2.求解
解写成
从特征方程
解得 共三实根，故可立即写成特解
3.求解
解写成
或
特征方程 有根
，故对应的特解是 ， ，
从而通解是
4.求 之通解.
解写成
或
特征根是 ，对应的特解应是 ，故写成通解
5.求 的通解
解本题为非齐次方程，先求出对应的齐次方程 的通解，写成 ，可知特征根为 ，相应的通解为
设原方程有特解形为
上述方法有其严密的理论根据，但本法早在20世纪30~40年代已在工程师中间广为流传，理论工作于20世纪50年代初才完成。
10.给定一个微分算子
则对任一有 次导数的函数 ，得到唯一的函数
今定义逆运算
恰为微分方程 的一个特解。
证明下列事实：
(1)给定 后， 不唯一
(2)对任一常数 及连续函数 ，有下式成立
12.求下面方程的特解
解
13.求方程 的一个特解
解
设 ，则 ，即可知
故最后可得
也可以直接安照文登考研书的解法即
14.解
解
得通解为
15.求下面方程特解
解
16.求
解显然
其中
今有
最后得
17.求 的特解
解
18.求下面方程的特解
解
19.求下面方程的特解
解
20.求 的特解
解因 ，上法无效，今取
(*)
则特解
表示复数 虚部，今
高阶常微分方程的微分算子法
撰写
摘自《大学数学解题法诠释》
.徐利治,.冯克勤,.方兆本,.徐森林,.1999
高阶方程的求解自然要比一阶方程更为困难，即使是对于线性微分方程。但是有一个例外：常系数线性微分方程。我们可以完整的求出它的通解来，所以常系数线性方程的求解，主要精力是集中在讨论对应的非齐
次方程的特解。本节主要讨论微分算子法。
证明(1)因 ，故有
于是
(2)
今令
则 ，代入上式得
或
一般公式可由此逐步推出
(3)因 ，故
从而
当 为偶多项式时
，
故一般公式由上式逐步推出
注(1) 还有另一性质，我们述而不论：
(2)当 时，此时宜用Euler公式
(3)以上两题旨在建立我们算子法的理论基础
由于我们仍然不能做到完全严格，所以对于只求解题技巧来说，可以不必追求细节。
9.求解
解写成
故对应齐次方程 的通解为
今用下法求原方程的一个特解 ，显然 满足
今用下法求出
通解为
注本题所用的方法即微分算子法，此法核心内容是将求导运算 同时当作数与运算来处理，上法中 视为 的逆运算，经分层部分分式后，又将 作为数，将 展开或读作除数，最后，又将 恢复其运算功能。至此，积分微分方程问题已变为求导问题。
1.求方程 的通解.
解记 ，将方程写成
或
我们熟知，其实首先要解特征方程
得 故知方程有三特解 ，由于此三特解为线性无关，故立得通解
注：本题方程为齐次常系数三阶常微分方程，线性常微分方程的一般形状是
其中系数 是某区间 上的连续函数，上述方程又可写成
可以把上面括号整体看作一种运算，常称为线性微分算子。本题中各 均为实常数，今后也仅对实常系数的情形来进一步发展线性微分算子方法。
(2)
8.求解非齐次方程
解本题不是常系数方程，为求通解需先知道齐次方程 的两个线性无关的特解。现设用观察法得到两个特解
令
考虑方程组
最后解得
，
故原方程的通解为
注我们说过，高阶方程中最重要、研究得最彻底的是线性方程，因此我们就从它开始。因为有了常数变易法，所以重点似乎应放在齐次方程的求解，但是，齐次常系数线性方程的求解来的太容易(只需要解代数方程)，这就构成了这一单元的特点：我们着力于求解具有特殊右端(物理学中称此种项为强迫项)的任意高阶非齐次常系数线性方程。这样做既是为了避免使用繁复的常数变易法，也是为了让解题者掌握一种最实用的技巧——微分算子法
(3)设有另一微分算子 ，则
(4)有下式成立
证明(1)设 是方程 的特解，则有
故
(2)与(3)直接从定义推出；(4)从(3)以及定义推出
11.给定 如上题，证明下列性质：
(1)设 ，此处 为多项式(与 对应)，则
当 时
(2)
特别
(3)当 为偶次多项式， ，则
，其中
对 也有类似公式
特别，对一般的 ，当 时，
其中 为待定函数，常数变异告诉我们，应求解下面的方程组
或
(方程组右端为原方程非齐次项 )，解得
，
或 ，
最后得通解为
注对常系数方程，在应用上，不常运用常数变异法，对于特殊非齐次项的常系数方程，下文将提供更简捷的办法。
6.求解(1)
(2)
7.求解下列cauchy问题
(1)
(2)
解(1)
故
21.求下面方程的特解
解今有
( 表示复数 的实部)故可写成
而
故
22.求解方程
解
设 ，则 故知
最后得通解
注这一批例题充分反映出算子方法的特点，简捷，灵巧，清楚。