5.5 分式方程第1课时 分式方程及其解法知识点1 分式方程的定义只含分式,或分式和整式,并且分母里含有未知数的方程叫做分式方程. 1.下列方程中,哪些是整式方程?哪些是分式方程? (1)x -40.2-x +30.5=1.6;(2)2-6-x 2=2x ;(3)8x 2-1+1=x +8x -1;(4)x +3+1x +1=4+1x -1.知识点2 解分式方程解分式方程的步骤:(1)分式方程两边同乘最简公分母,把分式方程转化为整式方程;(2)解这个整式方程,得出未知数的值;(3)检验所得到的值是不是原分式方程的根;(4)写出答案.使分式方程的分母为零的根是增根,增根使分式方程无意义,应该舍去. [注意] 检验是解分式方程的一个十分重要的步骤,切不可省略. 2.解分式方程2x -3=3x的步骤:(1)去分母,方程两边同乘________,得整式方程____________; (2)解这个整式方程,得x =________;(3)检验:把x =________代入最简公分母x(x -3),得x(x -3)________(填“=0”或“≠0”),所以x =________是原分式方程的解.一 解分式方程教材例2变式题] 解下列方程: (1)2x =3x +1;(2)x 3x -1=2-11-3x ; (3)x x -1-2x 2-1=1. [归纳总结] 解分式方程时,要注意以下几点:①不要忘记验根;②去分母时不要漏乘整式项;③当分式的分子是多项式时,去分母后不要忘记添括号.探究 二 利用分式方程的增根求字母系数的值[教材例题补充题] 若关于x 的分式方程2x -3+x +m3-x=2有增根,则m 的值是( )A .m =-1B .m =0C .m =3D .m =0或m =3[归纳总结] 利用分式方程的增根求待定字母的值,可按如下步骤进行:(1)先将分式方程转化为整式方程;(2)令最简公分母为0确定增根;(3)将增根代入所得的整式方程,求出待定字母的值.探究 三 利用分式方程根的取值范围确定字母系数的取值范围[教材例题补充题] [2015·荆州] 若关于x 的分式方程m -1x -1=2的解为非负数,则m 的取值范围是( )A .m>-1B .m ≥1C .m>-1且m≠1D .m ≥-1且m≠1[归纳总结] 确定根的取值范围时,要去掉使分式方程产生增根的情况.[反思] 下面是小马虎同学解分式方程的步骤,你认为他的解法正确吗?如果不正确,请指出错在哪里,然后写出正确答案.解方程:2x 2x -1=1-2x +2.解:原方程可化为2x 2x -1=x +2x +2-2x +2,即2x 2x -1=xx +2. 方程两边约去x ,得22x -1=1x +2. 去分母,得2x +4=2x -1. 所以此方程无解.一、选择题1.在方程x +53=7,-3x =2,x +12-x -13=4,3x -9x=1中,分式方程有( )A .1个B .2个C .3个D .4个2.把分式方程2x +4=1x转化为一元一次方程时,方程两边需同乘( )A .xB .2xC .x +4D .x(x +4)3.2015·济宁解分式方程2x -1+x +21-x=3时,去分母后正确的为( )A .2+(x +2)=3(x -1)B .2-x +2=3(x -1)C .2-(x +2)=3D .2-(x +2)=3(x -1)4.若x =3是关于x 的分式方程a -2x -1x -2=0的根,则a 的值是( )A .5B .-5C .3D .-35.[2015·常德] 分式方程2x -2+3x2-x=1的解为( )A .x =1B .x =2C .x =13D .x =06.分式方程1x -1-2x +1=4x 2-1的解是( )A .x =0B .x =-1C .x =±1D .无解7.下列分式方程中,有解的是( ) A .x +1x 2-1=0 B .x 2+1x -1=0 C .x +1x -1=1 D .(x -1)2x -1=1 8.对于非零的两个实数a ,b ,规定a b =1b -1a.若1(x +1)=1,则x 的值为( )A .32 B .13 C .12 D .-12二、填空题9.解分式方程1x -1-1x +1=1x 2-1去分母时,两边都乘______________.10.2016·湖州方程2x -1x -3=1的根是x =________.11.若关于x 的分式方程2(x -a )a (x -1)=-25的解为x =3,则a 的值为________.12.已知关于x 的方程a x +1-3x 2-1=1有增根,则a 的值等于________.三、解答题 13.解分式方程:(1)2016·连云港解方程:2x -11+x =0;(2)2016·绍兴解分式方程:x x -1+21-x=4.14.是否存在实数x ,使得代数式x -2x +2-16x 2-4的值与代数式1+4x -2的值相等?15.若关于x 的分式方程ax a +1-2x -1=1的解与方程x +4x=3的解相同,求a 的值.16.当k 取何值时,关于x 的分式方程6x -1=x +k x (x -1)-3x 有解?17.若关于x 的分式方程x -m x -1-3x =1无解,求m 的值.1.[规律探索题] 已知:11×2=1-12,12×3=12-13,13×4=13-14,…(1)根据这个规律写出第n个式子是________________________________________________________________________;(2)利用这个规律解方程:1x (x +1)+1(x +1)(x +2)+…+1(x +9)(x +10)=1x +10.2.阅读下面一段话:关于x 的分式方程x +1x =c +1c 的解是x =c 或x =1c ;关于x 的分式方程x +2x =c +2c 的解是x =c 或x =2c ;关于x 的分式方程x +3x =c +3c 的解是x =c 或x =3c ;…(1)写出方程x +1x =52的解:________;(2)猜想关于x 的分式方程x +m x =c +mc (m≠0)的解,并将所得解代入方程检验.详解详析【预习效果检测】1.[解析] 分式方程与整式方程的区别在于分母中是否含有未知数. 解:(1)(2)是整式方程,(3)(4)是分式方程. 2.(1)x (x -3) 2x =3(x -3) (2)9 (3)9 ≠0 9 【重难互动探究】例1 [解析] 首先确定各分母的最简公分母,然后去分母,解整式方程.解:(1)方程两边同时乘x(x +1),得2(x +1)=3x ,解得x =2.经检验,x =2是原分式方程的解.(2)方程两边同时乘(3x -1),得x =2(3x -1)+1,解得x =15.经检验,x =15是原分式方程的解.(3)方程两边同乘(x -1)(x +1),得 x(x +1)-2=(x -1)(x +1). 去括号,得x 2+x -2=x 2-1. 移项、合并同类项,得x =1.检验:当x =1时,(x -1)(x +1)=0, 所以x =1是原分式方程的增根. 所以原方程无解.例2 A [解析] 方程两边都乘(x -3),得2-x -m =2(x -3).因为分式方程有增根,所以x =3,所以2-3-m =2(3-3),解得m =-1.故选A .例3 D [解析] 去分母,得m -1=2x -2,解得x =m +12.由题意得m +12≥0且m +12≠1.解得m ≥-1且m≠1.故选D .【课堂总结反思】[反思] 小马虎的解答不正确,错在“方程两边约去x”这一步. 正解:原方程可化为2x 2x -1=xx +2. 去分母,得2x(x +2)=x(2x -1). 去括号,得2x 2+4x =2x 2-x. 解得x =0.经检验,x =0是原方程的解. 【作业高效训练】 [课堂达标]1.[解析] B 方程-3x =2和3x -9x =1中的分母含有未知数,是分式方程.故选B .2.D 3.D 4.A 5.A 6.D7.[解析] D 选项A 中,当x +1=0时,x =-1,而当x =-1时,分母的值等于0,所以该方程无解;选项B 中,因为x 取任意值,x 2+1≥0恒成立,所以方程无解;选项C 中,因为x 取任意值,x +1的值总不等于x -1的值,所以分式x +1x -1的值总不等于1,方程无解;选项D 中,方程的解为x =2.8.[解析] D 由规定知,1(x +1)=1可化为1x +1-1=1,即1x +1=2,解得x =-12.∵-12+1≠0,∴符合条件.故选D .9.[答案] (x +1)(x -1) 10.[答案] -2 11.[答案] 5[解析] 因为关于x 的方程2(x -a )a (x -1)=-25的解为x =3,所以2(3-a )a (3-1)=-25,即3-a2a=-15.解这个方程得a=5.经检验,a=5满足题意.12.[答案] -32[解析] 方程两边同乘(x+1)(x-1),得a(x-1)-3=(x+1)(x-1).∵原方程有增根,∴最简公分母(x+1)(x-1)=0,∴增根是x=1或x=-1.当x=-1时,a=-32;当x=1时,a无解.13.(1)x=-2 (2)x=2314.解:根据题意,得x-2x+2-16x2-4=1+4x-2,去分母,得(x-2)2-16=x2-4+4(x+2),去括号,得x2-4x+4-16=x2-4+4x+8,移项、合并同类项,得8x=-16,解得x=-2.经检验,x=-2是原方程的增根,故原分式方程无解.所以不存在满足条件的实数x.15.解:由x+4x=3,得x=2.∵关于x的分式方程axa+1-2x-1=1的解与方程x+4x=3的解相同,∴把x=2代入方程axa+1-2x-1=1中,得2aa+1-22-1=1,即2aa+1=3,解得a=-3.经检验,a=-3是方程2aa+1-22-1=1的根,∴a=-3.16.解:6x -1=x +k x (x -1)-3x ,方程两边同乘x(x -1),得 6x =x +k -3(x -1), ∴k =8x -3. ∵原分式方程有解,∴x ≠0且x -1≠0,即x≠0且x≠1 ∴8x -3≠3且8x -3≠5,∴当k≠-3且k≠5时,原分式方程有解.17.解:去分母,得x(x -m)-3(x -1)=x(x -1),-mx -3x +3=-x , 整理,得(2+m)x -3=0.∵关于x 的分式方程x -m x -1-3x =1无解,∴x =1或x =0.当x =1时,2+m -3=0,解得m =1. 当x =0时,-3=0,无解.当2+m =0时,方程(2+m)x -3=0无解,此时m =-2. ∴m =1或m =-2. [数学活动] 1.解:(1)1n (n +1)=1n -1n +1(2)原方程可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫1x -1x +1+⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +1-1x +2+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +9-1x +10=1x +10, 即1x -1x +10=1x +10,解得x =10. 当x =10时,原分式方程的最简公分母不为0. 所以x =10是原分式方程的解.2.解:(1)方程x +1x =52可化为x +1x =2+12,可得该方程的解为x =2或x =12.(2)猜想:方程的解为x =c 或x =m c .分别将x =c 和x =mc 代入原方程可得方程的左边=右边,故方程x +m x =c +m c (m≠0)的解为x =c 或x =mc .。