第47炼 多变量表达式的范围——放缩消元法一、基础知识：在有些多变量表达式的题目中，所提供的条件为不等关系，则也可根据不等关系进行消元，从而将多变量表达式转化为一元表达式，便于求得最值 1、放缩法求最值的理论基础：不等式的传递性：若()()(),,f x y g x g x m ≥≥，则(),f x y m ≥ 2、常见的放缩消元手段：（1）抓住题目中的不等关系，若含有两个变量间的不等关系，则可利用这个关系进行放缩消元（2）配方法：通过利用“完全平方式非负”的特性，在式子中构造出完全平方式，然后令其等于0，达到消元的效果（3）均值不等式：构造能使用均值不等式的条件，利用均值不等式达到消元的效果 （4）主元法：将多元表达式视为某个变量（即主元）的函数，剩下的变量视为常数，然后利用常规方法求得最值从而消去主元，达到消元的效果。

3、放缩消元过程中要注意的地方：（1）在放缩过程中应注意所求最值与不等号方向的对应关系，例如：若求最小值，则对应的不等号为“≥”；若求最大值，则对应的不等号为“≤”。

放缩的方向应与不等号的方向一致（2）对进行放缩消元后的式子，要明确是求其最大值还是最小值。

放缩法求最值的基础是不等式的传递性，所以在求最值时要满足其不等号的方向一致。

若将关于,x y 的表达式(),f x y 进行放缩消去y ，得到()g x ，例如()(),f x y g x ≥，则下一步需要求出()g x 的最小值（记为m ），即()(),f x y g x m ≥≥，通过不等式的传递性即可得到(),f x y m ≥。

同理，若放缩后得到：()(),f x y g x ≤，则需要求出()g x 的最大值（记为M ），即()(),f x y g x M ≤≤，然后通过不等式的传递性得到(),f x y M ≤（3）在放缩的过程中，要注意每次放缩时等号成立的条件能够同时成立，从而保证在不等式中等号能够一直传递下去二、典型例题： 例1：设集合3|12b a b a ⎧⎫+≤≤≤⎨⎬⎩⎭中的最大元素与最小元素分别为,M m ，则M m -的值为____________思路：考虑分别求出3b a +的最大值与最小值，先求3b a+的最大值，只需a 取最小，b 取最大：33251b a +≤+=即5M = ，再求3b a+的最小值，由1a b ≤≤可知利用b a ≥进行放缩，从而消去b ，可得：33b a a a+≥+，再利用均值不等式可得：33b a a a +≥+≥=，所以3b a+的最小值m =，从而5M m -=-答案：5-例2：已知,,A B C 是任意三点，,,BC a CA b AB c ===，则c by a b c=++的最小值是_______思路：因为a b c ≤+，所以结合不等号的方向可将a 消去，从而转化为关于,b c 的表达式：2c b c b c b a b c b c b c b c c +≥+=+++++，然后可从bc出发，构造出与第一项互为倒数的性质以便于利用均值不等式解出最值：12121222b b bc c c c +=⋅=⋅-，从而有：12112222c b c b c c ++⋅-≥+，所以12c b y a b c =+≥-+12-例3：设实数,,a b c 满足221a b c +≤≤，则a b c ++的最大值为__________思路：由a b c ++可联想到()a b +与22a b +的关系，即a b +≤，所以a b c c ++≤+，然后可利用22a b c +≤进一步放缩消元，得a b c c c ++≤≤+，在利用1c ≤1c ≤+，所以a b c ++1+，其中等号成立条件为：22211a b a b a b c c c =⎧⎧==⎪⎪+=⇒⎨⎨⎪⎪==⎩⎩1小炼有话说：本题也可从22a b +入手，进行三角换元：cos sin a r b r θθ=⎧⎨=⎩，由22a b c +≤可得r ≤,,r c θ 即可得到最值：cos sin sin 14a b c r r c c c c πθθθ⎛⎫++=++=++≤+≤+≤ ⎪⎝⎭例4：已知关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++≥在实数集上恒成立，且a b <，则a b cT b a++=-的最小值为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3思路：由不等式恒成立可得：240b ac ∆=-≤，结合所求表达式和不等号方向可知更易于消去c ，即24b c a ≥，所以222244444b a b a ab b a T b a ab a++++≥=--，对于该其次分式可两边同时除以2a ，可得：244141b b a a T b a ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥⋅⎛⎫- ⎪⎝⎭，令b t a =由a b <可知()1,t ∈+∞从而将问题转化为求2441t t y t ++=-的最小值。

()2449611211t t y t t t ++==+-+≥--，从而134T y ≥⋅≥ 答案：D小炼有话说：本题的关键之处在于选择消去的元，如果选择,a b ，则因分式中含,a b 的项较多，消元会比较复杂，不利于求得最值。

所以处理多变量表达式的最值时，选择消去合适的元是关键例5（2010，四川）设0a b c >>>，则()221121025a ac c ab a a b ++-+-的最小值为（ ）A. 2B. 4C. 5 思路：表达式含变量个数较多，且没有等量条件消元，所以考虑式子中是否存在不等关系来减少变量个数，观察式子可发现存在完全平方式，即()222102550a ac c a c -+=-≥，从而消去了c ，得()()222111121025a ac c a ab a a b ab a a b ++-+≥++--，然后根据分母特征：()2,ab a a b a ab -=-构造()()()221111a a ab ab ab a a b ab a a b ++=-+++--，由均值不等式得：()()2114a ab ab ab a a b -+++≥=-，验证等号成立条件：2251125a a cb a ab ab ab a abc ⎧⎪=⎪=⎧⎪⎪⇒=⎨⎨-===⎪⎪-⎩⎪=⎪⎩，从而最小值为4 答案：D小炼有话说：本题在处理()211a ab a a b ++-的最值时还可以从分式入手：()()()111a b b ab a a b ab a b b a b -++==---，从而对分母利用均值不等式：()2224b a b a b a b +-⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭消去b ，所以()2221144a a ab a a b a ++≥+≥- 例6：已知正数,,x y z 满足2221x y z ++=，则12zs xyz+=的最小值是_______ 思路：所求表达式涉及3个变量，首先确定主元，通过观察可发现分母中的2xy 可与条件中的22x y +具备不等关系，而2221x y z +=-可用z 表示，且不等号的方向与所求一致，故考虑利用不等式进行放缩消元，进而得到关于z 的表达式求得最值解：22222211x y z x y z ++=⇒+=-，因为222xy x y ≤+所以有22211121xy x y z ≥=+- ()()()22211111=21111142z z z s xyz z z z z z z z z +++∴=≥==-+--⎛⎫-- ⎪⎝⎭2111424z ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭ 2141142s z ∴=≥⎛⎫--⎪⎝⎭（等号成立条件：2221424112x z x y y x y z z ⎧=⎪⎧=⎪⎪⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪++=⎪⎪=⎩⎪⎩） 例7：设,,0x y z ≥，且2x y z ++=，则2223x y z ++的最大值是____________ 思路：本题虽然有3个变量，但可通过2x y z ++=进行消元，观察所求式子项的次数可知消去y 更方便，从而可得222223232x y z x x z z ++=-+-+。

然后可使用“主元法”进行处理，将x 视为主元，即()22232f x x x z z =-+-+但本题要注意x 的取值范围与z相关，即[]0,2x z ∈-，通过配方（或求导）可知()f x 的最大值在边界处取得，即(){}22max max 32,588f x z z z z =-+-+，[]0,2z ∈，从而达到消去x 的效果，再求出(){}22g max 32,588z z z z z =-+-+中的最大值即可解：2x y z ++= 2y x z ∴=--222223232x y z x x z z ∴++=-+-+设()22232f x x x z z =-+-+,,0022x y z x y x z x z ≥≥⎧⎧⇒⎨⎨=--≤-⎩⎩02x z ≤≤-()'41f x x =- 14x ∴=为()f x 的极小值点()()(){}max max 0,2f x f f z ∴=-()()()2222032,2223588f z z f z z z z z =-+-=-+=-+ (){}22max max 32,588f x z z z z ∴=-+-+ 其中[]0,2z ∈设(){}22max 32,588g z z z z z =-+-+ 若2233258822z z z z z -+≥-+⇒≤≤ ()22332,,223588,0,2z z z g z z z z ⎧⎡⎤-+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎫⎪-+∈⎪⎢⎪⎣⎭⎩可得：()()max 212g z g =={}()22222223232max 32,588212x y z x x z z z z z z g ∴++=-+-+≤-+-+≤=例8：已知函数()()()'121102x f x f ef x x -=-+（1）求()f x 的解析式及单调区间 （2）若不等式()212f x x ax b ≥++恒成立，求()1a b +的最大值 解：（1）()()()''110x fx f e f x -=-+，代入1x =可得：()()()()''110101f f f f =-+⇒=()()'12112x f x f ex x -=-+，令0x =可得：()()()''101f f f e e =⇒= ()212x f x e x x ∴=-+()'1x f x e x ∴=+-，可知()'00f =()'f x 在R 上单调递增 (),0x ∴∈-∞时，()'0f x < ()0,x ∈+∞时，()'0f x >()f x ∴在(),0-∞单调递减，在()0,+∞单调递增（2）恒成立的不等式为：221122xe x x x ax b -+≥++即0x e x ax b ---≥ 设()xg x e x ax b =---()min 0g x ∴≥()()'1x g x e a =-+，令()'0g x >，即解不等式1x e a >+若10a +>，可解得()ln 1x a >+()g x ∴在()(),ln 1a -∞+单调递减，在()()ln 1,a ++∞单调递增 ()()()()min ln 11ln 1ln 10g x g a a a a a b ∴=+=+-+-+-≥⎡⎤⎣⎦()()11ln 1b a a a ∴≤+-++()()()()22111ln 1a b a a a ∴+≤+-++下面求()()()2211ln 1a a a +-++的最大值令()21t a =+，设()()1ln 02h t t t t t t t =-=-> ()()()'1111ln 1ln 22h t t t ∴=-+=- 令()'0h t >，可解得0t e <<()h t ∴在()0,e 单调递增，在(),e +∞单调递减 ()()max 12h t h e e ∴==()12ea b ∴+≤当10a +=时，可得()102e a b +=<当10a +<时，()()1xg x e a x b =-+- ()g x ∴为增函数且x →-∞时， ()1a x -+→-∞，()g x →-∞，与()0g x ≥恒成立矛盾∴综上所述：()1a b +的最大值为2e 例9：已知函数()()222,221,,xx f x t et e x x t t R x R =-++++∈∈，求(),f x t 的最小值思路：在多元表达式中不易进行变形消元，观察到变量t 存在二次函数的结构，所以考虑利用“主元法”，将t 视为自变量，x 视为参数，通过配方，并利用完全平方数的特征消去t ，从而得到关于x 的函数，然后求得最小值即可。