第三章 不等式
3.1 不等关系与不等式
第1课时 不等关系与不等式的性质
A 级 基础巩固
一、选择题
1．下列命题正确的是( )
A ．某人月收入x 不高于2 000元可表示为“x ＜2 000”
B ．小明的身高x ，小华的身高y ，则小明比小华矮表示为“x ＞y ”
C ．某变量x 至少是a 可表示为“x ≥a ”
D ．某变量y 不超过a 可表示为“y ≥a ”
解析：对于A ，x 应满足x ≤2 000，故A 错； 对于B ，x ，y 应满足x ＜y ，故B 不正确；C 正确；对于D ，y 与a 的关系可表示为y ≤a ，故D 错误．
答案：C
2．若A ＝a 2＋3ab ，B ＝4ab －b 2，则A 、B 的大小关系是( )
A ．A ≤B
B ．A ≥B
C ．A ＜B 或A ＞B
D ．A ＞B 解析：因为A －B ＝a 2＋3ab －(4ab －b 2)＝(a －b 2)2＋34
b 2≥0，所以A ≥B .
答案：B
3．已知0<a <1，x ＝log a 2＋log a
3，y ＝12log a 5，z ＝log a 21－log a 3，则( )
A ．x >y >z
B ．z >y >x
C ．z >x >y
D ．y >x >z
解析：由题意得x ＝log a 6，y ＝log a 5，z ＝log a 7，而0<a <1，所以函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减，所以y >x >z .
答案：D
4．若a >b >1，0<c <1，则( )
A ．a c <b c
B ．ab c <ba c
C ．a log b c <b log a c
D ．log a c <log b c
解析：用特殊值法，令a ＝3，b ＝2，c ＝12
得312>212，选项A 错误，3×212>2×312，选项B 错误，3log 212
<2log 312，选项C 正确，log 312>log 212
，选项D 错误，故选C. 答案：C
5．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则谁先到教室( )
A ．甲
B ．乙
C ．同时到达
D ．无法判断
解析：设路程为s ，步行速度v 1，跑步速度v 2，则
甲用时t 1＝12s v 1＋12s v 2
， 乙用时t 2＝2s v 1＋v 2
， t 1－t 2＝s 2v 1＋s 2v 2－2s v 1＋v 2
＝s ⎝ ⎛⎭⎪⎫v 1＋v 22v 1v 2－2v 1＋v 2＝
（v 1＋v 2）2－4v 1v 22v 1v 2（v 1＋v 2）·s ＝（v 1－v 2）2·s 2v 1v 2（v 1＋v 2）
>0， 所以甲用时多．
答案：B
二、填空题
6．给出下列命题：①a >b ⇒ac 2>bc 2；②a >|b |⇒a 2>b 2；③a >b ⇒a 3>b 3；④|a |>b ⇒a 2>b 2.其中正确的命题序号是________．
解析：①当c 2＝0时不成立．
②一定成立．
③当a >b 时，a 3－b 3＝(a －b )(b 2＋ab ＋b 2)＝(a －b )·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋34b 2>0成立． ④当b <0时，不一定成立．如：|2|>－3，但22<(－3)2.
答案：②③
7．已知－1≤x ＋y ≤4，且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(用区间表示)．
解析：因为z ＝－12(x ＋y )＋52
(x －y )，
所以3≤－12(x ＋y )＋52
(x －y )≤8， 所以z 的取值范围是[3，8]．
答案：[3，8]
8．某校高一年级的213名同学去科技馆参观，租用了某公交公司的几辆公共汽车．如果每辆车坐30人，则最后一辆车不空也不满，则题目中所包含的不等关系为________．
解析：设租车x 辆，根据题意得：⎩⎨⎧30（x －1）＜213，30x ＞213.
答案：⎩
⎪⎨⎪⎧30（x －1）＜21330x ＞213 三、解答题
9．(1)已知x ≤1，比较3x 3与3x 2－x ＋1的大小；
(2)若－1＜a ＜b ＜0，试比较1a ，1b
，a 2，b 2的大小． 解：(1)3x 3－(3x 2－x ＋1)＝(3x 3－3x 2)＋(x －1)＝
3x 2(x －1)＋(x －1)＝(x －1)(3x 2＋1)．
因为x ≤1，所以x －1≤0，又3x 2＋1＞0，
所以(x －1)(3x 2＋1)≤0，
所以3x 3≤3x 2－x ＋1.
(2)因为－1＜a ＜b ＜0，所以－a ＞－b ＞0，
所以a 2＞b 2＞0.
因为a ＜b ＜0，所以a ·1ab ＜b ·1ab
＜0，
即0＞1a ＞1b
， 所以a 2＞b 2
＞1a ＞1b . 10．设f (x )＝1＋log x 3，g (x )＝2log x 2，其中x >0且x ≠1，试比较f (x )与g (x )的大小．
解：f (x )－g (x )＝1＋log x 3－2log x 2＝log x 3x 4
， (1)当⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1，3x 4>1或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，
0<3x 4<1，
即1<x <43时，log x 3x 4
<0， 所以f (x )<g (x )；
(2)当3x 4＝1，即x ＝43时，log x 3x 4
＝0， 即f (x )＝g (x )；
(3)当⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1，0<3x 4<1或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，
3x 4>1
， 即0<x <1，或x >43时，log x 3x 4
>0，即f (x )>g (x )． 综上所述，
当1<x <43
时，f (x )<g (x )； 当x ＝43
时，f (x )＝g (x )；
当0<x <1，或x >43
时，f (x )>g (x )． B 级 能力提升
1．设a ＞b ＞1，c ＜0，给出下列三个结论：①c a ＞c b
；②a c ＜b c ；③log b (a －c )＞log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是 ( )
A ．①
B ．①③
C ．②③
D ．①②③
解析：由a ＞b ＞1，得0＜1a ＜1b ，又c ＜0，所以c a ＞c b
，①正确；幂函数y ＝x c (c ＜0)在(0，＋∞)上是减函数，所以a c ＜b c ，②正确；因为a －c ＞b －c ＞0，所以log b (a －c )＞log a (a －c )＞log a (b －c )，③正确．故①②③正确．
答案：D
2．已知－1＜a ＜1，则1a ＋1
与1－a 的大小关系为________． 解析：因为－1＜a ＜1，所以1＋a ＞0，1－a ＞0，
即1
1＋a 1－a ＝11－a 2，因为0＜1－a 2≤1. 所以11－a 2≥1，所以1a ＋1
≥1－a . 答案：1a ＋1
≥1－a 3．已知a ＞0，b ＞0，且m ，n ∈N *，1≤m ≤n ，比较a n ＋b n 与a n －m b m ＋a m b n －m 的大小．
解：a n ＋b n －(a n －m b m ＋a m b n －m )＝
a n－m(a m－
b m)＋b n－m(b m－a m)＝
(a m－b m)(a n－m－b n－m)．
因为a＞0，b＞0，m，n∈N*，1≤m≤n，
当a＝b＞0时，a n＋b n－(a n－m b m＋a m b n－m)＝0；当a＞b＞0时，a m＞b m，a n－m≥b n－m)，
所以a n＋b n－(a n－m b m＋a m b n－m)≥0；
当b＞a＞0时，a m＜b m，a n－m≤b n－m，
所以a n＋b n－(a n－m b m＋a m b n－m)≥0.
综上所述，a n＋b n≥a n－m b m＋a m b n－m.。