J0
0
J ln 3
k
[思考] 所经过的时间?
k 2 J d dt
tk dt
0J
0 0
/3
d 2
k t 3 1 t 2J
J 0 0
k0
例习4.3 用弹簧连接两个木板m1、m2 ，弹簧压缩。
求: 给m1上加多大的压力能使m2 离开桌面？
解：以m1 、m2和弹簧、地球为研究系统，施加压力F
说明
1、在刚体定轴转动中，角速度和角加速度均沿轴
向。其指向可用正负表示。
2、方向: 右手螺旋方向
0
0
3、角加速度的方向与角速度增
o
量的方向一致，当与同号时，加
速转动； 与异号时，减速转动。
4、刚体定轴匀变速转动方程
0 t
0
0t
1t2
2
与
20 22(0)
vv0 at
xx0 v0t12at2
同形
v2v0 22a(xx0)
特点：刚体内所有点具有相 同的角位移、角速度和角加 速度。－－刚体上任一点作 圆周运动的规律即代表了刚 体定轴转动的规律。
+ ➢ 刚体的一般运动 质心的平动 绕质心的转动
三、刚体定轴转动的描述
1. 描各点述都的在物自理己量的转θ动平θ面内ω 作β 圆周运动
就是刚体转动的角位置、… 、角加速度
2. 各点转动的半径不同 线速度不同 对刚体不存在整体的线速度！
答案： (D)
[思考] 若矢量和不为零，结果？
二、转动惯量（moment of inertia）
——反映刚体转动惯性大小的物理量。
1.定义： J miri2
m3
r1 m 1
i
i3
r3
m2
例：如图 J miri2 m 1r12m 2r22m 3r32
r2
i 1
对于质量连续分布的刚体 J r 2dm
k xFm 1g Fm 1gm 2g F(m 1m 2)g
三. 转动定律的应用
(M J )
解题要点
时，弹簧被压缩x0，由平衡条件得
X
撤F F 后m ，1g m 2离k开0x 地0 面的x条0 件 F为: km1gm 1
F
Ep
Ek
00x
B
o
x0
kxm2g0 kxm2g
A
系统机械能守恒
m2
EA21kx02m1gx0 EB 21kx2 m1gx
Ep 0
k0 2x 2 m 1g0x k2x 2 m 1gx
r
刚体上某点的线量 与角量的关系：
an
r 2
at r
ω rv
r
例：已求知：：vr?(36i0k4rej v/5mki)n102 m
解：
(60
2
)k
2k (rad来自/s)v r60
2
k
(3i
4
j
5k )
102
(6 j 8 i ) 102 (m / s)
0.251 i 0.188 j (m / s)
合外力矩 内力矩之和
o
fi
0
d
fj
( Δmiri2) J Z
Δmiri2
Jz
— 刚体对轴 的转动惯量
即： M Jz
刚体定轴转动的转动定律
刚体所受的对于 某一固定转轴的 合外力矩等于刚 体对此转轴的转 动惯量与刚体在 此合外力矩作用 下所获得的角加 速度的乘积
M Jβ F ma
应用转动 定律解题 步骤与用 牛顿第二 定律时相 同。
该转动定律在刚体定轴转动问题中的地位
相当于牛顿第二定律在质点运动中的地位
Notes:
① M 方向与角加速度 方向一致为正，相反为负.
②刚体的重力矩等于刚体全部质量集中于质心时 所产生的重力矩.
o
细杆质量m, 长L
mg
重力矩大小： mg L cos
2
例：几个力同时作用在一个具有固定转 轴的刚体上，如果这几个力的矢量和为 零，则此刚体 (A)必然不会转动． (B)转速必然不变． (C)转速必然改变． (D)转速可能不变，也可能改变．
3. 平行轴定理（parallel axis theorem ）
z'
J 1 mR2
z
2
M
Jz' Jz ML2
LC
C点是刚体的质心
例：有两个半径相同、质量相等的细圆 环A和B，A环的质量分布均匀，B环不 均匀，它们对通过环心并与环面垂直的 轴的转动惯量分别为JA和JB，则
(A)JA>JB (B)JA<JB (C)JA=JB (D)不能确定
m
dm dV ：质量体密度
dm
dm dS ：质量面密度
dm
dm dl ：质量线密度
dm
2. 决定刚体转动惯量的因素：
1）总质量m 越大，J 越大;
2）质量分布离轴越远，J 越大；
3）轴位置不同，J 不同。
m,R R
m, R
M,L
O
O
J 1 ML2 3
O J 1 ML2 12
J mR2
刚体运动时，体内任意两点
连线的方向始终保持不变。
平动的特点：
1) 刚体中各质点的运动情况相同 2) 刚体的平动可归结为质点运动
刚体平动
质心运动
实际: 对质心有 “质心运动定理”
二、刚体的定轴转动
当刚体内所有点都绕同一直线作圆周运动，这种 运动称为转动。
若转轴的位置和方向是固定不动的，此时刚体的 转动称为定轴转动。
【例】飞轮转动惯量J，初角速度0，阻力矩的 大小与角速度的平方成正比，比例系数为k(k为
正的常量)求：⑴当=0/3时，角加速度=？ ⑵从开始制动到=0/3时所转过的角度．
解：⑴按题意 M=-k2
M
k(0 / 3)2
k
2 0
J
⑵转动定律：
J
k 2
J
d d9J
Jdd
dt d
k
d
0 /3 d
第5章 刚体的转动
刚体 rigid body ：在外力（无论多大）作用下，形
状和大小都不发生变化的物体。
1、刚体运动时，各质元之间的相对距离保持不变。 2、刚体是一种理想模型。视作特殊质点组。
5.1 刚体运动的描述
平动 translation
刚体的基本运动形式
一、刚体的平动
转动 rotation
答案： (C)
[思考] 若是两个圆盘呢？
思考
竿
子
长
些
还
是
短
些
较
安
全
飞轮的质量为什么
？
大都分布于外轮缘？
【例】已知圆盘转动惯量J，初角速度0
阻力矩M=-k (k为正的常量)
求:角速度从0变为0/2所需的时间
解：转动定律： k J J d
dt
t
k
dt
0 / 2 d
0J
0
t J ln 2 k
5.2 刚体定轴转动的运动定律
一、转动定律
内力为 fi
刚体内任一质元 i，其转动半径为ri
切 向 : F ifi m ia i
,
所受z合外力为Fi，
Q ai ri F ifim iri
fi f i
F i
Fi
上式两端同乘 ri再以求和
F ir ifir i m ir i2
o ri mi
F ir