1．2 简单的逻辑联结词
1．2.1 逻辑联结词“非”、“且”和“或”
一、基础达标
1．“p是真命题”是“p∧q为真命题”的()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
2．“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析p∧q是真命题⇒p是真命题，且q是真命题⇒p∨q是真命题；p∨q 是真命题D⇒/p∧q是真命题．
3．命题“ab≠0”是指()
A．a≠0且b≠0B．a≠0或b≠0 C．a、b中至少有一个不为0D．a、b不都为0 答案 A
4．已知命题p：2＋2＝5，命题q：3>2，则下列判断正确的是()
A．“p∨q”为假，“¬q”为假
B．“p∨q”为真，“¬q”为假
C．“p∧q”为假，“¬p”为假
D．“p∧q”为真，“p∨q”为假
答案 B
解析显然p假q真，故“p∨q”为真，“p∧q”为假，“¬p”为真，“¬q”为假，故选B.
5．已知命题p：1∈{x|(x＋2)(x－3)<0}，命题q：∅＝{0}，则下列判断正确的是________．
①p假q真②“p∨q”为真
③“p∧q”为真④“¬p”为真
答案②
解析p真q假，“p∨q”为真．
6．命题“若a<b，则2a<2b”的否命题为________，命题的否定为________．答案若a≥b，则2a≥2b若a<b，则2a≥2b
解析命题“若a<b，则2a<2b”的否命题为“若a≥b，则2a≥2b”，命题的否定为“若a<b，则2a≥2b”．
7．(1)用逻辑联结词“且”将命题p和q联结成一个新命题，并判断其真假，其中p：3是无理数，q：3大于2.
(2)将命题“y＝sin 2x既是周期函数，又是奇函数”改写为含有逻辑联结词“且”的命题，并判断其真假．
解(1)p∧q：3是无理数且大于2，是假命题．
(2)p∧q：y＝sin 2x是周期函数且是奇函数，是真命题．
二、能力提升
8．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()
A．(¬p)∨(¬q)B．p∨(¬q)
C．(¬p)∧(¬q)D．p∨q
答案 A
解析至少有一位学员没有降落在指定范围意味着甲没有或者乙没有降落在指定范围．
9．已知p：x>1，或x<－1
5，q：
1
x2＋4x－5
>0，则¬p是¬q________条件．
答案充分不必要
解析∵条件q：
1
x2＋4x－5
>0，即x>1或x<－5.
∴q ⇒p ，pD ⇒/q ，由等价命题知¬ p ⇒¬ q ，而¬ qD ⇒/¬ p ，
∴¬ p 是¬ q 的充分不必要条件．
10．用“或”、“且”填空：
(1)若x ∈A ∪B ，则x ∈A ________x ∈B ；
(2)若x ∈A ∩B ，则x ∈A ________x ∈B ；
(3)若a 2＋b 2＝0，则a ＝0________b ＝0；
(4)若ab ＝0，则a ＝0________b ＝0.
答案 (1)或 (2)且 (3)且 (4)或
11．写出下列各组命题构成的“p ∨q ”、“p ∧q ”以及“¬ p ”形式的命题，并判断它们的真假．
(1)p ：5是有理数，q ：5是整数；
(2)p ：不等式x 2－2x －3>0的解集是(－∞，－1)，
q ：不等式x 2－2x －3>0的解集是(3，＋∞)．
解 (1)p ∨q ：5是有理数或5是整数；
p ∧q ：5是有理数且5是整数；
¬ p ：5不是有理数．
因为p 假，q 假，所以p ∨q 为假，p ∧q 为假，¬ p 为真．
(2)p ∨q ：不等式x 2－2x －3>0的解集是(－∞，－1)或(3，＋∞)；
p ∧q ：不等式x 2－2x －3>0的解集是(－∞，－1)∩(3，＋∞)即不等式x 2－2x －3＞0的解集是∅；
¬ p ：不等式x 2－2x －3>0的解集不是(－∞，－1)．
因为p 假，q 假，所以p ∨q 假，p ∧q 假，¬ p 为真．
12．已知p ：函数y ＝x 2＋mx ＋1在(－1，＋∞)上单调递增，q ：函数y ＝4x 2＋4(m －2)x ＋1大于零恒成立．若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求m 的取值范围．
解 若函数y ＝x 2＋mx ＋1在(－1，＋∞)上单调递增，则－m 2≤－1，∴m ≥2，
即p ：m ≥2；
若函数y ＝4x 2＋4(m －2)x ＋1恒大于零，
则Δ＝16(m －2)2－16<0，
解得1<m <3，即q ：1<m <3.
因为p ∨q 为真，p ∧q 为假，所以p 、q 一真一假，
当p 真q 假时，由⎩⎨⎧ m ≥2，m ≥3或m ≤1，
得m ≥3， 当p 假q 真时，由⎩
⎨⎧ m <2，1<m <3，得1<m <2. 综上，m 的取值范围是{m |m ≥3或1<m <2}．
三、探究与创新
13．已知命题p ：方程a 2x 2＋ax －2＝0在上有解；命题q ：只有一个实数x 满足不等式x 2＋2ax ＋2a ≤0，若命题“p ∨q ”是假命题，求实数a 的取值范围．
解 由a 2x 2＋ax －2＝0，得(ax ＋2)(ax －1)＝0.
显然a ≠0，∴x ＝－2a 或x ＝1a .若命题p 为真，
∵x ∈，故⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2a ≤1或⎪⎪⎪⎪
⎪⎪1a ≤1，∴|a |≥1. 若命题q 为真，即只有一个实数x 满足x 2＋2ax ＋2a ≤0，
即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点．
∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2.
∵命题“p ∨q ”为假命题，
∴a 的取值范围是{a |－1<a <0或0<a <1}．。