 当X0 1时，切点为1, 2，此时切线方程为y 2 ,
当X0 2时，切点为P 2, 2，此时切线方程为9x y 16 0
•••过点P 2, 2的切线方程为：y 2或9x y 16 0
当点P在曲线y f(x)上，要求过点P的切线时，一定要注意可能存在两种情况：一是点P本身即为切点；二是切线是以曲线y f (x)上的另一点Q为切点，但该切线恰好过点P。

解题时勿混淆了“在P点处的切线”与“过 5 点的切线”两概念，否则会因概念理解不够深刻而“大意失荆州”。

利用导数的几何意义求切线方程关键是要把握三个等量关系，充分利用数学思想方法，同时也要注意题目的条件。