17世纪以来，随着生产实践的深入和对自然现象的深刻 认识，对数学提出了大量的问题，主要集中在： （1）由距离和时间的关系，求物体在任意时刻的瞬时 速度和加速度； （2）确定运动物体在其轨道上任一点的运动方向，以 及研究光线通过透镜而提出的切线问题； （3）求函数的最大值和最小值（极值问题）； （4）求曲线的长度、曲线围成的面积、体积，物体的 重心等等。
（4）开普勒与旋转体积
开普勒第二定律：行星与太阳之间的半径 在相等的时间里扫过的面积相等。他将椭 圆分割成许多小三角形相加，进而利用积 分的方法粗略地求出椭圆的面积。
《求酒桶体积之新法》
(Nova stereometria doliorum vinariorum,Linz,1615) 注意：封面标题中“stereometriae Archimedeae Supplementum”
PM PR = TM QR
y a = t e
a Q e R P
巴罗的方法实质上是把切线看 做是a和e趋于零时割线PQ的极 限位置。 O T
N M
这时，微积分的诞生正处于一个突破口，需要的任务是： （1）澄清概念:比如何为“变化率”?何为“瞬时速度”？ （2）提炼方法:建立具有普遍意义的一般方法； （3）改变形式:将几何形式变为解析形式，从而摆脱对具体问题的依赖； （4）建立微分与积分的联系：这是最重要、也是最关键的。
x 0
x0
lim
f ( x0 x) f ( x0 ) x
对任意的x
0都存在，则称极限为f (x)在点x=x0处的导数，记作
f'
( x0 )
即为求导的过程
积分
求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法 （1）分割:在区间[a,b]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成 n个小区间:
设旋转体是由连续曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(a<b),及x轴所围成的曲边 梯形绕x轴旋转而成，求其体积v。 在区间[a,b]上点x处垂直x轴的截面积为
A( x) = f 2 ( x)
在x的变化区间[a,b]内积分，得旋转体体积为
V = f 2 ( x)dx
a
b
y
O
A(x) a
b
m
将右边运用二项式定理展开，与原式相减，用ο除方程的两边，略去仍然含有 ο的项，得到
y = max
m1
（2）求瞬时速度
伽利略早已提出了物体下落的距离与时间b x) ( x e)[b ( x e: )] 引入“虚拟等式”
展开得 ： bx x 2 bx be x2 2 xe e 2 消去相同的项，余项除以e,得： 2x+e≈b 舍弃含e的项，得真正等式: x=b/2
（7）巴罗的“微分三角形”（运用几何的方法）
（6）费马求极值的“虚拟等式法”
1637年，费马在一份名为《求最大值和最小值的方法》的手稿中，使 用“虚拟等式法”。比如一个传统的问题：把定长的线段b分成两段x 和 b-x.何时乘积 x (b-x) 为最大？ 费马的方法是：以x+e 代替x ，即 x+e≈x ，因为
( x e)[b ( x e)] = b( x e) ( x e) 2 = bx be x 2 2xe e2
第十五章 领悟飞逝的瞬间：微积分
一、微积分的定义 二、微积分的先驱 三、牛顿和莱布尼茨的微积分 四、微积分面临的困境
一、微积分的定义
微积分是微分和积分的总称，它是一种数学思想，“无限细分”就是微 分（求瞬时速度、曲线的切线），“无限求和”就是积分（求曲边三角 形的面积、体积等），两者是互逆的。
若f (x)在[a, b]上连续， 是[a, b]内一点，若极限
n
S f (xi )x
i =1
（4）逼近:所求曲边梯形的面积S为
x 0, ( n )
f (x )x S
i =1 i
n
O
a
x

b
x
二、微积分的先驱
（1）欧多克斯（公元前408—前355）的“穷竭法”（就是指某个图形 （如圆）被另一个图形（如内接多边形）所逐步“穷竭”，即填满） 在一个量中减去比其一半还大的量，不断重复这个过程，可以使剩下的量 变得任意小。
a, x1 , x1, x2 , xi1, xi ,, xn1, b,
ba = n
每个小区间宽度⊿x
（2）以直代曲:任取xi[xi1, xi]，第i个小曲边梯形的面积用高为f(xi), 宽为x y 的小矩形面积f(xi)x近似地去代替。 （3）作和:取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面 积S的近似值： y=f(x)
（2）阿基米德（公元前287-212） 在《圆的度量》中，用穷竭法求出了圆周长和面积公式，他从圆的内接 正三角形开始，变数逐步加倍，计算到正96边形时得到了圆周率的近似值为，还 证明了与球的表面积和体积相关的重要结果。
设圆面积为A，三角形的面积为T，证明A>T和A<T都不 可能，所以A=T。
（3）刘徽（约320年） 他指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无 所失矣。” 刘徽从圆内接正六边形出发，并取半径为1尺，一直计算到192边形，得出了圆周 率的精确到小数点后二位的近似值 3.14 ，化成分数为 157 ，这就是有名 50 的“徽率”。
x
（5）卡瓦列里 ：不可分量原理
如果两个平面图形夹在同一对平行线之间，并且被任何与这两条平行线 保持等距的直线截得的线段都相等，则这两个图形的面积相等。类似的， 如果两个立体图形处于一对平行平面之间，并且被任何与这两个平行平 面保持等距的平面截得的面积都相等，则这两个立体的体积相等。
“缘幂势即同，则积不容异”---祖暅原 理
三、牛顿和莱布尼茨的微积分
（1）求曲线围成的面积
牛顿假定有一条曲线 y, 而且曲线下的面积为z （左图），已知有其中m是整数。他把x 的无 限小的增量叫做x 的瞬（moment）,并用ο表 示，由曲线、x轴、y轴和x+ο处的纵坐标围成 的面积，用z+οy表示，其中οy是面积的瞬， 那么，
z oy = a ( x o )