2014届高三数学(理)二轮复习练习：(九)解三角形小题精练(九)解三角形(限时：60分钟)1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a cos A＝b sin B，则sin A cos A＋cos2B＝( )A．－12B.12C．－1 D．12．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若A＝π3，b＝1，△ABC的面积为32，则a的值为( )A．1 B．2C.32D. 33．在△ABC中，cos2A2＝b＋c2c(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形4．(2013·高考天津卷)在△ABC中，∠ABC＝π4，AB＝2，BC＝3，则sin∠BAC＝( )A.1010B.105C.31010D.555．在△ABC中，角A、B、C所对的边的长分别为a，b，c.若a2＋b2＝2c2，则cos C的最小值为( )A.32B.22C.12D．－126．(2014·长春市调研测试)直线l1与l2相交于a，b.若2a sin B＝3b，则角A等于( )A.π12B.π6C.π4D.π310．(2014·湖南省五市十校联考)在斜三角形ABC中，sin A＝－2cos B·cos C，且tan B·tan C＝1－2，则角A的值为( )A.π4B.π3C.π2D.3π411．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 6 m(如图所示)，则旗杆的高度为( )A．10 m B．30 m C．10 3 m D．10 6 m12．在△ABC中，2sin2A2＝3sin A，sin(B－C)＝2cos B sin C，则ACAB＝( )A.1＋132B.13－12C.1＋122D.12－1213．(2014·长春市高三调研测试)△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若a2－c2＝2b，且sin B＝6cos A·sin C，则b的值为________．14．已知△ABC的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．15．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝________．16．(2014·洛阳市统考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2b cos B ＝a cos B ＋c cos A ，且b 2＝3ac ，则角A 的大小为________．小题精练(九)1．解析：选D.由a cos A ＝b sin B 可得sin A cos A ＝sin 2B ，所以sin A cos A ＋cos 2B ＝sin 2B ＋cos 2B ＝1. 2．解析：选D.∵A ＝π3，b ＝1， S △ABC ＝32，∴12bc sin A ＝32， ∴c ＝2.∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝3，∴a ＝ 3.3．解析：选B.∵cos 2A 2＝b ＋c 2c ， ∴1＋cos A 2＝b ＋c 2c ，∴1＋b 2＋c 2－a 22bc ＝b ＋c 2c，化简得a 2＋b 2＝c 2， 故△ABC 是直角三角形．4．解析：选C.先利用余弦定理求出AC 边的长度，再利用正弦定理求出sin ∠BAC .由余弦定理可得 AC ＝BA 2＋BC 2－2BA ·BC cos ∠ABC＝2＋9－2×2×3×22＝5， 于是由正弦定理可得BC sin ∠BAC ＝AC sin ∠ABC ， 于是sin ∠BAC ＝3×225＝31010. 5．解析：选C.∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝c 22ab ， 又a 2＋b 2≥2ab ，∴2ab ≤2c 2.则cos C ≥12，即cos C 的最小值为12. 6．解析：选B.由题意，在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝2，AC ＝4，由余弦定理可知BC 2＝AB 2＋AC 2－2·AB ·AC ·cos ∠A ，得BC ＝23，故选B.7．解析：选D.因为3a ＝2c ＝6，所以a ＝2，c＝3，由余弦定理知cos C＝a2＋b2－c22ab，即cos π3＝22＋b2－322×2×b＝b2－54b＝12，得b＝1＋ 6.8．解析：选B.设AB＝c，在△ABC中，由余弦定理知AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B，即7＝c2＋4－2×2×c×cos 60°，c2－2c－3＝0，即(c－3)(c＋1)＝0.又c＞0，∴c＝3.设BC边上的高等于h，由三角形面积公式S△ABC＝1 2AB·BC·sin B＝12BC·h，知12×3×2×sin 60°＝1 2×2×h，解得h＝332.9．解析：选D.利用正弦定理将边化为角的正弦．在△ABC 中，a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B (R 为△ABC 的外接圆半径)．∵2a sin B ＝3b ，∴2sin A sin B ＝3sin B .∴sin A ＝32.又△ABC 为锐角三角形，∴A ＝π3. 10．解析：选A.由题意知，sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ，在等式－2cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C 两边除以cos B ·cos C 得tan B ＋tan C ＝－2，tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C1－tan B tan C ＝－1＝－tan A ，所以角A ＝π4. 11．解析：选B.如图，在△ABC 中，∠ABC＝105°，所以∠ACB ＝30°.由正弦定理得106sin 30°＝BC sin 45°， 所以BC ＝206×22＝203(m)， 在Rt △CBD 中，CD ＝BC sin 60°＝203×32＝30(m)．12．解析：选A.由2sin 2A2＝3sin A 可得1－cos A ＝3sin A ，cos A ＋3sin A ＝1，得sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫A ＋π6＝12，又0＜A ＜π，π6＜A ＋π6＜7π6，故A ＋π6＝5π6，A ＝2π3，由sin(B －C )＝2cosB sinC ，可得sin B cos C ＝3cos B sin C ．设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2＋bc ， 由sin B cos C ＝3cos B sin C 得b cos C ＝3c cos B ，从而b （a 2＋b 2－c 2）2ab ＝3c （c 2＋a 2－b 2）2ca，故可得b 2－bc －3c 2＝0， 从而可得⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫b c －3＝0，从而b c ＝1＋132. 13．解析：由正弦定理与余弦定理可知，sin B＝6cos A sin C 可化为b ＝6·b 2＋c 2－a 22bc ·c ，化简可得b 2＝3(b 2＋c 2－a 2)，又a 2－c 2＝2b 且b ≠0，得b ＝3.答案：314．解析：设△ABC 的三边a 、b 、c 成公比为2的等比数列，∴b ＝2a ，c ＝2a .则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋2a 2－4a 222a2＝－24. 答案：－2415．解析：在△ABC 中， ∵cos A ＝35＞0， ∴sin A ＝45. ∵cos B ＝513＞0，∴sin B ＝1213. ∴sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B＝45×513＋35×1213＝5665. 由正弦定理知b sin B ＝csin C ， 则c ＝b sin C sin B ＝145. 答案：14516．解析：依题意得，2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ＞0，则cos B ＝12，B ＝π3，sin B ＝32，又3sin A sin C ＝sin 2B ＝34，∴4sin A sinC ＝1，即2[cos(A －C )－cos(A ＋C )]＝1，2[cos(A －C )＋cos B ]＝1，∴cos(A －C )＝0.又－π＜A －C ＜π，∴A－C ＝±π2；又A ＋C ＝2π3，∴A ＝π12或A ＝7π12.π12或7π12答案：。