limn2
n
1 n2
1.
根据极限审敛法, 知所给级数收敛.
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6
例3 判定 级n 数 1(1coπ)s的收.敛性
n1
n
解 因为
ln i n m 2 3u nln i n m 2 3 n1(1co n π)s
lim n2 n11(π)2 1 π 2 . n n 2n 2
根据极限审敛法, 知所给级数收敛.
根值审敛法 nl im nun 用它法判别
1
1
部分和极限 比较审敛法 积分判别法
收敛
发散
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3
3. 任意项级数审敛法
概念: u n 为收敛级数
n1
若 u n 收敛 , 称 u n 绝对收敛
n 1
n1
若
n1
un
发散 ,
称 un
n1
条件收敛
Leibniz判别法: 若 u nu n 10, 且 nl i mun0,
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7
例4 若级数 an与 bn 均收敛 , 且 ancnbn
n1
n1
(n1,2,),证明级数 c n 收敛 .
n1
证 0 c n a n b n a n(n1,2,),则由题设
(bn a n ) 收敛
(c n a n ) 收敛
n1
n1
c n [(cnan)an]
则交错级数 (1)nun 收敛 , 且余项 rn un1.
n1
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4
例1 判 断 级 数 敛 散 性:
n
n1 n
;
n1(n1)n
n
1
1
解
un
nn nn (n 1 )n
(1
nn 1
)n
,
n
n2
ln i (1 m n 1 2)nln i [m 1 (n 1 2)n 2]n 1e0 1;
11
P323 题4
设级数
n
1
u
n
收敛
,
且
lim
n
vn un
1 , 问级数
v n是否也收敛？说明理由.
n1
提示: 对正项级数,由比较判别法可知 v n 收敛,
n1
但对任意项级数却不一定收敛 . 例如, 取
un(1)n n,来自vn(1)n n
1 n
lim v n 1lim(1)n 1
n un
第十二章(1)
习题课 数项级数的敛散与幂级数的收敛域
一、数项级数的审敛法 二、求幂级数收敛域的方法 三、课外练习题
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1
un( x)
求和
S(x) (在收敛域内进行)
n0
展开
当xx0 时为数项级数;
un ( x ) 当 un(x)anxn时为幂级数;
n0
当 u n ( x ) a n cn x o b n sn i x n
n1
n1
(cn an) a n 收敛
n1
n1
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解答提示:
P322 题2 判别下列级数的敛散性:
1
(1) n1 nn n ;
(2)
n1
(n!)2 2n2
;
(3)
n1
ncos2 2n
n
3
;
(4)
n2
1 ln10
n
;
(5)n 1ann s (a0,s0).
提示: (1) lim nn1, 0,N ,当 nN时 ,有
(4)
n2
ln10
: n
因 n 充分大时
∴原级数发散
1
n .
1 ln10 n
,
n
2
1 n
发散,
(5)n 1anns (a0,s0):用比值判别法可知:
a1时收敛 ; a1时发散.
s1时收敛;
a1时, 与 p 级数比较可知 s1时发散.
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10
P323 题3 设正项级数 u n 和 v n 都收敛, 证明级数
0 < p ≤1 时, 条件收敛 ;
p≤0 时, 发散 .
(2) 因各项取绝对值后所得强级数
原级数绝对收敛 .
1
n1
n1
收敛,
故
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(3) (1)nlnn1
n1
n
因 unln nn 1ln (1n 1)单调递减, 且 nl im un 0
由Leibniz判别法知级数收敛 ;
但
所以原级数绝对收敛 .
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例5 判断级数 (1)n 是否敛 收？如果收
n1 nlnn 是条件收敛还敛 是？ 绝对收
解 1 1, nlnn n
而 1 发散, n n1
n n
级数 u n 收敛 , 级数 v n 发散 .
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n1
n1
12
P323 题5 讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:
(1)
(1)n
n1
1 np
;
(2) n 1(1)n1sinnn 11;
(3) (1)nlnn1;
n1
n
(4) n 1(1)n(nnn11)!.
提示: (1) P >1 时, 绝对收敛 ;
(an,bn 为傅氏系数) 时, 为傅立叶级数.
基本问题：判别敛散； 求收敛域； 求和函数； 级数展开.
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2
一、数项级数的审敛法
1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性
2. 正项级数审敛法
必要条件 nl im un 0 不满足 发 散
满足
比值审敛法
lim
n
un1 un
1 不定
ln n 1 lim
n k1 ln
n1
n
n k 1
k
n
lim lnk(1)lnk n k1
lim lnn(1) n
所以原级数仅条件收敛 .
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(4) n 1(1)n(nnn11)!
(n 2)!
因
un1 un
(n 2)n2 (n 1)!
n n1
n2(1 1 )n1n e1 1 n1 n1
n1
n1
(un vn)2也收敛 .
n1
提示: 因 n l i u m nn l i v m n0,存在 N > 0, 当n >N 时
又因
u2 nun, v2 nvn
(unvn)2 2(un2vn2) 2 (u n v n )(n N )
利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确.
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1
limnn
limx1xexpli{m1lnx}
expl{im1}
e0
1;
n
x
x x
x x
ln im un10, 原级数发散．
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例2 判定级 n 1ln 数 1n12的收敛 . 性
解 因 ln 1n 12~n 12(n )故 ,
ln i m n2unln i m n2ln 1 (n 1 2)
n
1 nn 1
1 nn n
1
n(1)
因调和级数发散, 据比较判别法, 原级数发散 .
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(n!)2
(2)
n1
2n2
:
(3)
ncos2 n1 2n
n
3
:
利用比值判别法, 可知原级数发散.
n
用比值法, 可判断级数 n 1 2 n
收敛,
再由比较法可知原级数收敛 .
1